【正文】 FTtje 13 步驟：將 CT 周期信號先展開為 CTFS，再進行 逐項變換； 若干常用信號的頻譜（ 圖 ） ? ????21 ?? ?? FT ? ? ? ?000s i n ????????? ?????? ?? jjt FT ? ? ? ?000c o s ????????? ????? ?? FTt ? ? ? ????? jtu FT 1??? ?? 例 沖激串的 CTFT ? ? ? ??? ??????????? ???mFTktjm mTetr 020 ????? 頻譜的性質(zhì) ? ? ? ??jXtx F? ?? 連續(xù)有界： 若 ??tx 絕對可積，則 ? ??X 有界并連續(xù)； 奇偶性： ? ? ? ??jXtx F ?? ?? ?? 表 14 時間實函數(shù) 幅頻偶、相頻奇 時間實偶 頻譜實偶 時間實奇 頻譜虛奇 時移與頻移： ? ? ? ??? jXettx tjF 00 ?? ??? ? ? ? ?? ?00 ??? ?? ?? jXtxe Ftj 時移引入線性相位，頻移對應(yīng)復(fù)指數(shù)調(diào)制 時間尺度變換： ? ? ??????? ?? ajXaatx F ?1 ? ? ? ??jXtx F ?? ??? 時間壓縮對應(yīng)頻譜擴展 Parseval’s relation能量的頻率分布 ? ? ? ? ??? djXdttxE 22 2 1 ?? ???????? ?? 能量只與幅頻特性有關(guān)，時移不影響信號能量分布 周期信號與非周期信號的能量對比 周期信號能量為無限大，平均功率為 ??????m mavcP 2，非零功率只存在于離散頻率點； 絕對可積的非周期信號能量為 ? ? ? ? ??? djXdttxE 22 2 1 ?? ???????? ??，在任何特定頻率點能量為零，能量分布于頻率區(qū)間上； 連續(xù)時間信號截斷對于頻譜的影響 只有 極少數(shù)信號可以求出頻譜的解析表達式； 絕大多數(shù)實際信號只能采用數(shù)值方式求解頻譜； 對無限長時間連續(xù)信號，在實際計算時必須考慮截斷并離散化； 時域截斷模型：以窗口函數(shù)乘以時間函數(shù) ? ? ? ?twtx a? 15 時域乘積對應(yīng)于頻域卷積： ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ??? ??????? dXWWX aa 2 1 其中 ? ? ? ?? aW a sin2? 單頻率信號的截斷效果 （ 圖 ） 使單頻率展寬，出現(xiàn)主瓣（高 L=2a、寬 4π/L）和旁瓣（高 、寬 2π/L）； 對 于有限帶寬信號，截斷導(dǎo)致帶外泄露（能量）和紋波現(xiàn)象； L 越小，上述效應(yīng)越顯著 。 頻率混疊問題 不滿足條 件 2 時，可能產(chǎn)生部分混疊（高頻），低頻信號可恢復(fù)； 不滿足條件 1 時，總是產(chǎn)生混疊； 當(dāng) CT 信號能量有限時，可以增大 T 使得混疊影響足夠小； 對信號進行預(yù)先低通濾波是消除混疊的有效方式。 頻率混疊問題 不滿足條件 2 時，可能產(chǎn)生部分混疊（高頻），低頻信號可恢復(fù) ； 不滿足條件 1 時，總是產(chǎn)生混疊； 當(dāng) CT 信號能量有限時，可以增大 T 使得混疊影響足夠?。? 對信號進行預(yù)先低通濾波是消除混疊的有效方式。 奇偶性 周期時移 —圓周移動 DFT解決頻率計算問題的方式： 對有限時間序列的連續(xù)頻譜，只計算其中離散的采樣點； DFT存在的問題： 計算量問題： 對于 N 點 DFT， 需進行 N2次復(fù)數(shù)乘法， N（ N1）次復(fù)數(shù)加法； N的增加導(dǎo)致運算量龐大， N 的減少導(dǎo)致誤差增大； FFT 快速付氏變換 利用 DFT 的奇偶性質(zhì)及周期性質(zhì)，對計算公式進行分解，降低計算量。 對稱區(qū)間排布函數(shù) shift（ fft（ x， N））：參見 可以使 ? ?NTm /2?? ? 的取值位于 ]/,/( TT ??? 的對稱區(qū)間內(nèi)； 用 FFT 進行頻譜計算 26 有限時間序列的頻譜計算 從 0 開始的序列： 直接對該序列進行計算 ( 例 ) 不是從 0 開始的序列： 將該序列進行周期性擴展后，選取從 0 開始的周期進行計算 % program N=4。 % 給出時間信號 序列 X=fftshift(fft(x,N))。 % 根據(jù)定義寫出連續(xù)頻率函數(shù) subplot(1,2,1),plot(w,abs(X1),m*D,abs(X),39。)。(b)39。b=100。 x1=.^n1。 x2=.^n2。 mm=max(abs(X1(m1p+1)))。 