【正文】 P(An)。 現(xiàn)有 4粒種子，其中 3粒為黃色、 1粒為白色，采用復(fù)置抽樣。因此，有 P(A)=P(第一次抽到黃色種子 )P(第二次抽到白色種子 ) = =， P(B)=P(第一次黃色種子 )P(第二次黃色種子 ) = =。 例 1：拋硬幣試驗(yàn)，硬幣落地后只有兩種可能結(jié)果：幣值面向上和國徽面向上，用數(shù)“ 1”表示“幣值面向上”，用數(shù)“ 0”表示“國徽面向上”。顯然 p+q=1， 則 P(y=1)=p， P(y=0)=q=1－ p。 將這種變量的所有可能取值及其對應(yīng)概率一一列出所形成的分布稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布： 概率 )(iyyP ?變量 yi y1 y2 y3 … yn P1 P2 P3 … Pn 也可用函數(shù) f(y)表述，稱為概率函數(shù)。 通常將二項(xiàng)總體中的“此”事件以變量“ 1”表示，具概率 p；將“彼”事件以變量“ 0”表示，具概率 q。出現(xiàn)第一粒，第二粒和第三粒種子是互不影響的，因此這三個(gè)事件是獨(dú)立事件，由乘法法則可得： 649)41)(43)(43()( ??GGYP649)43)(41)(43()( ??GY GP649)43)(43)(41()( ??Y GGP 由于這三個(gè)事件都是相互互斥的，所以出現(xiàn)兩粒黃子葉種子 (y=2)的概率為這三種概率之和： 上述結(jié)果也可以表示為： 1223 )41()43()2( CyP ??649)643()643()643()2( ?????yP 即復(fù)合事件的概率必等于該事件出現(xiàn)的組合數(shù)目乘以單個(gè)事件的概率；而這一復(fù)合事件的可能組合數(shù)目則相當(dāng)于從 n(3)個(gè)物體中任取其 y(2)個(gè)物體的組合數(shù)。假定做了 n次試驗(yàn)，即抽出 n株為一個(gè)抽樣單位，那么，試問出現(xiàn)有 y株是受害的，其概率應(yīng)有多少？ 假定以 n=1，即抽出一株為一個(gè)抽樣單位，這里已知P(A)= P( )=，總體的理論次數(shù)分布則以 n乘上述概率分布，即 np和 n(1－ p)，所以有 2022 =700株受害和 2022 =1300株未受害。從圖 ，如 p=q，二項(xiàng)式分布呈對稱形狀，如 p≠q，則表現(xiàn)偏斜形狀。 多項(xiàng)總體的隨機(jī)變量的概率分布即為 多項(xiàng)式分布( multinomial distribution )。這幾種事件的概率分別為多少呢？可以使用上述的概率分布公式來計(jì)算，如表 。 凡在觀察次數(shù) n相當(dāng)大時(shí)，某一事件出現(xiàn)的平均次數(shù)m(m是一個(gè)定值 )很小，那么，這一事件出現(xiàn)的次數(shù)將符合泊松分布。如這種計(jì)數(shù)技術(shù)是有效地合適，則在每一平方格的細(xì)胞數(shù)目理論上應(yīng)作為一個(gè)泊松分布。8) 表 血球計(jì)所計(jì)數(shù)的每平方格內(nèi)酵母細(xì)胞數(shù) 酵母細(xì)胞數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 次 數(shù) … 20 43 53 86 70 54 37 18 理 論 次 數(shù) 酵母細(xì)胞數(shù) 9 10 11 12 13 14 15 16 總 次 數(shù) 10 5 2 2 … … … … 400 理 論 次 數(shù) 本例 m=， e－ m=()－ =， 400=. ，其他各理論次數(shù)均可按 (4現(xiàn)假定每個(gè)抽樣單位包括 20株，這樣將有 21個(gè)組，其受害株的概率函數(shù)為 )20(20 5050)( yyy ..CyP ??于是概率分布計(jì)算如下： 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 )21(1)21(20)21(190)21(20)21(1)2121( 202020202020??????????????? 現(xiàn)將這概率分布繪于圖 。這個(gè)光滑曲線在數(shù)學(xué)上的意義是一個(gè)二項(xiàng)分布的極限曲線 ,屬于連續(xù)性變數(shù)分布曲線 ,一般稱之為 正態(tài)分布曲線 或 正態(tài)概率密度曲線 。10) ?? )( ?? yu令 可將 (4 1,0 2 ?? ??0 .00 .10 .20 .30 .4 6 8 .2 7 %9 5 .4 5 %正態(tài)分布的曲線圖 0 . 00 . 10 . 20 . 30 . 4fN(u )u 68. 27%95. 45%)(yfN?? 2? ??? ? ??? ?? 2? 3 2 1 0 1 2 3 圖 正態(tài)分布曲線圖 (平均數(shù)為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 ) ? ? 圖 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線圖 (平均數(shù) 為 0，標(biāo)準(zhǔn)差 為 1) ? ?二、正態(tài)分布曲線的特性 1. 正態(tài)分布曲線是以 y = 為對稱軸，向左右兩側(cè)作對稱分布，所以它是一個(gè)對稱曲線。圖 和 。 ∞，分布曲線以 y軸為漸近線，因之曲線全距從－ ∞到 +∞。 1 面積或概率 = 177。 = ?????? 例如，上章水稻 140行產(chǎn)量資料的樣本分布表現(xiàn)出接近正態(tài)分布，其平均數(shù) ( )、標(biāo)準(zhǔn)差 (s)以及離均差為 2和 3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間所包括的次數(shù)列于表 。 