【正文】 BD,∴ AD= ? =2,tan∠ ADO=? =? ,∴∠ ADO=30176。30176。 (2)若 AB=5,AC=6,求 ?ABCD的面積 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴∠ B=∠ D. ∵ AE⊥ BC,AF⊥ DC, ∴∠ AEB=∠ AFD=90176。,O、 D分別是邊 AC、 AB的中點(diǎn) ,過點(diǎn) C作 CE ∥ AB交 DO的延長線于點(diǎn) E,連接 AE,CD. (1)求證 :四邊形 AECD是菱形 。AB=2? . ,A F O C E OA O F C O EO A O C? ? ???? ? ??? ??3cosCDDCF? 3c o s 3 0 ?3思路分析 (1)由 O是 AC的中點(diǎn) ,且 EF⊥ AC,得 AF=CF,AE=CE,OA=OC,由矩形對邊平行得 ∠ AFE=∠ CEF,可證△ AOF≌ △ COE,得 AF=CE,再利用四邊相等的四邊形是菱形得結(jié)論 . (2)用底乘高求菱形的面積 . 主要考點(diǎn) 矩形的性質(zhì) ,菱形的判定 ,銳角三角函數(shù) . 考點(diǎn)三 正方形 1.(2022桂林 ,11,3分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,AB=3,點(diǎn) M在 CD邊上 ,且 DM=1,△ AEM與△ ADM關(guān) 于 AM所在直線對稱 ,將△ ADM按順時(shí)針方向繞點(diǎn) A旋轉(zhuǎn) 90176。④ AN2+CM2=MN2。, ∴∠ BCN=∠ CDM, 又 ∵∠ CBN=∠ DCM=90176。 ∵∠ BON+∠ BOM=∠ COM+∠ BOM=90176。 ∵ △ OCM≌ △ OBN, ∴ 四邊形 BMON的面積 =△ BOC的面積 =1, 即四邊形 BMON的面積是定值 1, ∴ 當(dāng)△ MNB的面積最大時(shí) ,△ MNO的面積最小 , 設(shè) BN=x=CM,則 BM=2x, ∴ △ MNB的面積 =? x(2x)=? x2+x, 12 12∴ 當(dāng) x=1時(shí) ,△ MNB的面積有最大值 ? , 此時(shí) ,S△ OMN的最小值是 1? =? ,故⑤正確 . 綜上所述 ,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 5,故選 D. 1212 123.(2022貴港 ,8,3分 )下列命題中錯(cuò)誤的是 ? ( ) 答案 C A、 B、 D所述命題正確 ,C所述命題錯(cuò)誤 ,故選 C. 4.(2022賀州 ,18,3分 )如圖 ,正方形 ABCD的邊長為 12,點(diǎn) E在邊 AB上 ,BE=8,過點(diǎn) E作 EF∥ BC,分別 交 BD、 CD于 G、 F兩點(diǎn) ,若點(diǎn) P、 Q分別為 DG、 CE的中點(diǎn) ,則 PQ的長為 . ? 答案 2? 13解析 如圖所示 ,過 P作 PM⊥ CD于 M, ? 過 Q作 QN⊥ CD于 N,過 P作 PH⊥ QN于 H. 在正方形 ABCD中 ,AB=CD=12,AD∥ CB, ∠ ADC=∠ BCD=90176。,AB∥ DC,∠ ADC=90176。. ∵ 在 Rt△ ADE中 ,∠ ADE=90176。. ? 答案 45 解析 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ AB=AD,∠ BAD=90176。=150176。. ∴∠ BED=∠ DEA∠ AEB=60176。 (2)如圖 2,將 (1)中的正方形 ABCD改為矩形 ABCD,AB=2,BC=3,AE⊥ BF于點(diǎn) M,探究 AE與 BF的數(shù) 量關(guān)系 ,并證明你的結(jié)論 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴∠ ABC=∠ C,AB=BC. ∵ AE⊥ BF, ∴∠ AMB=90176。,∴∠ BAM+∠ ABM=90176。,故在直角三角形 ABD中 ,BD=2AB=8,所以 AC=8,所以 OC=? AC=4,故選 B. 12122.(2022四川成都 ,14,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,按以下步驟作圖 :① 分別以點(diǎn) A和 C為圓心 ,以大 于 ? AC的長為半徑作弧 ,兩弧相交于點(diǎn) M和 N。, ∴ △ ADE∽ △ MAB.