【正文】 P(An)。 現(xiàn)有 4粒種子，其中 3粒為黃色、 1粒為白色，采用復置抽樣。因此，有 P(A)=P(第一次抽到黃色種子 )P(第二次抽到白色種子 ) = =， P(B)=P(第一次黃色種子 )P(第二次黃色種子 ) = =。 例 1：拋硬幣試驗，硬幣落地后只有兩種可能結果：幣值面向上和國徽面向上，用數(shù)“ 1”表示“幣值面向上”，用數(shù)“ 0”表示“國徽面向上”。顯然 p+q=1， 則 P(y=1)=p， P(y=0)=q=1－ p。 將這種變量的所有可能取值及其對應概率一一列出所形成的分布稱為離散型隨機變量的概率分布： 概率 )(iyyP ?變量 yi y1 y2 y3 … yn P1 P2 P3 … Pn 也可用函數(shù) f(y)表述，稱為概率函數(shù)。 通常將二項總體中的“此”事件以變量“ 1”表示，具概率 p；將“彼”事件以變量“ 0”表示，具概率 q。出現(xiàn)第一粒，第二粒和第三粒種子是互不影響的，因此這三個事件是獨立事件，由乘法法則可得： 649)41)(43)(43()( ??GGYP649)43)(41)(43()( ??GY GP649)43)(43)(41()( ??Y GGP 由于這三個事件都是相互互斥的，所以出現(xiàn)兩粒黃子葉種子 (y=2)的概率為這三種概率之和： 上述結果也可以表示為： 1223 )41()43()2( CyP ??649)643()643()643()2( ?????yP 即復合事件的概率必等于該事件出現(xiàn)的組合數(shù)目乘以單個事件的概率；而這一復合事件的可能組合數(shù)目則相當于從 n(3)個物體中任取其 y(2)個物體的組合數(shù)。假定做了 n次試驗，即抽出 n株為一個抽樣單位，那么，試問出現(xiàn)有 y株是受害的，其概率應有多少？ 假定以 n=1，即抽出一株為一個抽樣單位，這里已知P(A)= P( )=，總體的理論次數(shù)分布則以 n乘上述概率分布，即 np和 n(1－ p)，所以有 2022 =700株受害和 2022 =1300株未受害。從圖 ，如 p=q，二項式分布呈對稱形狀，如 p≠q，則表現(xiàn)偏斜形狀。 多項總體的隨機變量的概率分布即為 多項式分布( multinomial distribution )。這幾種事件的概率分別為多少呢？可以使用上述的概率分布公式來計算，如表 。 凡在觀察次數(shù) n相當大時，某一事件出現(xiàn)的平均次數(shù)m(m是一個定值 )很小，那么，這一事件出現(xiàn)的次數(shù)將符合泊松分布。如這種計數(shù)技術是有效地合適，則在每一平方格的細胞數(shù)目理論上應作為一個泊松分布。8) 表 血球計所計數(shù)的每平方格內(nèi)酵母細胞數(shù) 酵母細胞數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 次 數(shù) … 20 43 53 86 70 54 37 18 理 論 次 數(shù) 酵母細胞數(shù) 9 10 11 12 13 14 15 16 總 次 數(shù) 10 5 2 2 … … … … 400 理 論 次 數(shù) 本例 m=， e－ m=()－ =， 400=. ，其他各理論次數(shù)均可按 (4現(xiàn)假定每個抽樣單位包括 20株，這樣將有 21個組，其受害株的概率函數(shù)為 )20(20 5050)( yyy ..CyP ??于是概率分布計算如下： 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 )21(1)21(20)21(190)21(20)21(1)2121( 202020202020??????????????? 現(xiàn)將這概率分布繪于圖 。這個光滑曲線在數(shù)學上的意義是一個二項分布的極限曲線 ,屬于連續(xù)性變數(shù)分布曲線 ,一般稱之為 正態(tài)分布曲線 或 正態(tài)概率密度曲線 。10) ?? )( ?? yu令 可將 (4 1,0 2 ?? ??0 .00 .10 .20 .30 .4 6 8 .2 7 %9 5 .4 5 %正態(tài)分布的曲線圖 0 . 00 . 10 . 20 . 30 . 4fN(u )u 68. 27%95. 45%)(yfN?? 2? ??? ? ??? ?? 2? 3 2 1 0 1 2 3 圖 正態(tài)分布曲線圖 (平均數(shù)為 ，標準差為 ) ? ? 圖 標準正態(tài)分布曲線圖 (平均數(shù) 為 0，標準差 為 1) ? ?二、正態(tài)分布曲線的特性 1. 正態(tài)分布曲線是以 y = 為對稱軸，向左右兩側作對稱分布，所以它是一個對稱曲線。圖 和 。 ∞，分布曲線以 y軸為漸近線，因之曲線全距從－ ∞到 +∞。 1 面積或概率 = 177。 = ?????? 例如，上章水稻 140行產(chǎn)量資料的樣本分布表現(xiàn)出接近正態(tài)分布，其平均數(shù) ( )、標準差 (s)以及離均差為 2和 3個標準差的區(qū)間所包括的次數(shù)列于表 。 