幾何體與球的體積表面積(含答案)-預(yù)覽頁
【正文】 D．6π 二．填空題（共5小題）21．已知正四棱錐O﹣ABCD的體積為，底面邊長為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為 ?。?2．已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為 ?。?3．如圖，已知球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于 ．24．正四棱錐S﹣ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點(diǎn)S、A、B、C、D都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為 ?。?5．設(shè)OA是球O的半徑，M是OA的中點(diǎn)，過M且與OA成45176。=，∵三棱錐O﹣ABC的體積為，△ABC的外接圓的圓心為G，∴OG⊥⊙G，外接圓的半徑為：GA==1，∴S△ABC?OG=，即OG=，OG=，球的半徑為：=4．球的表面積：4π42=64π．故選：D【點(diǎn)評】本題考查球的表面積的求法，球的內(nèi)含體與三棱錐的關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì)算能力． 4．（2016?衡水模擬）四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長為3的等邊三角形．若AB=2，則球O的表面積為（ ?。〢．8π B．12π C．16π D．32π【分析】取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，作出外接球的球心，求出半徑，即可求出表面積．【解答】解：取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，∵在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長為3的等邊三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心為G，作OG∥AB交AB的中垂線HO于O，O為外接球的中心，BE=，BG=，R===2．四面體ABCD外接球的表面積為：4πR2=16π．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查球的內(nèi)接體知識，考查空間想象能力，確定球的切線與半徑是解題的關(guān)鍵． 5．（2016?河南模擬）已知在三棱錐P﹣ABC中，VP﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱錐P﹣ABC外接球的體積為（ ）A． B． C． D．【分析】利用等體積轉(zhuǎn)換，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中點(diǎn)為球心，球的半徑，即可求出三棱錐P﹣ABC外接球的體積．【解答】解：由題意，設(shè)PC=2x，則∵PA⊥AC，∠APC=，∴△APC為等腰直角三角形，∴PC邊上的高為x，∵平面PAC⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距離為x，∵∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，∴PB=x，BC=x，∴S△PBC==，∴VP﹣ABC=VA﹣PBC==，∴x=2，∵PA⊥AC，PB⊥BC，∴PC的中點(diǎn)為球心，球的半徑為2，∴三棱錐P﹣ABC外接球的體積為=．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查三棱錐P﹣ABC外接球的體積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確確定球心與球的半徑是關(guān)鍵． 6．（2016?南昌三模）已知正△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球O的截面，則截面面積的最小值是（ ?。〢．π B．2π C．π D．3π【分析】設(shè)正△ABC的中心為O1，連結(jié)O1A．根據(jù)球的截面圓性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)與勾股定理，而經(jīng)過點(diǎn)E的球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)截面圓的半徑最小，相應(yīng)地截面圓的面積有最小值，由此算出截面圓半徑的最小值，從而可得截面面積的最小值．【解答】解：設(shè)正△ABC的中心為O1，連結(jié)O1A∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，∵球的半徑R=2，球心O到平面ABC的距離為1，得O1O=1，∴Rt△O1OA中，O1A=．又∵E為AB的中點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，∴AE=AO1cos30176。C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（ ?。〢．36π B．64π C．144π D．256π【分析】當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O﹣ABC的體積最大，利用三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，求出半徑，即可求出球O的表面積．【解答】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O﹣ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時(shí)VO﹣ABC=VC﹣AOB===36，故R=6，則球O的表面積為4πR2=144π，故選C．【點(diǎn)評】本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計(jì)算，確定點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O﹣ABC的體積最大是關(guān)鍵． 15．（2015?大慶三模）設(shè)三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90176。知BC=，∠ABC=90176。角的平面截球O的表面得到圓C．若圓C的面積等于，則球O的表面積等于 8π?。痉治觥勘绢}可以設(shè)出球和圓的半徑，利用題目的關(guān)系，求解出具體的值，即可得到答案．【解答】解：設(shè)球半徑為R，圓C的半徑為r，．因?yàn)椋傻肦2=2故球O的表面積等于8π故答案為：8π，【點(diǎn)評】本題考查學(xué)生對空間想象能力，以及球的面積體積公式的利用，是基礎(chǔ)題． 第19頁（共19頁）
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