∴ ? =? ,即 ? =? . ∴ AE= AE=2EM可設(shè) AE=2x,EM=x(x0),則 BM=2x, 在 Rt△ ABM中 ,由勾股定理可知 (2x+x)2=12+(2x)2, 解得 x=? (舍負(fù) ),∴ BM=2x=? . AEBM DEAB AEBM 1155 2554.(2022安徽 ,14,5分 )如圖 ,在矩形紙片 ABCD中 ,AB=6,BC= E在 CD上 ,將△ BCE沿 BE折疊 ,點(diǎn) C恰落在邊 AD上的點(diǎn) F處 。④ AG+DF=FG. 其中正確的是 .(把所有正確結(jié)論的序號都選上 ) ? 32答案 ①③④ 解析 ∵∠ ABG=∠ HBG,∠ FBE=∠ CBE,∠ ABC=90176。 ∵ BH=6,HF=4, ∴ S△ BGH=? S△ FGH, ∵ △ ABG≌ △ HBG, ∴ S△ ABG=? S△ FGH,③ 正確 。 (3)記 K為矩形 AOBC對角線的交點(diǎn) ,S為△ KDE的面積 ,求 S的取值范圍 (直接寫出結(jié)果即可 ). ? 圖 a 圖 b 解析 (1)∵ 點(diǎn) A(5,0),點(diǎn) B(0,3), ∴ OA=5,OB=3. ∵ 四邊形 AOBC是矩形 , ∴ AC=OB=3,BC=OA=5,∠ OBC=∠ C=90176。, ∴ Rt△ ADB≌ Rt△ AOB. 22AD AC? 2253?② 由 Rt△ ADB≌ Rt△ AOB,得 ∠ BAD=∠ BAO. 又在矩形 AOBC中 ,OA∥ BC, ∴∠ CBA=∠ OAB. ∴∠ BAD=∠ CBA. ∴ BH=AH. 設(shè) BH=t(0t5),則 AH=t,HC=BCBH=5t. 在 Rt△ ACH中 ,有 AH2=AC2+HC2, ∴ t2=32+(5t)2,解得 t=? . ∴ BH=? . ∴ 點(diǎn) H的坐標(biāo)為 ? . (3)? ≤ S≤ ? . 17517517,35??????30 3 344? 30 3 344?思路分析 (1)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 AD=AO=5,在直角△ ACD中運(yùn)用勾股定理可求 CD的長 ,從而可確定 D點(diǎn)坐標(biāo) .(2)① 根據(jù)直角三角形全等的判定方法進(jìn)行判定 。,將△ ADP沿 AP翻折得到△ AD39。 (2)請判斷四邊形 PMBN的形狀 ,并說明理由 。, ∴∠ CPB+∠ APD=90176。PC.? (3分 ) (2)四邊形 PMBN為菱形 ,理由如下 :? (4分 ) 在矩形 ABCD中 ,CD∥ AB, ∵ BN∥ PM, ∴ 四邊形 PMBN為平行四邊形 , ADPC DPCB∵ △ ADP沿 AP翻折得到△ AD39。, 又 ∵∠ APM=∠ PAM, ∴∠ PBA=∠ BPM, ∴ PM=MB. 又 ∵ 四邊形 PMBN為平行四邊形 , ∴ 四邊形 PMBN為菱形 .? (7分 ) (3)解法一 :∵∠ APM=∠ PAM, ∴ PM=AM, ∵ PM=MB, ∴ AM=MB, ∵ 四邊形 ABCD為矩形 , ∴ CD∥ AB且 CD=AB, 設(shè) DP=a,則 AD=2DP=2a, 由 AD2=DP(2)由 翻折得 ∠ APD=∠ APM,由等角的余角相等得 ∠ PBA=∠ BPM,從而得 PM=MB,進(jìn)而易得四邊形 PMBN為菱形 。DE,∴ DE=2. ? 由題意知 DB=? ,在 Rt△ DEB中 , BE=? =1,∴ EC=a1. 在 Rt△ DEC中 ,DE2+EC2=DC2, ∴ 22+(a1)2=a2. 解得 a=? .故選 C. 12 12522DB DE?52思路分析 當(dāng)點(diǎn) F在 AD上運(yùn)動(dòng)時(shí) ,y不變 ,值為 a,可求得菱形的 BC邊上的高為 2,由點(diǎn) F在 BD上運(yùn) 動(dòng)的時(shí)間為 ? ,得出 BD的長 ,作出菱形的 BC邊上的高 ,由勾股定理可求 a值 . 5解后反思 本題為菱形中的動(dòng)點(diǎn)和函數(shù)圖象問題 ,關(guān)鍵要根據(jù)菱形的各邊都相等以及 y的意義 求出菱形的 BC邊上的高和 BD的長 ,再構(gòu)造直角三角形 ,用勾股定理求解 . 3.(2022寧夏 ,5,3分 )菱形 ABCD的對角線 AC,BD相交于點(diǎn) O,E,F分別是 AD,CD邊上的中點(diǎn) ,連接 EF=? ,BD=2,則菱形 ABCD的面積為 ? ( ) ? ? ? ? ? 22 2 2 2答案 A 因?yàn)?E,F分別是 AD,CD邊上的中點(diǎn) ,所以 EF∥ AC,且 EF=? AC,所以 AC=2EF=2? .所 以 S菱形 ABCD=? AC, ∵ CE∥ OD,DE∥ OC, ∴ 四邊形 OCED是平行四邊形 , ∵∠ COD=90176。