1s 177。 3s 177。 3s范圍內(nèi)所包括的次數(shù)表 y y yyyy三、計(jì)算正態(tài)分布曲線區(qū)間面積或概率的方法 在正態(tài)分布曲線下， y的定值從 y=a到 y=b間的概率可用曲線下區(qū)間的面積來表示，或者說，用其定積分的值表示，如圖。 ??A=P(ayb) fN(y) 圖 正態(tài)分布密度函數(shù)的積分說明圖面積 A=P(ayb) 現(xiàn)如給予變數(shù)任何一定值，例如 a，那么，可以計(jì)算 y≤a的概率為 FN(a)，即 )()( aFayPN??(4 ? ? 所有正態(tài)分布都可以轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布方程式 首先計(jì)算： )26()26(NFyP ??先將 y轉(zhuǎn)換為 u值 eu u 22121 ???? )(然后查表計(jì)算概率。 查表， u=－ ， fN(y) =≈。 在附表３列出了兩尾概率取某一值時(shí)的臨界 u值 (正態(tài)離差 u值 )，可供直接查用。 第四節(jié) 抽樣分布 統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)主要任務(wù)是研究總體和樣本之間的關(guān)系。 一、統(tǒng)計(jì)數(shù)的抽樣及其分布參數(shù) 二、正態(tài)總體的抽樣分布 三、二項(xiàng)總體的抽樣分布 一、統(tǒng)計(jì)數(shù)的抽樣及其分布參數(shù) 從總體中隨機(jī)抽樣得到樣本，獲得樣本觀察值后可以計(jì)算一些統(tǒng)計(jì)數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)分布稱為 抽樣分布 。 如果將抽樣所得到的所有可能的樣本平均數(shù)集合起來便構(gòu)成一個(gè)新的總體，平均數(shù)就成為這個(gè)新總體的變量。 nNmyyy 、 ?21 新總體與母總體在特征參數(shù)上存在函數(shù)關(guān)系。17) (2) 該抽樣分布的方差與母總體方差間存在如下關(guān)系： ???????nnyy????　　　　　　　相應(yīng)地，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 22(4以樣本容量 n=n= n=4及 n=8，從總體中進(jìn)行復(fù)置抽樣，抽出全部樣本于表 。 y?2y? ?? ?y ny 22 ?? ?383])46()44()42[()( 222122 //NμyσNii ????????? ??43123)642(1?????? ??//NyμN(yùn)iiy yyn=1 n=2 n=4 n=8 y f f f f 2 4 6 1 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 2 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1 1 8 36 112 266 504 784 1016 1107 1016 784 504 266 112 36 8 1 3 9 81 6561 平均數(shù) 4 4 4 4 方 差 8/3 4/3 2/3 1/3 表 各種不同樣本容量的樣本平均數(shù) ( )的抽樣分布 yn=1 n=2 圖 各種不同樣本容量的 分布方柱形圖 y圖 各種不同樣本容量的 分布方柱形圖 yn=4 n=8 (二 ) 樣本總和數(shù)的抽樣及其分布參數(shù) 樣本總和數(shù) (用 代表 )的抽樣分布參數(shù)與母總體間存在如下關(guān)系： (1) 該抽樣分布的平均數(shù) 與母總體的平均數(shù)間的關(guān)系為： ?y?y??? ny ??(421) (4 1? 21?2? 22?y 將第一總體的 9個(gè)樣本平均數(shù)和第二總體的 8個(gè)樣本平均數(shù)作所有可能的相互比較，這樣共有 9 8=72個(gè)比較或 72個(gè)差數(shù)，這 72個(gè)差數(shù)次數(shù)分布列于表 。 二、正態(tài)總體的抽樣分布 (一 ) 樣本平均數(shù)的分布 從正態(tài)總體抽取的樣本平均數(shù)的分布一般為 N( ， )。 y? n2?平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化分布是將上述平均數(shù) 轉(zhuǎn)換為 u變數(shù)。這樣計(jì)算出樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差 ， s1和 ， s2。 nnyyu2221212121 )()(????????? (4 標(biāo)準(zhǔn)差 : 方差 : 平均數(shù) : (二 ) 樣本平均數(shù) (成數(shù) )的抽樣分布 從二項(xiàng)總體進(jìn)行抽樣得到樣本，樣本平均數(shù)抽樣分布的參數(shù)為： 平均數(shù) : 方差 : 標(biāo)準(zhǔn)誤 : py ??npqy ?2?nppnpqy)1( ????同樣 n是樣本容量。 現(xiàn)從這一總體抽樣，以株為單位，用簡單隨機(jī)抽樣方法，調(diào)查 200株棉株，獲得 74株受害，那么，觀察受害率 (就是成數(shù)，或者說是樣本平均數(shù) ) =% , 試問樣本平均數(shù)與總體真值的差數(shù)的概率為多少？ 64803520 .. ?)( pp ?? 1?2 0074? /p ? 總體真值 p=， 差數(shù) =( )=(－ )=。 03400180?? ..ppup??? ? 如果以次數(shù)資料 (或稱為“樣本總和數(shù)資料” )表示也可得到同樣結(jié)果。 pp ?