【正文】 FTtje 13 步驟：將 CT 周期信號(hào)先展開為 CTFS，再進(jìn)行 逐項(xiàng)變換； 若干常用信號(hào)的頻譜（ 圖 ） ? ????21 ?? ?? FT ? ? ? ?000s i n ????????? ?????? ?? jjt FT ? ? ? ?000c o s ????????? ????? ?? FTt ? ? ? ????? jtu FT 1??? ?? 例 沖激串的 CTFT ? ? ? ??? ??????????? ???mFTktjm mTetr 020 ????? 頻譜的性質(zhì) ? ? ? ??jXtx F? ?? 連續(xù)有界： 若 ??tx 絕對(duì)可積，則 ? ??X 有界并連續(xù)； 奇偶性： ? ? ? ??jXtx F ?? ?? ?? 表 14 時(shí)間實(shí)函數(shù) 幅頻偶、相頻奇 時(shí)間實(shí)偶 頻譜實(shí)偶 時(shí)間實(shí)奇 頻譜虛奇 時(shí)移與頻移： ? ? ? ??? jXettx tjF 00 ?? ??? ? ? ? ?? ?00 ??? ?? ?? jXtxe Ftj 時(shí)移引入線性相位，頻移對(duì)應(yīng)復(fù)指數(shù)調(diào)制 時(shí)間尺度變換： ? ? ??????? ?? ajXaatx F ?1 ? ? ? ??jXtx F ?? ??? 時(shí)間壓縮對(duì)應(yīng)頻譜擴(kuò)展 Parseval’s relation能量的頻率分布 ? ? ? ? ??? djXdttxE 22 2 1 ?? ???????? ?? 能量只與幅頻特性有關(guān)，時(shí)移不影響信號(hào)能量分布 周期信號(hào)與非周期信號(hào)的能量對(duì)比 周期信號(hào)能量為無限大，平均功率為 ??????m mavcP 2，非零功率只存在于離散頻率點(diǎn)； 絕對(duì)可積的非周期信號(hào)能量為 ? ? ? ? ??? djXdttxE 22 2 1 ?? ???????? ??，在任何特定頻率點(diǎn)能量為零，能量分布于頻率區(qū)間上； 連續(xù)時(shí)間信號(hào)截?cái)鄬?duì)于頻譜的影響 只有 極少數(shù)信號(hào)可以求出頻譜的解析表達(dá)式； 絕大多數(shù)實(shí)際信號(hào)只能采用數(shù)值方式求解頻譜； 對(duì)無限長(zhǎng)時(shí)間連續(xù)信號(hào)，在實(shí)際計(jì)算時(shí)必須考慮截?cái)嗖㈦x散化； 時(shí)域截?cái)嗄Ｐ停阂源翱诤瘮?shù)乘以時(shí)間函數(shù) ? ? ? ?twtx a? 15 時(shí)域乘積對(duì)應(yīng)于頻域卷積： ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ??? ??????? dXWWX aa 2 1 其中 ? ? ? ?? aW a sin2? 單頻率信號(hào)的截?cái)嘈Ч? （ 圖 ） 使單頻率展寬，出現(xiàn)主瓣（高 L=2a、寬 4π/L）和旁瓣（高 、寬 2π/L）； 對(duì) 于有限帶寬信號(hào)，截?cái)鄬?dǎo)致帶外泄露（能量）和紋波現(xiàn)象； L 越小，上述效應(yīng)越顯著 。 頻率混疊問題 不滿足條 件 2 時(shí)，可能產(chǎn)生部分混疊（高頻），低頻信號(hào)可恢復(fù)； 不滿足條件 1 時(shí)，總是產(chǎn)生混疊； 當(dāng) CT 信號(hào)能量有限時(shí)，可以增大 T 使得混疊影響足夠??； 對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)先低通濾波是消除混疊的有效方式。 頻率混疊問題 不滿足條件 2 時(shí)，可能產(chǎn)生部分混疊（高頻），低頻信號(hào)可恢復(fù) ； 不滿足條件 1 時(shí)，總是產(chǎn)生混疊； 當(dāng) CT 信號(hào)能量有限時(shí)，可以增大 T 使得混疊影響足夠小； 對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)先低通濾波是消除混疊的有效方式。 