【正文】 ”。并事件A∪B發(fā)生意味著“事件A與B中至少一個發(fā)生”?！　　　?4)事件A對B的差，由在事件A中而不在B中的樣本點組成的新事件稱為A對B的差，記為AB。例如:　　(1)拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的可能性各為1/2?！　∩鲜稣娉霈F(xiàn)的機會、市場占有率、中簽率以及常見的廢品率、命中率等都是用來度量隨機事件發(fā)生的可能性大小。特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即:　　P(φ)=0，P(Ω)=1　　二、概率的古典定義與統(tǒng)計定義　　確定一個事件的概率有幾種方法，這里介紹其中兩種最主要的方法，相應于概率的兩種定義，即古典定義及統(tǒng)計定義?！　?2)定義事件B=“點數(shù)之和為5”={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，它含有4個樣本點，故P(B)=4/36=1/9?，F(xiàn)概要介紹如下:　　排列與組合是兩類計數(shù)公式，它們的獲得都基于如下兩條計數(shù)原理?！　±?，由甲城到乙城去旅游有三類交通工具:汽車、火車和飛機，而汽車有5個班次，火車有3個班次，飛機有2個班次，那么從甲城到乙城共有5+3+2=10個班次供旅游選擇。按乘法原理，此種重復排列共有n＇個?！　?5)組合:從n個不同元素中任取r(r≤n)個元素并成一組(不考慮其間順序)稱為一個組合，此種組合數(shù)為:規(guī)定0!=1，因而　　=1。其中“隨機抽取”必導致這　　個樣本點是等可能的。要使取出的n個產(chǎn)品全是合格品，那必須從該批中NM個合格品中抽取，這有　　種取法。故事件A1的概率為:　　　　最后，要使事件Am發(fā)生，必須從M個不合格品中隨機抽取m個，而從NM個合格品中隨機抽取nm個。　　假如給定N=10，M=2和n=4，下面來計算諸事件Am的概率:　　　　而A3，A4等都是不可能事件。因此可不論其次序。由于每次都有N種可能，故在放回抽樣的問題中共有Nn種等可能的樣本點。故事件B1的概率為:　　　　類似地，事件Bm共含有　　個樣本點?！　∮谑侵TBm發(fā)生的概率為:　　P(B0)==　　P(B1)=4=　　　　P(B4)==　　可見，在放回抽樣中，B0和B1發(fā)生的可能性最大，而B4發(fā)生的可能性很小，B4在1000次中發(fā)生還不到二次。歷史上有不少人做過更多次重復試驗?！　?2)在英語中某些字母出現(xiàn)的頻率遠高于另外一些字母?！　　　　　　　∪⒏怕实男再|(zhì)及其運算法則　　(一)概率的基本性質(zhì)及加法法則　　根據(jù)概率的上述定義，可以看出它具有以下基本性質(zhì):　　性質(zhì)1:概率是非負的，其數(shù)值介于0與1之間，即對任意事件A，有:　　0≤P(A)≤1　　特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即:　　P(φ)=0，P(Ω)=1　　性質(zhì)2:若是A的對立事件，則:　　P(A)+P()=1　　或　　P()=1P(A)　　性質(zhì)3:若AB，則:　　P(AB)=P(A)P(B)　　性質(zhì)4:事件A與B的并的概率為:　　P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)　　這個性質(zhì)稱為概率的加法法則。再由性質(zhì)1，立即可得:　　P(A3)=1P()=11/8=7/8=　　[]一批產(chǎn)品共100件，其中5件不合格品，現(xiàn)從中隨機抽出10件，其中最多有2件不合格品的概率是多少?　　