代數(shù)學(xué)引論聶靈沼丁石孫版第一章習(xí)題答案-預(yù)覽頁
【正文】 到ba=ab,由此可見群G為交換群.2. 如果群G中,每個元素a都適合a2=e, 則G為交換群.證明: [方法1] 對任意a,bG,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab因此G為交換群.[方法2] 對任意a,bG,a2b2=e=(ab)2,由上一題的結(jié)論可知G為交換群.3. 設(shè)G是一非空的有限集合,其中定義了一個乘法ab,適合條件:(1) a(bc)=(ab)c。證明G在該乘法下成一群.證明:[方法1] 設(shè)G={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一個數(shù)字,由(2)可知若ij(I,j=1,2,…,n),有akaiak aj1aiakaj ak2再由乘法的封閉性可知G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}3G={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}4由1和3知對任意atG, 存在amG,使得akam=at.由2和4知對任意atG, 存在asG,使得asak=at. 由下一題的結(jié)論可知G在該乘法下成一群. 下面用另一種方法證明,這種方法看起來有些長但思路比較清楚。對任意akG,a1(atak) =(a1at)ak=a1ak由條件(2)可知atak=ak. 類似可證akat=ak.因此at就是G的幺元.(Ⅱ) 證明G內(nèi)任意元素都可逆；上面我們已經(jīng)證明G內(nèi)存在幺元，可以記幺元為e，為了方便可用a,b,c,…，存在bG，使得ab=ba=e.1 對任意aG，存在bG，使得ab=e。Stable[n_]:=(*生成Sn群表*) (a=Se[n]。另一方面, xHG,HG, 又注意到xH和H中都有n個元素, 故此HxH=G.那么任取aH,由上面的分析可知axH, 從而可令a=xh1這里h1H. 假設(shè)存在hH, 使得aha1H,則必有aha1xH,從而可令aha1=xh2這里h2H. 那么xh1ha1=xh2,即a= h2h1hH,產(chǎn)生矛盾.因此，任取aH, hH, 有aha1H.綜上可知對任取aG, hH, 有aha1H,因此H為G的一個正規(guī)子群.13. 設(shè)群G的階為一偶數(shù),證明G中必有一元素ae適合a2=e.證明: 設(shè)bG，且階數(shù)大于2，那么b≠b1,，幺元e的階數(shù)為1，注意到G的階數(shù)為宜偶數(shù)，故此必存在一個2階元，(切確的說階數(shù)為2的元素有奇數(shù)個).[討論] [1] 設(shè)G是一2n階交換群，？提示：采用反證法，并注意用Lagrange定理.[2] 群G中，任取aG，有an=e，那么G一定是有限群嗎？如果不是請舉出反例，若是有限群，階數(shù)和n有什么關(guān)系？14. 令A(yù)=, B=證明:集合{B,B2,…,Bn,AB,AB2,…,ABn}在矩陣的乘法下構(gòu)成一群, 而這個群與群Dn同構(gòu).證明:下面證明G={B,B2,…,Bn,AB,AB2,…,ABn}在矩陣的乘法下構(gòu)成一群.(Ⅰ)首先證明對乘法運算封閉. 下面進(jìn)行分類討論：(1) BiBj=Bi+j,注意到Bn=故此BiBj=BrG這里i+j=kn+r,kZ,0rn.(2) A BiBj=BrG這里i+j=kn+r,kZ,0rn.(3) 容易證明BAB=A=ABn,BA=BiAB(s+1)n=ABntG,這里i=sn+t,kZ,0Bi(ABj)=( BiA)Bj=(ABnt)BjG(4) (ABi)(ABj)=A(BiABj)=A((ABnt)Bj)=A2(BntBj)= BntBj)G由(1),(2),(3),(4)知G對乘法運算封閉.(Ⅱ)因集合G對矩陣乘法封閉，再由矩陣乘法的性質(zhì)可知，結(jié)合律肯定成立.(Ⅲ)顯然Bn=A2=E為幺元.(Ⅳ)對Bi(i=1,2,…,n),有BiBni=E。(4) aH=bH?a1b∈H。(iii) L有單位元素；(iv) L是一個體.證明：(i) 先證明L無左零因子，假設(shè)a為L的一個左零因子，那么a≠0，且存在c≠0，使得ac=0，于是cac=0. 因a≠0，則存在唯一b使得aba=a(b+c)a=a,b+c≠b產(chǎn)生矛盾，所以L無左零因子.類似可證L無右零因子.(ii) 因aba=a，所以abab=ab. 由(i)的結(jié)論知L無零因子，因此滿足消去律，而a≠0，故bab=b.(iii) 我們?nèi)我贿x取a(≠0)∈L，再設(shè)aba=a(這里b是唯一的)，首先證明ab=a(a2ba+b)a=a，所以a2ba+b=b，即a2b=a=aba，由消去律得到ab=ba.任取c∈L，則ac=abac，故此c=(ba)c=(ab)c；另一方面，ca=caba，故此c=c(ab).綜上得到c=(ab)c=c(ab),所以ab就是單位元素，我們記ab=ba=1.(iv) 由(iii)可知任意a(≠0)∈L，ab=ba=1，即任意非零元素都可逆，因此L成為一個體.43. 令C[0,1]為全體定義在閉區(qū)間[0,1]：(i) 對于的任一非平凡的理想I，一定有個實數(shù)，使得f()=0對所有的f(x)∈I；(ii) 是一零因子當(dāng)且僅當(dāng)點集 {x∈[0,1]|f(x)=0} 包含一個開區(qū)間.證明：(i) 證明思路：設(shè)I為非零的非平凡理想，假設(shè)對任意x∈[0,1]，存在f(x)∈I使得f(x)≠0，想法構(gòu)造一個g∈I可逆.(ii) 提示：用連續(xù)函數(shù)的局部保號性.44. 令F=Z/(i) 環(huán)Mn(F)的元素的個數(shù)；(ii) 群GLn(F)的元素的個數(shù).45. 設(shè)K是一體，a，b∈K，a，b不等于0，且ab≠：a(a1+(b1a)1)1=aba.證明： 因為a(a1+(b1a)1)1=aba?1(a1+(b1a)1)1a1=ab?(aa1+a(b1a)1)1=1ab?(1+a(b1a)1)1=1ab?(1+((ab)11)1)1=1ab，為了方便記x=ab，那么1x，x，x11都可逆，只要證明(1+(x11)1)1=1x即可，或者證明1+(x11)1=(1x)1即可. 因為1+(x11)1=1+(x1x1x)1=1+(1x)1x=(1x)1(1x) +(1x)1x=(1x)1,所以結(jié)論成立，即a(a1+(b1a)1)1=aba.30
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