奇偶性 周期時(shí)移 —圓周移動(dòng) DFT解決頻率計(jì)算問題的方式： 對(duì)有限時(shí)間序列的連續(xù)頻譜，只計(jì)算其中離散的采樣點(diǎn)； DFT存在的問題： 計(jì)算量問題： 對(duì)于 N 點(diǎn) DFT， 需進(jìn)行 N2次復(fù)數(shù)乘法， N（ N1）次復(fù)數(shù)加法； N的增加導(dǎo)致運(yùn)算量龐大， N 的減少導(dǎo)致誤差增大； FFT 快速付氏變換 利用 DFT 的奇偶性質(zhì)及周期性質(zhì)，對(duì)計(jì)算公式進(jìn)行分解，降低計(jì)算量。 對(duì)稱區(qū)間排布函數(shù) shift（ fft（ x， N））：參見 可以使 ? ?NTm /2?? ? 的取值位于 ]/,/( TT ??? 的對(duì)稱區(qū)間內(nèi)； 用 FFT 進(jìn)行頻譜計(jì)算 26 有限時(shí)間序列的頻譜計(jì)算 從 0 開始的序列： 直接對(duì)該序列進(jìn)行計(jì)算 ( 例 ) 不是從 0 開始的序列： 將該序列進(jìn)行周期性擴(kuò)展后，選取從 0 開始的周期進(jìn)行計(jì)算 % program N=4。 % 給出時(shí)間信號(hào) 序列 X=fftshift(fft(x,N))。 % 根據(jù)定義寫出連續(xù)頻率函數(shù) subplot(1,2,1),plot(w,abs(X1),m*D,abs(X),39。)。(b)39。b=100。 x1=.^n1。 x2=.^n2。 mm=max(abs(X1(m1p+1)))。 對(duì)周期信號(hào)應(yīng)采用 CTFS 進(jìn)行計(jì)算：在一個(gè)周期內(nèi)計(jì)算頻譜。 系統(tǒng)的表達(dá)：沖激響應(yīng) 序列 ??nh FIR 濾波器 有限沖激響應(yīng) 長(zhǎng)度 N 為有限 例如：移動(dòng)平均系統(tǒng) 無記憶系統(tǒng)（乘法器） IIR 濾波器 無限沖激響應(yīng) LTI 系統(tǒng)的差分方程描述 在卷積描述中，隨著 n 的增加， ??ny 的計(jì)算量增加； 利用差分方程，可以有效減少計(jì)算量和存儲(chǔ)量； 例 儲(chǔ)蓄系統(tǒng) ? ? ? ? ? ?nxnyny ??? 100 01 系統(tǒng)流程圖 （系統(tǒng)硬件實(shí)現(xiàn)的一種具體方式） 只由 3 種基本單元組成 單位延遲 乘法器 加法器 （ 圖 ） 差分方程與系統(tǒng)流程圖很容易相互表達(dá)； 集總系統(tǒng)： 可 以用有限個(gè)延遲器實(shí)現(xiàn)； 任何 LTI 系統(tǒng)都可用卷積描述，只有集總系統(tǒng)可以采用差分方程描述； 差分方程的一般形式： ? ? ? ?? ?? ??????KkMm mkmnxbknya1 111 （后向差分） 系統(tǒng)的表達(dá)：序列 a 序列 b 遞歸方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ...1...21 2132 ????????? nxbnxbnyanyany 當(dāng)前輸出與以前的輸出有關(guān)：系統(tǒng)中存在反饋； 與 IIR 系統(tǒng)對(duì)應(yīng)； 非遞歸方程： 除了 1a 外，所有 ka 都等于 0； ? ? ? ? ? ? ...121 ???? nxbnxbny 當(dāng)前輸 出與以前的輸出無關(guān)：系統(tǒng)中不存在反饋； 與 FIR 系統(tǒng)對(duì)應(yīng)； 31 與沖激響應(yīng)的關(guān)系： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ...110 ???? nxhnxhny 系數(shù)序列即為沖激響應(yīng)序列 （序列 b 與序列 h 對(duì)應(yīng)）； FIR 系統(tǒng)也能表達(dá)為遞歸方程以減少運(yùn)算量： 例 采樣周期與實(shí)時(shí)處理過程 在實(shí)時(shí)處理過程中，采樣周期受運(yùn)算周期限制，不能過??