泛函分析知識點(diǎn)-預(yù)覽頁
【正文】 M 是X中線性無關(guān)子集,如果2. 定理1（壓縮映射定理）（即Barnach不動點(diǎn)定理） 設(shè)X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映射，那么T有且只有一個不動點(diǎn)（就是說，方程Tx=x,有且只有一個解）.補(bǔ)充定義：若Tx=x,則稱x是T的不動點(diǎn)。如果度量空間（X,d）中每個柯西點(diǎn)列都在（X,d）中收斂，那么稱（X,d）是完備的度量空間.【注意】（1）Q不是完備集 （2）完備 （3）cauchy列不一定收斂，但收斂列一定是cauchy列. （4）C[a,b]完備 完備度量空間X的子空間M是完備空間的充要條件為M是X中的閉子空間.第五節(jié) 度量空間的完備化 設(shè)（X,d）,( ,)是兩個度量空間，如果存在X到上的保距映射T，即，則稱（X,d）和( ,)等距同構(gòu)，此時T稱為X到上等距同構(gòu)映射。（3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)。（2） 對稱性：d(x,y)=d(y,x)。第三節(jié) 連續(xù)映射 設(shè)X=(X,d),Y=(Y, )是兩個度量空間，T是X到Y(jié)中映射，x0,如果對于任意給定的正數(shù)，存在正數(shù)，使對X中一切滿足的x，有，則稱T在連續(xù). 設(shè)T是度量空間（X,d）到度量空間中的映射，那么T在連續(xù)的充要條件為當(dāng)時，必有 度量空間X到Y(jié)中的映射T是X上連續(xù)映射的充要條件為Y中任意開集M的原像是X中的開集.第四節(jié) 柯西（cauchy）點(diǎn)列和完備度量空間 設(shè)X=(X,d)是度量空間，是X中點(diǎn)列，如果對任意給定的正數(shù)，存在正整數(shù),使當(dāng)n,mN時，必有，則稱是X中的柯西點(diǎn)列或基本點(diǎn)列。第六節(jié) 壓縮映射原理及其應(yīng)用 設(shè)X是度量空間，T是X到X中的映射，如果存在一個數(shù)，01，使得對所有的, ,則稱T是壓縮映射。如果數(shù)積運(yùn)算只對實(shí)數(shù)（復(fù)數(shù)）有意義，則稱X是實(shí)（復(fù)）線性空間。2176
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