解:設(shè)A表示事件“抽出10件中恰好有i件不合格品”，于是所求事件A=“最多有2件不合格品”可表示為:　　A=A0∪A1 U A2并且A0，A1，A2為三個互不相容事件，由性質(zhì)(5)P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)?！　　瞉某足球隊在未來一周中有兩場比賽，在第一場比賽中獲勝概率為1/2，在第二場比賽中獲勝概率是1/3，如果在兩場比賽中都獲勝概率是1/6，那么該隊在這兩場比賽中至少有一場獲勝的概率是多少?　　解:設(shè)事件Ai=“第i場比賽獲勝”，i=1，2。條件概率的計算公式為:　　這表明:條件概率可用兩個特定的(無條件)概率之商來計算，在舉例說明之前，先導出概率的乘法公式。即中18個樣本點可不予考慮，可能的情況是事件B中的7個樣本點之一?！　☆愃频?，利用這個解釋，可得P(B|A)=5/15=1/3?！　∵@里談論的是烏龜?shù)膲勖?，假如我們能獲得彈藥的貯存壽命表，那么就可計算，存放10年的彈藥再放5年仍完好的概率是多少?假如有一個國家或地區(qū)的人的壽命表，就可算得30歲的人能活到60歲的概率是多少?保險公司正是利用這個條件概率對30歲的投保人計算人身保險費率的。要求的概率為P(A1 A2 A3)，由于三個標本相互獨立，所以:　　P(A1 A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=()3= 這個概率是很小的。常用大寫字母X，Y，Z等表示隨機變量，而它們的取值用相應的小寫字母x，y，z等表示。例如:　　(1)設(shè)X是一只鑄件上的瑕疵數(shù)，則X是一個離散隨機變量，它可以取0，1，2，…等值。類似地，一平方米玻璃上的氣泡數(shù)、一匹布上的疵點數(shù)、一臺車床在一天內(nèi)發(fā)生的故障數(shù)都是取非負整數(shù){0，1，2，3，…}的離散隨機變量?！癤=0”表示合格品，“X=　　1”表示不合格品。認識一個隨機變量X的關(guān)鍵就是要知道它的分布，分布包含如下兩方面內(nèi)容:　　(1)X可能取哪些值，或在哪個區(qū)間上取值。滿足這兩個條件的分布稱為離散分布，這一組pi也稱為分布的概率函數(shù)?！　ν瑯訂栴}，若用放回抽樣，則從10個產(chǎn)品(其中有2個不合格品)中隨機取出4個，其中不合格品數(shù)Y是另一個隨機變量，它可取0，1，2，3，4等五個值。在第一節(jié)中，已經(jīng)詳細介紹過根據(jù)一批樣本數(shù)據(jù)繪制頻率直方圖的方法。當累積到很多x值時，就形成一定的圖形，為了使這個圖形得以穩(wěn)定，把縱軸改為單位長度上的頻率，由于頻率的穩(wěn)定性，隨著被測質(zhì)量特性值x愈多，這個圖形愈穩(wěn)定，其外形顯現(xiàn)出一條光滑曲線?！　　　∵@里應強調(diào)的是:圖上的縱軸原是“單位長度上的頻率”，由于頻率的穩(wěn)定性，可用概率代替頻率，從而縱軸就成為“單位長度上的概率”，這是概率密度的概念，故最后形成的曲線稱為概率密度曲線，它一定位于x軸上方(即p(x)≥0)，并且與x軸所夾面積恰好為1。　　:　　　　地區(qū)(a)。實際中不少產(chǎn)品發(fā)生失效(故障)的時間，或發(fā)生故障后需要維修的時間都服從指數(shù)分布，例如某廠生產(chǎn)的推土機發(fā)生故障后的維修時間T(單位:分)服從指數(shù)分布Exp(002)?！　∪?、隨機變量分布的均值、方差與標準差　　隨機變量X的分布(概率函數(shù)或密度函數(shù))有幾個重要的特征數(shù)，用來表示分布的集中位置(中心位置)和散布大小?！　》讲钣脕肀硎痉植嫉纳⒉即笮?，用Var(X)表示，方差大意味著分布的散布較寬、較分散，方差小意味著分布的散布較窄、較集中。類似地可以算得“擲兩顆骰子，6點出現(xiàn)個數(shù)X”的均值為1/3。　　〔]看圖識方差(與標準差)。若要方差小，則和式中每一項都要小?！　?從而標準差)從上到下是逐漸減小的。