； 在非實(shí)時(shí)處理（存儲(chǔ)處理）時(shí)，可以不受運(yùn)算周期和因果性的限制； z變換 系統(tǒng)表達(dá)的重要工具 定義：對(duì)于正區(qū)間信號(hào) ??nx ， 其 z變換定義為 ? ? ? ??????0nnznxzX 例 z變換的計(jì)算：直接利用定義式和求和公式； 反 z變換：長(zhǎng)除法，對(duì) z 進(jìn)行降序排列； 收斂域問題： 保障求和有限的 z 的可能取值區(qū)間； ROC ? ??,: az 簡(jiǎn)單信號(hào)的 z變換： 只考慮正區(qū)間， n 從 0 開始 ? ? kz zkn ?? ???? ? ? 11 ?? ??? zn z? 單位延遲 bz zbzb zn ???? ?? ? 11 1 時(shí)移性質(zhì) 若 ? ? ? ?zXnx z? ?? ， 則 ? ? ? ? 0?? ??? ? kzXzknx kz ? ? ? ? ? ? 010????????? ?? ??? ? ???? kzixzXzknx kiikz 反 z變換的計(jì)算方法 長(zhǎng)除法 將 ??zX 表示為有理分式，直接用分子除以分母； 要點(diǎn)：分子和分母都必須以 kz? 的降序形式 32 部分分式展開及查表法 將 ??zX 表示的有理分式分解為一階分式及二階分式之和，再利用基本變換對(duì)進(jìn)行變換； 要點(diǎn)：將分母進(jìn)行因式分解； ? ? ? ?? ?? ? ? ? ????? ??? 11211 111 zzzzzzzNzXn? 1122111 111 ??? ?????? zzAzzAzzAnn? ? ? ? ? izzii zXzzA ???? 11 基本變換對(duì)： bz zbzb zn ???? ?? ? 11 1 FFT 計(jì)算方法 選取常數(shù) c 大于 ??zX 的最大極點(diǎn)的幅度（確保反變換后得到正區(qū)間信號(hào)）； 取 ? ? )( ?jceXzX ? ，對(duì)應(yīng)為頻譜函數(shù)； 利用 FFT 進(jìn)行反 DTFT 計(jì)算，選取足夠大的采樣點(diǎn) N，可以得到反 z變換序列? ? 1,. ..1,0 ?? Nnnx ； 例 轉(zhuǎn)移函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)） ? ? ? ? ? ??????0kkhknxny 進(jìn)行 z變換： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?zHzXzkhzXkhzXzzYkkkk ???? ?? ??????00 系統(tǒng)函數(shù) ? ? ? ? ? ?? ?zX zYznhzHnn ?? ????0 系統(tǒng)采用系統(tǒng)函數(shù)的描述： 可以看作沖激響應(yīng) 序列 ??nh 的 z變換； 可以看作差分方程序列 b 與序列 a 的分式 ： ? ? ? ?? ?zA zBzH ? 33 利用系統(tǒng)函數(shù)，能夠方便地進(jìn)行各種表達(dá)方式的轉(zhuǎn)換； 例 （ ）由差分方 程得到系統(tǒng)函數(shù) 對(duì)于因果的 LTI集總系統(tǒng)， ? ? ? ?? ?zD zNzH ? 為真分式， ??zD 的階數(shù)就代表了系統(tǒng)的階數(shù)； 系統(tǒng)函數(shù)的 MATLAB 表達(dá)： 采用序列 a 和 b 表達(dá)（長(zhǎng)度相同） 系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的計(jì)算 零點(diǎn)與極點(diǎn)的定義 MATLAB 函數(shù)： zplane（ b， a） [z， p， k]=tf2zp（ b， a） 零點(diǎn)和極點(diǎn)的作用 極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)影響更大 例： 圖 