【正文】 方程的 Levinson – Durbin求解算法、 格型濾波器、 AR模型參數(shù)提取算法、 噪聲對 AR譜估計的影響、 ARMA和 MA模型法簡介、 白噪聲中正弦波頻率的估計等 第一章 隨機信號分析 ?隨機變量及其特征 ?隨機過程及其統(tǒng)計特性 ?平穩(wěn)及各態(tài)歷經(jīng)信號 ?隨機信號的相關(guān)性與功率譜 ?時間序列及其模型 隨機變量及其特征 一、隨機變量與概率分布 定義 ：設(shè) E為一隨機試驗，其樣本空間為 S=(Ω)，若對于每一個樣本 Ω，都有一個實數(shù) X(Ω)與之對應(yīng)，而且對于任何實數(shù) x，X(Ω)x有確定的概率，則稱 X(Ω)為隨機變量。 設(shè)可能的取值為 ,則 X(Ω)。3 . ( )FFF b F a P a X bFx? ? ? ? ?? ? ? ? ?的 圖 形 呈 非 降 型 的 階 梯 狀 。 連續(xù)隨機變量的分布函數(shù)： 設(shè) x為任一實數(shù)，隨機變量的概率是 x的函數(shù) F(x)，定義函數(shù) F(x)為 X的分布函數(shù)： ( ) [ ] ( )()xF x p X x p x d xp x X??? ? ? ?式 中 ， 為 連 續(xù) 隨 機 變 量 的 概 率 密 度 函 數(shù) 。時 ， 記 為 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 。二維聯(lián)合概率密度的性質(zhì)： 020221 . ( , ) 0 。 需要通過其數(shù)字特征進行描述： ?數(shù)學(xué)期望（統(tǒng)計平均值、均值）； ?方差； ?各階矩。求即為正態(tài)分布隨機變量，的變換關(guān)系為隨機變量：例題???分布。解 ： 由 題 設(shè) ，個 隨 機 變 量 的 特 征 函 數(shù) 為 ：設(shè) ， 則22122222( ) ( ) e xp ( )21( ) ( ) e xp ( )20 ( ) () e xp ( )22knxxYkkxxYXxnCX Y C Cn n nXnnpXnxx???????????????? ? ?? ? ? ? ??而即 ， 也 是 正 態(tài) 分 布 的 隨 機 變 量 ， 均 值 為 ， 方 差 為 明 顯 變 小的 概 率 密 度 函 數(shù) 為 ：004( ) ( )() — — ( )()( ) [ ]()[ ] ( ) ( ) ( ) =0jxXjxXXkk k k XkXC e p x dxdCjx e p x dxddCj x p x dx E XddCE X x p x dx jdkC T ay??????????????????????????????????? ? ?? ? ?????、 特 征 函 數(shù) 與 原 點 矩 的 關(guān) 系對 特 征 函 數(shù) 求 的— — 1 階導(dǎo) 數(shù) 有于 是 ，同 理 ，將 在點 矩階 點處原原 矩000() () ( ) [ ]!!kkkkXX kkklordC jC E Xk d k???????????????級 數(shù) 展 開 ， 可 得 特 征 函 數(shù) 與 原 點 矩 的 關(guān) 系 ：2222 2 2102222 2 22002 2 2 2 222[ ] ( 0 , )( ) e xp( )22[ ] ( ) e xp( ) 022()[ ] ( ) e xp( )22 e xp( ) e xp(22xxXxxxXxx x xxxX N XCE X jdCE X jd????????? ? ???????? ? ?? ? ?? ?????????? ? ? ? ????????? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ?例 題 設(shè) ， 求 的 各 階 矩 。1()xt2()xt()nxt1t1t1tmtmtmtttt()n x t例 如 ， 部 性 能 相 同 的 接 收 機 上 電 后 無 輸 入 時 的 輸 出 噪 聲 電 壓 ：12( ) ( ) ( 1 , 2 , , ) ( )( ) ( 1 , 2 , , ) ( ), , ( )( 1 , 2 , , )kkmpnX t n x t k nXtx t k n X tm t t t X tt p m???上 圖 中 ， 個 輸 出 中 的 任 何 一 個 均 與 其 它 輸 出 不 同 ， 它 們 呈 現(xiàn) 隨 機 性 。???????隨 機 過 程 的 分 類 ：連 續(xù) 型 隨 機 過 程 ( 狀 態(tài) 和 時 間 均 連 續(xù) )離 散 型 隨 機 過 程 ( 狀 態(tài) 離 散 、 時 間 連 續(xù) ， 如 脈 沖 信 號 )隨 機 過 程連 續(xù) 型 隨 機 序 列 ( 狀 態(tài) 連 續(xù) 、 時 間 離 散 ， 如 抽 樣 值 )離 散 型 隨 機 序 列 ( 狀 態(tài) 和 時 間 均 離 散 ， 如 A/D 后 的 數(shù) 字 序 列 )? ?( 1 , 2 , , ) ( 1 , 2 , , ) ( )pppn t p mXm X p mXt? ? ?? ? ?隨 機 過 程 的 統(tǒng) 計 分 析 方 法 ：若 ， 即 樣 本 函 數(shù) 足 夠 多 ， 則 任 意 時 刻采 樣 后 形 成 的 狀 態(tài) 為 一 連 續(xù) 隨 機 變 量 ；若 ， 即 采 樣 間 隔 足 夠 小 ， 則 可 精 確描 述 隨 機 過 程 。 