,E是 BC的中點(diǎn) ,AD∥ BC,AE ∥ DC,EF⊥ CD于點(diǎn) F. (1)求證 :四邊形 AECD是菱形 。AH=? AB(2)過點(diǎn) A作 AH⊥ BC于點(diǎn) H,由三角形的面積公式求出 AH,再由 平行四邊形的面積公式求出 EF. 7.(2022江西 ,22,9分 )在菱形 ABCD中 ,∠ ABC=60176。 ? (3)如圖 4,當(dāng)點(diǎn) P在線段 BD的延長線上時(shí) ,連接 BE,若 AB=2? ,BE=2? ,求四邊形 ADPE的面積 . 3 19 圖 4 解析 (1)相等 (或 BP=CE)。,AB=AC. ∵ △ APE為等邊三角形 , ∴ AP=AE,∠ PAE=60176。. ∵ △ ABC為等邊三角形 , ∴∠ ACB=60176。, 由于△ APE為等邊三角形 ,可利用 SAS證得△ BAP≌ △ CAE,進(jìn)而得出 PB=EC,∠ ABP=∠ ACE=3 0176。(3)首先根據(jù) AB=BC=2? ,BE=2? ,求出 CE=BP=8,進(jìn)而求出 EM,AE的長 ,最后分 別求出△ DAP和△ PAE的面積 ,即可得解 . 3 19方法指導(dǎo) 幾何中的類比探究關(guān)鍵在于找到解決每一問的通法 ,類比探究的第一問往往是特 殊圖形 ,解決的方法可能不止一種 ,但總有一種方法是可以照搬到后面幾問 ,其中所涉及的三角 形全等或相似 ,要尋找的等量關(guān)系或添加的輔助線均類似 .同時(shí) ,要注意挖掘題干中不變的幾何 特征 ,根據(jù)特征尋方法 . 8.(2022北京 ,22,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,BD為一條對角線 ,AD∥ BC,AD=2BC,∠ ABD=90176。,AC⊥ BE,∴ AH=CH. 在 Rt△ ABH中 ,AH=AB或 150176。,∴∠ AEB=∠ ABE=15176。,∠ AED=∠ DAE=60176。, 則 ∠ BEC=360176。. 解題關(guān)鍵 熟記正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)并準(zhǔn)確作圖是解題的關(guān)鍵 . 易錯(cuò)警示 此題沒有給出圖形 ,需按點(diǎn) E的位置分類討論 ,學(xué)生往往只畫出點(diǎn) E在正方形外而導(dǎo) 致漏解 . 4.(2022江西 ,12,3分 )在正方形 ABCD中 ,AB=6,連接 AC,BD,P是正方形邊上或?qū)蔷€上一點(diǎn) ,若 PD=2AP,則 AP的長為 . 答案 2,? ? 或 2? 14 2 3解析 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,AB=6,∴ AC⊥ BD,AC=BD=6? ,OA=OD=3? . 有三種情況 :① 點(diǎn) P在 AD上時(shí) , ? ∵ AD=6,PD=2AP, ∴ AP=? AD=2。, ? ∴ AP=ADtan 30176。. 又 ∵ 點(diǎn) A關(guān)于直線 DE的對稱點(diǎn)為 F, ∴ △ ADE≌ △ FDE, ∴ DA=DF=DC,∠ DFE=∠ A=90176。, ∴ 2∠ 2+2∠ 3=90176。,∠ A=90176。,AM=AE, ,1 5 ,D M E BD E E H???? ? ?????∴ ME=? AE, ∴ BH=? AE. 22思路分析 本題第 (1)問需要通過正方形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)解決 。 176。,由第一次折疊可知 ,MN=AN,即 NG 是 Rt△ AMG的中線 ,故 AN=GN,所以 ∠ 2=∠ EF∥ AB,所以 ∠ 3=∠ 4,故 ∠ 1=∠ 2=∠ 4,又因?yàn)? ∠ 1+∠ 2+∠ 4=90176。.因?yàn)?AB=8,BC=4,所以 AC=? =4? .易證△ AGE≌ △ CHF, 所以 AG=CH,所以 AO=? AC=2? 。,∴∠ AFB+∠ EFC=90176。處 ,則 AB= . ? 3答案 ? 3解析 由折疊和矩形的性質(zhì) ,可知 BE=B39。C=90176。處 ,過點(diǎn) B39。M=1或 2, ∵∠ AB39。N=90176。,∴∠ AB39。=90176。E=BE=x. ① 當(dāng) B39。 ② 當(dāng) B39。ABAM 39。BA BM? 2231? 23222x 3222239。,求證 :四邊形 DEBF是矩形 . ? 證明 (1)∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,