X2)=Var(X1)+Var(X2)　　這個性質(zhì)也可推廣到三個或更多個相互獨立隨機變量場合?！　?2)n次試驗間相互獨立，即一次試驗結(jié)果不對其他次試驗結(jié)果產(chǎn)生影響?，F(xiàn)研究如下幾個問題:　　(1)恰有1個不合格品的概率是多少?這里規(guī)定抽到不合格品為“成功”，則事件X=1的概率為:　　這表明。從此圖上可以看出分布的形態(tài)，哪些x上的概率大，哪些x上的概率小?！　　　?2)不超過1個不合格品的概率為:　　P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=　　這表明?！　?1)在一個月內(nèi)發(fā)生1起重大事故的概率為:　　類似地也可計算X取其他值的概率，現(xiàn)羅列于如下分布列中:　　　　對泊松分布來說，X可以取8，9，…等值?！　?3)泊松分布P()的均值、方差與標準差分別為:　　E(X)=Var(X)=，σ(X)==　　　　從一個有限總體中進行不放回抽樣常會遇到超幾何分布。　　解:按題意知，X服從超幾何分布h(n，N，M)，其中N=20，M=5，n=8，r=min(n，M)=5，所求的分布為:　　當X=0時，可算得:　　X=1時，可算得:　　類似可算得X=2，3，4，5的概率?！　　　≌龖B(tài)分布的概率密度函數(shù)有如下形式:　　它的圖形是對稱的鐘形曲線，常稱為正態(tài)曲線。　　固定標準差σ時，不同的均值，如μ1μ2，對應的正態(tài)曲線的形狀完全相同，僅位置不同，(a)?！　嶋H中很少有一個質(zhì)量特性(隨機變量)的均值恰好為0，方差與標準差恰好為1。根據(jù)u的值可在標準正態(tài)分布表(附表11)上查得，例如事件“U≤”的概率可從附表12上查得　　P(U≤)=Φ()=　　，()?！　?4)P(a≤U≤b)=Φ(b)Φ(a)()。　　(2)(0，1)，也稱為90%分位數(shù)或90百分位數(shù)?！　。?0%分位數(shù)，也稱為中位數(shù)，在標準正態(tài)分布N(0，1)場合，=0?！　　　‖F(xiàn)在轉(zhuǎn)入正態(tài)分布的計算。譬如:　　若X～N(10，22)，通過標準化變換　　　　若Y～N(2，)，通過標準化變換　　　　?！　　　「鶕?jù)性質(zhì)2中(3)，讓區(qū)間端點隨著標準化變換而變化，最后可得:　　　　從這個例子可以看到標準化變換在正態(tài)分布計算中的作用，數(shù)不清的各種正態(tài)分布計算都可通過一張標準正態(tài)分布表來實現(xiàn)，關(guān)鍵在于標準化變換。)為標準正態(tài)分布函數(shù)，其函數(shù)值可從附表12中查得。現(xiàn)從現(xiàn)場得知該廠電阻器的阻值X服從正態(tài)分布，其均值μ=，標準差σ=?！　?3)某金屬材料的抗拉強度(單位:kg/cm2)服從正態(tài)分布N(38，)。kσ，其中k為某個實數(shù)，則有:　　合格品率=P(|Xμ|≤kσ)=2Φ(k)1；　　不合格品率=P(|Xμ|kσ)=2〔1Φ(k)]；　　對k=1，2，3，4，5，6，可通過查附表12算得上述各種概率，其中不合格品率用ppm(106)單位表示，特別過小的不合格品率更是如此?！　　　　　±纾粋€隨機變量X服從均勻分布U(10，15)((a))，則X在小區(qū)間(11，12)與小區(qū)間(，)上的面積相等，即:　　P(11X12)=P(X)=10.=(a，b)的均值、方差與標準差分別為:　　　　(a)上所示的均勻分布U(10，15)，它的均值、方差與標準差分別為:　　　　　　對數(shù)正態(tài)分布可用來描述很多隨機變量的分布，如化學反應時間、絕緣材料被擊穿時間、產(chǎn)品維修時間等都是服從對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量。　　　　