第2章一階邏輯-預覽頁
【正文】 F(x)： x+5=2， 1）假命題 2）真命題 26 一元謂詞實例 例：在一階邏輯中將下面命題符號化（全總個體域） 凡偶數(shù)均能被 2整除 F(x)： x是偶數(shù)， G(x)： x能被 2整除 ?x(F(x) → G(x)) 27 例： 存在著偶素數(shù) F(x)： x是偶數(shù)， G(x)： x是素數(shù) ?x(F(x) ∧ G(x)) 例： 沒有不犯錯誤的人 M(x)： x是人， G(x)： x犯錯誤 ~?x(M(x) ∧ ~G(x)) ?x(M(x) → G(x)) （所有的人都犯錯誤） 28 實例 在北京工作的人未必都是北京人 F(x)： x在北京工作， G(x)： x是北京人 ~?x(F(x) → G(x)) ?x(F(x) ∧ ~G(x)) （存在著在北京工作的非北京人） 29 多元謂詞實例 一切的人都不一樣高 M(x)： x是人， H(x,y)： x≠y， L(x,y)： x與 y一樣高， ?x?y (M(x)∧ M(y)∧ H(x,y)→ ~L(x,y)) ~?x?y (M(x)∧ M(y)∧ H(x,y) ∧ L(x,y)) 30 每個自然數(shù)都有后繼數(shù) F(x)： x是自然數(shù)， H(x,y)： y是 x的后繼數(shù) ?x(F(x) → ?y(F(y)∧ H(x,y))) 有的自然數(shù)無先驅數(shù) F(x)： x是自然數(shù)， H(x,y)： y是 x的先驅數(shù) ?x(F(x)∧ ?y(F(y) → ~H(x,y))) 31 一階邏輯合式公式及解釋 字母表 項 原子公式 合式公式 換名規(guī)則 代替規(guī)則 解釋 分類 指導變項 約束出現(xiàn) 自由出現(xiàn) 閉式 32 字母表如下： 1. 個體常項： a, b, c,… ai, bi, ci,…, i≥1。 比如 : f (x,y)表示 x + y, f (2,3)表示個體 自然數(shù) 5； 函數(shù) f (x)： x 的父親 ,c:張強； P (x)： x是教授，則 P (f (c))：張強的父親是教授。 36 原子公式 設 R (x1, x2, …, xn)是任意 n元 謂詞 , t1, t2, …, tn是 項 ，則稱 R (t1, t2, …, tn)是原子公式。 40 實例 1. ?v1 (v1 +1=0) 量詞的轄域是全公式。 沒有自由變元的公式 φ叫做封閉的合式公式，也叫 閉式。 47 例：給定解釋 I如下： 1. DI={2， 3}； 2. DI中 特定的元素 a=2。 L(2,3)= L(3,2)=0. 48 ? ?x(F(x) ∧ G (x,a)) ? (F(2) ∧ G (2,2)) ∧ (F(3) ∧ G (3,2)) ? (0 ∧ 1) ∧ (1 ∧ 1) ? 0 ? ?x(F(f(x)) ∧ G (x, f(x))) ? (F(f(2)) ∧ G (2, f(2))) ∨ (F(f(3)) ∧ G (3, f(3))) ? (F(3) ∧ G (2,3)) ∨ (F(2) ∧ G (3, 2)) ? (1 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 1) ? 1 ? ?x?y L(x,y) ? ?x(L(x,2)∨ L(x,3)) ? (L(2,2)∨ L(2,3)) ∧ (L(3,2)∨ L(3,3)) ? (1∨ 0) ∧ (0∨ 1) ? 1 49 公式的分類 設 A為一公式， 如果 A在 任何解釋下 都是 真 的，則稱 A為 邏輯有效式 （或稱永真式） 如果 A在任何解釋下都是 假 的，則稱 A為 矛盾式 （或稱永假式） 若 至少存在一個解釋 使 A為 真 ，則稱 A為 可滿足式 。 51 判斷 例 :哪些是邏輯有效式，哪些是矛盾式？ （ 1） ?x P(x) → ?x P (x) 邏輯有效式 （ 2） ?x P(x) →( ?x?yQ(x,y) → ?x P(x)) 邏輯有效式 （ 3） ?x P(x) →( ?x P(x) ∨ ?yG(y)) 邏輯有效式 52 判斷 （ 4） ~ (P(x,y) → Q(x,y)) ∧ Q(x,y) 矛盾式 （ 5） ?x?yQ(x,y) → ?x?y Q(x,y) 不是邏輯有效式也不是矛盾式，因為考慮自然數(shù)集合中 Q(x,y)： x=y。 2. 命題邏輯中的 24個等值式及其代換實例都是一階邏輯中的等值式。 前束標準型：所有量詞都在公式最前面，轄域為整個公式。,4 2. ,4
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