1s 177。 3s 177。 3s范圍內(nèi)所包括的次數(shù)表 y y yyyy三、計算正態(tài)分布曲線區(qū)間面積或概率的方法 在正態(tài)分布曲線下， y的定值從 y=a到 y=b間的概率可用曲線下區(qū)間的面積來表示，或者說，用其定積分的值表示，如圖。 ??A=P(ayb) fN(y) 圖 正態(tài)分布密度函數(shù)的積分說明圖面積 A=P(ayb) 現(xiàn)如給予變數(shù)任何一定值，例如 a，那么，可以計算 y≤a的概率為 FN(a)，即 )()( aFayPN??(4 ? ? 所有正態(tài)分布都可以轉換為標準化正態(tài)分布方程式 首先計算： )26()26(NFyP ??先將 y轉換為 u值 eu u 22121 ???? )(然后查表計算概率。 查表， u=－ ， fN(y) =≈。 在附表３列出了兩尾概率取某一值時的臨界 u值 (正態(tài)離差 u值 )，可供直接查用。 第四節(jié) 抽樣分布 統(tǒng)計學的一個主要任務是研究總體和樣本之間的關系。 一、統(tǒng)計數(shù)的抽樣及其分布參數(shù) 二、正態(tài)總體的抽樣分布 三、二項總體的抽樣分布 一、統(tǒng)計數(shù)的抽樣及其分布參數(shù) 從總體中隨機抽樣得到樣本，獲得樣本觀察值后可以計算一些統(tǒng)計數(shù)，統(tǒng)計數(shù)分布稱為 抽樣分布 。 如果將抽樣所得到的所有可能的樣本平均數(shù)集合起來便構成一個新的總體，平均數(shù)就成為這個新總體的變量。 nNmyyy 、 ?21 新總體與母總體在特征參數(shù)上存在函數(shù)關系。17) (2) 該抽樣分布的方差與母總體方差間存在如下關系： ???????nnyy????　　　　　　　相應地，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 22(4以樣本容量 n=n= n=4及 n=8，從總體中進行復置抽樣，抽出全部樣本于表 。 y?2y? ?? ?y ny 22 ?? ?383])46()44()42[()( 222122 //NμyσNii ????????? ??43123)642(1?????? ??//NyμNiiy yyn=1 n=2 n=4 n=8 y f f f f 2 4 6 1 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 2 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1 1 8 36 112 266 504 784 1016 1107 1016 784 504 266 112 36 8 1 3 9 81 6561 平均數(shù) 4 4 4 4 方 差 8/3 4/3 2/3 1/3 表 各種不同樣本容量的樣本平均數(shù) ( )的抽樣分布 yn=1 n=2 圖 各種不同樣本容量的 分布方柱形圖 y圖 各種不同樣本容量的 分布方柱形圖 yn=4 n=8 (二 ) 樣本總和數(shù)的抽樣及其分布參數(shù) 樣本總和數(shù) (用 代表 )的抽樣分布參數(shù)與母總體間存在如下關系： (1) 該抽樣分布的平均數(shù) 與母總體的平均數(shù)間的關系為： ?y?y??? ny ??(421) (4 1? 21?2? 22?y 將第一總體的 9個樣本平均數(shù)和第二總體的 8個樣本平均數(shù)作所有可能的相互比較，這樣共有 9 8=72個比較或 72個差數(shù)，這 72個差數(shù)次數(shù)分布列于表 。 二、正態(tài)總體的抽樣分布 (一 ) 樣本平均數(shù)的分布 從正態(tài)總體抽取的樣本平均數(shù)的分布一般為 N( ， )。 y? n2?平均數(shù)的標準化分布是將上述平均數(shù) 轉換為 u變數(shù)。這樣計算出樣本平均數(shù)和標準差 ， s1和 ， s2。 nnyyu2221212121 )()(????????? (4 標準差 : 方差 : 平均數(shù) : (二 ) 樣本平均數(shù) (成數(shù) )的抽樣分布 從二項總體進行抽樣得到樣本，樣本平均數(shù)抽樣分布的參數(shù)為： 平均數(shù) : 方差 : 標準誤 : py ??npqy ?2?nppnpqy)1( ????同樣 n是樣本容量。 現(xiàn)從這一總體抽樣，以株為單位，用簡單隨機抽樣方法，調(diào)查 200株棉株，獲得 74株受害，那么，觀察受害率 (就是成數(shù)，或者說是樣本平均數(shù) ) =% , 試問樣本平均數(shù)與總體真值的差數(shù)的概率為多少？ 64803520 .. ?)( pp ?? 1?2 0074? /p ? 總體真值 p=， 差數(shù) =( )=(－ )=。 03400180?? ..ppup??? ? 如果以次數(shù)資料 (或稱為“樣本總和數(shù)資料” )表示也可得到同樣結果。 pp ?