(3)最重要的特征是:若隨機變量X服從對數(shù)正態(tài)分布，則經(jīng)過對數(shù)變換Y=lnX(ln是自然對數(shù))后服從正態(tài)分布，即原來X的分布是(右)偏態(tài)分布，經(jīng)對數(shù)變換后，成為正態(tài)分布，或者說對數(shù)正態(tài)變量經(jīng)對數(shù)變換后為正態(tài)變量?！　∥濉⒅行臉O限定理　　中心極限定理是統(tǒng)計中常用到的一個結(jié)論。中心極限定理表明，當n比較大，樣本均值的分布總是近似于正態(tài)分布。這些概念之間相互之間是有聯(lián)系的，而要將它們表達清楚，又必須借用第二節(jié)中所引進的概率這個工具?！　≡賮碛懻摌颖?，一個樣本量為n的樣本是從總體中抽取的n個個體，這n個樣本觀測值x1，x2，…，xn可以看成為隨機變量X的n次實現(xiàn)值?！　?1)隨機性?！　?2)獨立性。在實際中抽樣時，也應按此要求從總體中進行抽樣。分布愈分散，樣本也很分散；分布愈集中，樣本也相對集中些。樣本的觀測值用x1，x2，…，xn表示，這也是我們常說的數(shù)據(jù)?！　〔缓粗獏?shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計量，統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。只有樣本眾數(shù)例外，因為樣本眾數(shù)的確定在許多情形并不明確，它不能用樣本函數(shù)表示，因此那里定義的樣本眾數(shù)不能作為統(tǒng)計量。而所有這些又必然與總體的分布、均值與方差有關(guān)?！　]下面50個數(shù)據(jù)是從均值為10，方差為4的正態(tài)總體中隨機抽取出來的(根據(jù)正態(tài)總體的隨機數(shù)產(chǎn)生法用計算機得到)，按行分為10組，每組5個數(shù)據(jù):　　1)，；　　2)，；　　3)，；　　4)，；　　5)，；　　6)，；　　7)，；　　8)，；　　9)，；　　10)，；　　如果將每行數(shù)據(jù)看成是一個從該正態(tài)總體中抽取的樣本量為5的樣本，計算得到樣本均值分別為:　　(1)=，(2)=，(3)=，(4)=，(5)=，　　(6)=，(7)=，(8)=，(9)=，(10)=　　這10個平均數(shù)的平均數(shù)　　如果我們將每兩行數(shù)據(jù)看做是從總體中抽取的樣本量為10的樣本，則5個樣本的均值分別為:　　， 。根據(jù)前述給出的的均值與方差的結(jié)果，得知當n大時，近似N(μ，σ2/n)?！　?一)方差未知時，正態(tài)均值的分布——t分布上一小節(jié)已提到，對于正態(tài)總體N(μ，σ2)，樣本均值的分布為　　　　　　是已知的，否則在實際中并不能立即就可應用。當自由度超過30以后，兩者區(qū)別已不大。它們的樣本方差之比的分布是自由度為n1和m1的F分布:　　其中n1稱為分子自由度，m1稱為分母自由度?！　「鶕?jù)樣本對總體進行推斷是數(shù)理統(tǒng)計的核心，參數(shù)估計與假設(shè)檢驗是統(tǒng)計推斷的兩個基本內(nèi)容。這些都需要通過從總體中取樣本，從樣本觀測值來對此進行估計。例如二項分布b(n；p)的均值npq=np(1p)中的未知成分只是未知參數(shù)p，因此只要對p進行了估計，均值的估計也就完全解決了。對一個具體的樣本X1，X2，…，Xn，可計算的一個具體的數(shù)值，稱為θ的估計值。但是我們可以通過多次抽樣，對不同樣本，的不同具體估計值，對實際偏差θ進行“平均”。雖然由于θ是未知的，MSE()也并不是總能求得的。　　()式中的第二項表示的是對其均值E()差的平方的均值，稱為估計量的方差?！　?三)求點估計的方法——矩法估計　　參數(shù)估計時，一個直觀的思想是用樣本均值作為總體均值的估計，用樣本方差作為總體方差的估計等。例如對任何總體，樣本均值對總體均值μ的估計總是無偏的，樣