與系統(tǒng)函數(shù)有關(guān)的其他 MATLAB 函數(shù) dimpulse (bp,ap,N) 系 統(tǒng)沖激響應(yīng)： N 點(diǎn)序列 dstep (bp,ap,N) 系統(tǒng)階躍響應(yīng)： N 點(diǎn)序列 [r,p,k]=residuez (bn,an) 系統(tǒng)函數(shù)分解及沖激響應(yīng)表達(dá)式 ? ? ...113253 12211123 3 ????????? ?? ?? zprzprkzzz zzzH ? ? ? ? ...222211 ???? prprnknh ? 例： 圖 FIR 和 IIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù) FIR 濾波器只在原點(diǎn)存在極點(diǎn)； IIR 濾波器在原點(diǎn)以外存在極點(diǎn)； 離散時(shí)間付氏變換與 z變換的關(guān)系 DTFT 不適合用于正區(qū)間信號(hào)分析，因而不適合用于系統(tǒng)分析； 系統(tǒng)穩(wěn)定性 BIBO 對(duì)于有界輸入，輸出必須有界； 穩(wěn)定系統(tǒng) ? ??????0nnh 系統(tǒng) 沖激響應(yīng)絕對(duì)可和； 系統(tǒng) 所有極點(diǎn)均位于單位圓內(nèi)； MATLAB 函數(shù)： roots（ bn） 計(jì)算出系統(tǒng)函數(shù)所有極點(diǎn)； 系統(tǒng)頻率響應(yīng)及其計(jì)算 對(duì)比 z變換和 DTFT 的定義式 ? ? ? ??????0nnznxzX ? ? ? ??????0njnd enxX ?? 34 可以得出 ? ? ? ??? jd eXX ? 此關(guān)系式對(duì)于穩(wěn)定的離散因果系統(tǒng)和絕對(duì)可和的輸入成立； 由以上關(guān)系可得： ? ? ? ? ? ??? ? djd XeHY ? 系統(tǒng) —頻率響應(yīng) 信號(hào) —頻譜 單位圓上的系統(tǒng)函數(shù) ? ? ? ??jeHzH ? ?? 就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)； MATLAB 函數(shù)： [h， w]=freqz (bn,an,n) 給出 ),0[ ? 區(qū)間上 n 點(diǎn)等分的頻率響應(yīng)； （沒有 n 時(shí)，自動(dòng)給出 512 點(diǎn)）； 可以用 w 為頻率坐標(biāo)， h 為函數(shù)，利用 plot 函數(shù)畫出頻率響應(yīng)曲線； 系統(tǒng)一般響應(yīng)的計(jì)算 MATLAB 函數(shù)： y=dlsim (bp,ap,x) y=filter (bn,an,x) 對(duì)指定系統(tǒng)和輸入序列 x，給出輸出序列 y（長(zhǎng)度與 x相同）； 例 ( ) 例 ( ) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與暫態(tài)響應(yīng) 由穩(wěn)定輸入信號(hào)（如階躍信號(hào)、正弦信號(hào)）產(chǎn)生的響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，響應(yīng)函數(shù)形式與輸入函數(shù)形式基本一致； 由系統(tǒng)極點(diǎn)產(chǎn)生的響應(yīng)為暫態(tài)響應(yīng)，響應(yīng)呈現(xiàn)指數(shù)衰減形式； 暫態(tài)響應(yīng)持續(xù)時(shí)間（ 1%最大值）的計(jì)算： ?ln/??a 為系統(tǒng)的最大極點(diǎn)， a 為序列長(zhǎng)度； 有限時(shí)間后，可以認(rèn)為系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)；在進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，通常可以不考慮暫態(tài)