【正文】 用 表示全部 復(fù)矩陣的向量空間； 用 表示全部 維向量； ? 矩陣的基本運算 加法，與標(biāo)量的乘法，與矩陣的乘法，轉(zhuǎn)置， 逆矩陣，求行列式 ? 特殊矩陣 單位陣，對角陣，三對角陣，上三角陣，對稱陣， 上 Hessenberg陣， Hermite陣，對稱正定矩陣， 正交矩陣，酉矩陣，初等置換陣，置換陣 nmC? nm?nR n???????????????nnxxxxRx?21???????????????? ?mnmmnnijnmcccccccccCCCC???????212222111211)( 引言與預(yù)備知識 定理 1 設(shè) ，則下述命題等價： (1) 對任何 ，方程組 有唯一解； (2) 齊次方程組 只有唯一解 。 這些線性方程組的系數(shù)矩陣大致可分為兩類。 (3) 的特征值 (4) 的順序主子式都大于零，即 nnRA ??nRb? bAx?Ax O? xO?0)det( ?A1?AA nArank ?)(nnRA ??AAAA1?A),2,1(1111nkaaaaAkkkkk ?????????????????),2,1( nkA k ??kA),2,1(0 nii ????),2,1(0)d e t( nkA k ???kA 引言與預(yù)備知識 定理 3 設(shè) 為對稱矩陣，如果 或 的特征值 ，則 為對稱正定。 一般情況討論如下： 將 記為 從而得到解為： 上述過程相當(dāng)于： 1 2 32336 ( 4 )4 5 ( 5 )2 6 ( 6 )x x xxxx? ? ??? ???? ? ? ??* (1, 2, 3)Tx ?1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6( ) 0 4 1 5 0 4 1 5 0 4 1 52 2 1 1 0 4 1 1 1 0 0 2 6Ab? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?Ax b? ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ), ( ) ( ) ,i j i jA x b A a a b b? ? ? ? 高斯消去法 即對增廣矩陣進行行初等變換，將系數(shù)矩陣部分化為 上三角矩陣，使原方程組等價于一個三角形方程組， 然后用回代的方法求出三角形方程組的解。 1 , , )k k ki j i j i k k ja a m a i k m j k n? ? ? ? ? ? ?( 1 ) ( ) ( ) ( 1 , , )k k ki i i k kb b m b i k m? ? ? ? ? 高斯消去法 方程加到第 個方程，消去從第 個方 程到第 個方程中的未知數(shù) ，得到 ，其 中： (3) 繼續(xù)上述過程，最后得到 (我們這里僅討論 的 情況， 時，方程組一定有解， 時可能無解。 總結(jié)以上討論，得到： 定理 5 設(shè) ，其中 (3) 繼續(xù)上述過程，最后得到 (我們這里僅討論 的 情況， 時，方程組一定有解， 時可能無解。 A () 0kkka ?() 0kkka ?Ax b? nnAR??() 0 ( 1 , 2 , , )kkka k n??Ax b?( 1, 2 , , 1 )kn??( ) ( )( 1 ) ( ) ( )( 1 ) ( ) ( )/ ( 1 , , )( , 1 , , )( 1 , , )kkik ik k kk k kij ij ik k jk k ki i ik km a a i k na a m a i j k nb b m b i k n??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ??( ) ( ) ( ) ( ) ( )1/ , ( ) / ( 1 , 2 , , 1 )nn n k k kn n n n k k k j j k kjkx b a x b a x a k n n??? ? ? ? ? ??A 高斯消去法 ? 算法 1（高斯算法）設(shè) 如果 ，本算法用高斯方法將 約化為 上梯形，且 覆蓋 ，乘數(shù) 覆蓋 。 對于 (1) (2) 對于 ， (2) 對于 (a) (b) 對于 顯然，第 步需要 次除法， 次乘法， 因此，本算法的總計算量大約需要 次乘法運算，當(dāng) 時，總共大約需要 1, ,i k m??/ik ik ik k ka m a a??1, , ,j k n?? ij ij ik k ja a m a? ? ?k mk? ( )( )m k n k??22/ 3 ( ) / 2s m n s m n s? ? ?m=n 2/3nUx b? nnUR??Ux b?, ,1in?iixb?1, ,j i n?? i i ij jx x u x? ? ? 