對周期信號應(yīng)采用 CTFS 進行計算：在一個周期內(nèi)計算頻譜。 系統(tǒng)的表達：沖激響應(yīng) 序列 ??nh FIR 濾波器 有限沖激響應(yīng) 長度 N 為有限 例如：移動平均系統(tǒng) 無記憶系統(tǒng)（乘法器） IIR 濾波器 無限沖激響應(yīng) LTI 系統(tǒng)的差分方程描述 在卷積描述中，隨著 n 的增加， ??ny 的計算量增加； 利用差分方程，可以有效減少計算量和存儲量； 例 儲蓄系統(tǒng) ? ? ? ? ? ?nxnyny ??? 100 01 系統(tǒng)流程圖 （系統(tǒng)硬件實現(xiàn)的一種具體方式） 只由 3 種基本單元組成 單位延遲 乘法器 加法器 （ 圖 ） 差分方程與系統(tǒng)流程圖很容易相互表達； 集總系統(tǒng)： 可 以用有限個延遲器實現(xiàn)； 任何 LTI 系統(tǒng)都可用卷積描述，只有集總系統(tǒng)可以采用差分方程描述； 差分方程的一般形式： ? ? ? ?? ?? ??????KkMm mkmnxbknya1 111 （后向差分） 系統(tǒng)的表達：序列 a 序列 b 遞歸方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ...1...21 2132 ????????? nxbnxbnyanyany 當(dāng)前輸出與以前的輸出有關(guān)：系統(tǒng)中存在反饋； 與 IIR 系統(tǒng)對應(yīng)； 非遞歸方程： 除了 1a 外，所有 ka 都等于 0； ? ? ? ? ? ? ...121 ???? nxbnxbny 當(dāng)前輸 出與以前的輸出無關(guān)：系統(tǒng)中不存在反饋； 與 FIR 系統(tǒng)對應(yīng)； 31 與沖激響應(yīng)的關(guān)系： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ...110 ???? nxhnxhny 系數(shù)序列即為沖激響應(yīng)序列 （序列 b 與序列 h 對應(yīng)）； FIR 系統(tǒng)也能表達為遞歸方程以減少運算量： 例 采樣周期與實時處理過程 在實時處理過程中，采樣周期受運算周期限制，不能過??； 在非實時處理（存儲處理）時，可以不受運算周期和因果性的限制； z變換 系統(tǒng)表達的重要工具 定義：對于正區(qū)間信號 ??nx ， 其 z變換定義為 ? ? ? ??????0nnznxzX 例 z變換的計算：直接利用定義式和求和公式； 反 z變換：長除法，對 z 進行降序排列； 收斂域問題： 保障求和有限的 z 的可能取值區(qū)間； ROC ? ??,: az 簡單信號的 z變換： 只考慮正區(qū)間， n 從 0 開始 ? ? kz zkn ?? ???? ? ? 11 ?? ??? zn z? 單位延遲 bz zbzb zn ???? ?? ? 11 1 時移性質(zhì) 若 ? ? ? ?zXnx z? ?? ， 則 ? ? ? ? 0?? ??? ? kzXzknx kz ? ? ? ? ? ? 010????????? ?? ??? ? ???? kzixzXzknx kiikz 反 z變換的計算方法 長除法 將 ??zX 表示為有理分式，直接用分子除以分母； 要點：分子和分母都必須以 kz? 的降序形式 32 部分分式展開及查表法 將 ??zX 表示的有理分式分解為一階分式及二階分式之和，再利用基本變換對進行變換； 要點：將分母進行因式分解； ? ? ? ?? ?? ? ? ? ????? ??? 11211 111 zzzzzzzNzXn? 1122111 111 ??? ?????? zzAzzAzzAnn? ? ? ? ? izzii zXzzA ???? 11 基本變換對： bz zbzb zn ???? ?? ? 11 1 FFT 計算方法 選取常數(shù) c 大于 ??zX 的最大極點的幅度（確保反變換后得到正區(qū)間信號）； 取 ? ? )( ?jceXzX ? ，對應(yīng)為頻譜函數(shù)； 利用 FFT 進行反 DTFT 計算，選取足夠大的采樣點 N，可以得到反 z變換序列? ? 1,. ..1,0 ?? Nnnx ； 例 轉(zhuǎn)移函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)） ? ? ? ? ? ??????0kkhknxny 進行 z變換： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?zHzXzkhzXkhzXzzYkkkk ???? ?? ??????00 系統(tǒng)函數(shù) ? ? ? ? ? ?? ?zX zYznhzHnn ?? ????0 系統(tǒng)采用系統(tǒng)函數(shù)的描述： 可以看作沖激響應(yīng) 序列 ??nh 的 z變換； 可以看作差分方程序列 b 與序列 a 的分式 ： ? ? ? ?? ?zA zBzH ? 