第5課時(shí)合情推理與演繹推理-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 f3( x ) ＝ f [ f2( x )] ＝x7 x ＋ 8， f4( x ) ＝ f [ f3( x )] ＝x15 x ＋ 16， ?? 根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得： 當(dāng) n ∈ N ＋ 且 n ≥ 2 時(shí)， fn( x ) ＝ f [ fn － 1( x )] ＝ ____ ____. 解析： 由 f ( x ) ＝xx ＋ 2( x ＞ 0) 得， f1( x ) ＝ f ( x ) ＝xx ＋ 2， f2( x ) ＝ f [ f1( x )] ＝x3 x ＋ 4＝x? 22－ 1 ? x ＋ 22 ， f3( x ) ＝ f [ f2( x )] ＝x7 x ＋ 8＝x? 23－ 1 ? x ＋ 23 ， f4( x ) ＝ f [ f3( x )] ＝x15 x ＋ 16 ＝x? 24－ 1 ? x ＋ 24 ， ?? ∴ 當(dāng) n ≥ 2 且 n ∈ N ＋ 時(shí)， f n ( x ) ＝ f [ f n － 1 ( x )] ＝x? 2n－ 1 ? x ＋ 2n . 答案：x? 2n－ 1 ? x ＋ 2n 考向二 類比推理 ( 2022axa ＋ a Sn － 1n － 1( n ≥ 2) ， ∴ Sn ＋ 1＝ 4( n ＋ 1 ) 高考湖北卷 ) 傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派 的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù)． 歸納推理的答題誤區(qū) 將三角形數(shù) 1, 3,6,10 ， ? 記為數(shù)列 { a n } ，將可被 5 整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列 { b n } ，可以推測(cè)： ( 1) b 2022 是數(shù)列 { a n } 中的第 ________ 項(xiàng)； ( 2) b 2 k － 1 ＝ ____ ____. ( 用 k 表示 ) 【解題指南】 歸納出 { a n } 的通項(xiàng)是解題關(guān)鍵． 【解析】 ( 1) 由圖可知 an ＋ 1＝ an＋ ( n ＋ 1 ) ( n ∈ N ＋ ) ． 所以 a2－ a1＝ 2 ， a3－ a2＝ 3 ， ? ， an－ an － 1＝ n . 累加得 an－ a1＝ 2 ＋ 3 ＋ ? ＋ n ， 即 an＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ? ＋ n ＝n ? 1 ＋ n ?2. 當(dāng) n ＝ 4,5,9, 10,14,1 5,19,2 0,24,25 ， ? 時(shí)， an能被 5 整除，即 b2＝ a5， b4＝ a10， b6＝ a15， b8＝ a20， ? ，所以 b2 k＝ a5 k( k ∈ N ＋ ) ．所以b2 012＝ a5 1 006＝ a5 030. ( 2) 由 ( 1) 可知 b2 k － 1＝ a5 k － 1＝12 5 k (5 k － 1) ＝5 k ? 5 k － 1 ?2. 【答案】 ( 1) 5 030 ( 2)5 k ? 5 k － 1 ?2 創(chuàng)新點(diǎn)評(píng) 解 答本題時(shí)有兩點(diǎn)易錯(cuò)： ( 1) 對(duì)所給式子，列舉較少，不能發(fā)現(xiàn)正確的規(guī)律而誤解． ( 2) 無(wú)從下手，找不到 bk與 an之間的關(guān)系． 備考建議 ( 1 ) 解決歸納推理問(wèn)題，尤其是所求題目無(wú)法直接解出，必須尋求規(guī)律才能解決時(shí)要多計(jì)算幾個(gè)式子，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但運(yùn)算要準(zhǔn)確無(wú)誤方能正確求解． ( 2) 歸納推理的關(guān)鍵是要在部分對(duì)象中尋找共同特征或某種規(guī)律性，然后進(jìn)行歸納、猜想． 1 ． ( 201 3 ＋ cos217 176。 ＋ cos215 176。 ＋ cos212 176。 ＋ cos248 176。 ＋ cos255 176。 ＋ cos215 176。 ＝ 1 －14＝34. ( 2) 三角恒等式為 s i n2α ＋ c os2( 30176。 － α ) ＝ s i n2α ＋ ( cos 30 176。 s i n α ) ＝ s i n2α ＋34cos2α ＋32si n α c os α ＋14si n2α －32si n α cos α －12si n2α ＝34si n2α ＋34cos2α ＝34.
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