高斯消去法 ? 算法 2（回代算法）設(shè) ，其中 為非奇 異上三角陣，本算法計算 的解。 Ux b? nnUR??Ux b?, ,1in?iixb?1, ,j i n?? i i ij jx x u x? ? ?/i i iix x u?( 1) / 2nn ?0110A???????() 0 ( 1 , 2 , )kkkak?? 高斯消去法 定理 6 約化的主元素 的充要條件 是矩陣 的順序主子式 ，即 (3) 這個算法需要 次乘除法運算。顯然，當(dāng) 時，定理成 立，現(xiàn)設(shè)定理的充分性對 是成立的，求證對 成 立，假設(shè) ，于是由歸納假設(shè)有 ，可用高斯消去法將 約化到 即 () 0 ( 1 , 2 , , )iiia i k??A 0 ( 1 , 2 , , )iD i k??1 1 1 0Da??1 1 110 ( 1 , 2 , , )iii i iaaD i kaa? ? ?1k?1k?0 ( 1 , 2 , , )iD i k??k() 0 ( 1 , 2 , , 1 )iiia i k? ? ? (1)A ()kA 高斯消去法 證明：首先證明充分性。 定理的必要性顯然。 設(shè)系數(shù)矩陣 的各順序主子式均不為零。 這就是說，高斯消元法實際上產(chǎn)生了一個將 分解 為兩個三角形矩陣的方法，于是得到如下的定理： 211 1 11 2 1 3 1 3 21 2 31111nn n nmL L L L m mm m m? ? ??????????????A0 ( 1 , 2 , , 1 )iD i n? ? ?AL UA n A 高斯消去法 定理 7： (矩陣的 LU分解 ) 設(shè) 為 階矩陣，如果 的順序主子式 ，則 可分解為一 個單位下三角矩陣 和一個上三角矩陣 的乘積，且 這種分解是唯一的。 由于 存在，故： 從而 證畢。 ? 高斯若當(dāng)消去法 如果在消元過程中，不僅僅消去主對角線下方的 元素，同時也消去主對角線上方的元素，則稱為高斯 若當(dāng)消去法，這種方法可省去回代過程，但實際計算 量大于高斯算法。接著，用公式 即可求出方程的解。 例：設(shè) ????????????????????????????????5516,3101141101421126bA??????????????????????????????74/1 9 110/910/373/13/23/101126,137/910/16/115/16/113/11UL 矩陣的三角分解 計算可得： 從而求得： ??????????????????????????????74/19110/910/373/13/23/101126,137/910/16/115/16/113/11UL74191,523,3,64321 ?????? yyyy1,1,1,1 4321 ?????? xxxx 矩陣的三角分解 平方根法 當(dāng)矩陣 對稱正定時，對 的三角分解方法可作顯 著的改進。 算法： 1. 的 分解過程：對 (1) (2) 對 D 0U 矩陣的三角分解 0A L U L D U??0 ()T T TA A U D L?? 0TUL?TA LDL? D 1122DD1 1 1 12 2 2 211( ) ( )T T TA L D D L L D L D L L? ? ?A TLL 1, 2, ,jn?1 12 21()jjj jj jkkl a l???? ?1, ,i j n??11( ) /jij ij ik jk jjkl a l l l???? ?2. 求解三角形方程組 和 ： (1) 對 (2) 對 為提高計算速度，可對本方法加以改進，用 將原來的方程分解為： 及 來計算，則不需 要開方運算。 ? 追趕法 在前面講到三彎矩算法時，我們曾遇到三對角方程 組，其一般形式為： Ly b? TL x y?11( ) /ii i ik k iiky b l y l???? ?1( ) /ni i k i k iikix y u x l???? ?1, 2, , ,in?, 1, ,1,i n n??TA LDL?Ly b? TDL x y?1 1 1 12 2 2 2 231 1 1 1n n n nn n n nb c x fa b c x fab c x fa b x f? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 矩陣的三角分解 簡記為 ，其中，當(dāng) 時， ，且 (1) ， (2) (3) 直接利用矩陣的 分解，即可得