計算方法與分析隨機變量相似，不同點是時間的函數(shù)。自 相 關(guān) 函 數(shù) ：1 2 1 21 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( )( 4)( , , ) [ ( ) ( ) ( ) ]( , , , , , , )xx m mm m m mmR t t X t t tmM t t t E X t X t X tx x x p x x x t t t dx dx dx? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????? ? ?重描 述 在 時 刻 和 之 間 的 關(guān) 聯(lián) 程 度 。()1 2 1 2 ( , ) [ ] ( )1 ( , ) ( , )2 ( , ) ( )( 1 , 2 , , ) ( )( , , , 。 , , , )mmj x j x j xmx m m meC t t t d d d? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?隨機過程的特征函數(shù) 隨機過程 X(t)統(tǒng)計特性的矩陣表達 ? ?? ?? ?121 2 1 2 1 21212( ) ( 1 , 2 , , ) ( , , , 。,()( 00212121221212121210021212121??????????????????????????????BCCXBYttCdxdxttxxpxxttRtCjdxtxpxtXEtttCCXYxxnxnnnnTmmmxX???????????????????????????????? ??特征函數(shù)的主要性質(zhì)：式中，：特征函數(shù)的矩陣形式? ?1221 2 222()( 1 , 2 , , ) , , ,()1( ) e xp( 2 ) 2 1( ) e xp( )2Tpmxxxx x xXXX X t mX p m X X X XxmpxC jmp? ? ?? ? ? ???? ?????? ???????????例 如 ， 正 態(tài) 分 布 的 隨 機 變 量 和 高 斯 隨 機 過 程 的 個 狀 態(tài)隨 機 變 量 構(gòu) 成 的 隨 機 矢 量之 間 的 概 率 密 度 函 數(shù) 和 特 征 函 數(shù) 比 較 ：：概 率 密 度 ：特 征隨 機 變函 數(shù) ：：概 率隨 機 矢 量密 度 ：量112211( ) e xp ( ) ( )2( 2 )1( ) e xp( )2Tx x xmxTTxxXx x m x mC jm?? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ?? ????? ???? ? ? ? ???特 征 函 數(shù) ：第一章 隨機信號分析 ?隨機變量及其特征 ?隨機過程及其統(tǒng)計特性 ?平穩(wěn)及各態(tài)歷經(jīng)信號 ?隨機信號的相關(guān)性與功率譜 ?時間序列及其模型 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2()1( , , 。分 類 ： 狹 義 平 穩(wěn) 隨 機 過 程 、 廣 義 平 穩(wěn) 隨 機 過 程、 狹 義 平 穩(wěn) （ 嚴(yán) 平 穩(wěn) ） 隨 機 過 程121 2 1 2 1 2 2 1 1 21 2 1 2 1 2 2 1 1 2, 。 )( , 。 , ) xx x xxXtE X t x p x t dx x p x dx mD X t x m t p x t dx x m p x dxR t t x x p x x t t dx dx?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ????????嚴(yán) 平 穩(wěn) 隨 機 過 程 的 數(shù) 字 特 征 ：均 值 ：方 差 ：自 相 關(guān) 函 數(shù) ：1 2 1 2 1 2002012 ( , 。解 ： 常 數(shù) 1 2 2220 1 0 201220 2 1 02)] [ ( ) ( ) ]1 c os( ) c os( )2 c os ( ) c os22( , )(())xxE X t X tA t t dAAttXtR t tR?? ? ? ? ???? ???? ? ?? ? ?????隨 機 相 位 信 號 是 廣 義 平 穩(wěn) 的 ， 簡 稱 平 穩(wěn) 的 。定 義 ： 對 于 觀 測 時 間 足 夠 長 的 平 穩(wěn) 隨 機 過 程 的 一 個 樣 本 函 數(shù) 的 時 間 平 均 ， 若 以 概 率 意 義 趨 于 該 平 穩(wěn) 過 程 的 集 平 均 ， 則 稱 該 平 穩(wěn) 過 程 為 各 態(tài) 歷 經(jīng) 隨 機 過 程 ， 或 稱 該 平 穩(wěn) 過 程 具 用 時 間 平 均 代 替 統(tǒng) 計 平 均 是 討 論 各有 各 態(tài)態(tài) 歷 經(jīng)歷 經(jīng) 型 或 遍 歷 性 。 2022003 1 1 “ ” “ ”1 l i m ( ) [ ( ) ] 011l im ( ) [ ( ) ] l im [ ( ) ]1 l i mTTTTxTTTTE x t dt E X tTE x t dt E X t E x t m dtTTT??? ? ? ???????????? ? ? ?? ? ?? ?