33 利用系統(tǒng)函數(shù)，能夠方便地進行各種表達方式的轉(zhuǎn)換； 例 （ ）由差分方 程得到系統(tǒng)函數(shù) 對于因果的 LTI集總系統(tǒng)， ? ? ? ?? ?zD zNzH ? 為真分式， ??zD 的階數(shù)就代表了系統(tǒng)的階數(shù)； 系統(tǒng)函數(shù)的 MATLAB 表達： 采用序列 a 和 b 表達（長度相同） 系統(tǒng)的零點和極點的計算 零點與極點的定義 MATLAB 函數(shù)： zplane（ b， a） [z， p， k]=tf2zp（ b， a） 零點和極點的作用 極點對系統(tǒng)響應(yīng)影響更大 例： 圖 與系統(tǒng)函數(shù)有關(guān)的其他 MATLAB 函數(shù) dimpulse (bp,ap,N) 系 統(tǒng)沖激響應(yīng)： N 點序列 dstep (bp,ap,N) 系統(tǒng)階躍響應(yīng)： N 點序列 [r,p,k]=residuez (bn,an) 系統(tǒng)函數(shù)分解及沖激響應(yīng)表達式 ? ? ...113253 12211123 3 ????????? ?? ?? zprzprkzzz zzzH ? ? ? ? ...222211 ???? prprnknh ? 例： 圖 FIR 和 IIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù) FIR 濾波器只在原點存在極點； IIR 濾波器在原點以外存在極點； 離散時間付氏變換與 z變換的關(guān)系 DTFT 不適合用于正區(qū)間信號分析，因而不適合用于系統(tǒng)分析； 系統(tǒng)穩(wěn)定性 BIBO 對于有界輸入，輸出必須有界； 穩(wěn)定系統(tǒng) ? ??????0nnh 系統(tǒng) 沖激響應(yīng)絕對可和； 系統(tǒng) 所有極點均位于單位圓內(nèi)； MATLAB 函數(shù)： roots（ bn） 計算出系統(tǒng)函數(shù)所有極點； 系統(tǒng)頻率響應(yīng)及其計算 對比 z變換和 DTFT 的定義式 ? ? ? ??????0nnznxzX ? ? ? ??????0njnd enxX ?? 34 可以得出 ? ? ? ??? jd eXX ? 此關(guān)系式對于穩(wěn)定的離散因果系統(tǒng)和絕對可和的輸入成立； 由以上關(guān)系可得： ? ? ? ? ? ??? ? djd XeHY ? 系統(tǒng) —頻率響應(yīng) 信號 —頻譜 單位圓上的系統(tǒng)函數(shù) ? ? ? ??jeHzH ? ?? 就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)； MATLAB 函數(shù)： [h， w]=freqz (bn,an,n) 給出 ),0[ ? 區(qū)間上 n 點等分的頻率響應(yīng)； （沒有 n 時，自動給出 512 點）； 可以用 w 為頻率坐標(biāo)， h 為函數(shù)，利用 plot 函數(shù)畫出頻率響應(yīng)曲線； 系統(tǒng)一般響應(yīng)的計算 MATLAB 函數(shù)： y=dlsim (bp,ap,x) y=filter (bn,an,x) 對指定系統(tǒng)和輸入序列 x，給出輸出序列 y（長度與 x相同）； 例 ( ) 例 ( ) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與暫態(tài)響應(yīng) 由穩(wěn)定輸入信號（如階躍信號、正弦信號）產(chǎn)生的響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，響應(yīng)函數(shù)形式與輸入函數(shù)形式基本一致； 由系統(tǒng)極點產(chǎn)生的響應(yīng)為暫態(tài)響應(yīng)，響應(yīng)呈現(xiàn)指數(shù)衰減形式； 暫態(tài)響應(yīng)持續(xù)時間（ 1%最大值）的計算： ?ln/??a 為系統(tǒng)的最大極點， a 為序列長度； 有限時間后，可以認(rèn)為系統(tǒng)響應(yīng)進入穩(wěn)態(tài)；在進行系統(tǒng)分析時，通?？梢圆豢紤]暫態(tài)