數(shù)值計算與最優(yōu)化lecture計算方法第一章-預覽頁
【正文】 物理過程，分析計算結果的可靠性，必要時重復上述過程。（掌握運用數(shù)值計算方法在計算機上解決各類工程問題） 課程成績 ： 平時成績（含考勤、作業(yè)及平時表現(xiàn)） 30% 期末考試成績 70% $ 引 言 第一章 三大科學方法： 理論研究、科學實驗、科學計算 科學計算核心技術：數(shù)值計算技術和計算機技術 計算數(shù)學、圖像處理、統(tǒng)計分析、計算機仿真。 ? 數(shù)值計算： 常稱為 數(shù)值分析 或 計算數(shù)學 或 計算方法 。 167。 選擇或研制能達到“數(shù)值問題”要求的計算精度的數(shù)值方法，為此須研究數(shù)值問題的性態(tài)及數(shù)值方法的穩(wěn)定性。 在任何科學計算中，其解的精確性 總是相對的，而誤差則是絕對的。 截斷誤差 由于計算機只能完成有限次算術運算和 邏輯運算，因此要將有些需用極限或無 窮過程進行的運算有限化，對無窮過程 進行截斷，這就帶來誤差。數(shù)學模型一旦建立，進入具體計算時所考慮和分析的就是 截斷誤差和舍入誤差。 二、誤差和誤差限 定義 *x x x設 為 準 確 值 ， 為 的 一 個 近 似 值 。定義 *0x x x?設 為 準 確 值 ， 為 的 一 個 近 似 值 。為了能較好地反映近似值的精確 程度，還應考慮準確值的大小。 為了提高精度，機器數(shù)通常是用 浮點數(shù) 表示的。階碼是整數(shù)。因而勢必產(chǎn)生舍入誤差。 ( , , , ) ( )innixiy y y f x x x x?? ? ? ? ? ??＝ －121 12( , , , )()( ) ( )( , , , )innxiii nf x x xyy x xy f x x x???? ?????????＝由多元函數(shù)的 Taylor展開公式可得， 的 絕對誤差 為： 相對誤差 為： 稱為 f 的條件數(shù)，其絕對值的大小可反映函數(shù)值對數(shù)據(jù)的敏感程度 利用上面的誤差估計公式，可以得到兩個數(shù)的和、差、積、商的誤差估計 1 2 1 21 2 2 1 1 221 2 1 2 2 1 2121 2 1 21 2 1 21 2 1 21 2 1 2()()( / ) / /()()( / )xxx x x xx x x x xxxxxx x x xxxxx? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ???????舍入誤差的傳播 ( ) ( )txfl x fl x在 字 長 為 的 十 進 制 計 算 機 中 ， 設 經(jīng) 四 舍 五 入 得 到機 器 數(shù) ， 即 浮 點 數(shù) ， 且 的 浮 點 表 示 形 式 為1( ) 0. 5 10 5,| | 0.tf l x xxxa???? ? ? － t||| ( )| = 10()f l x為 的 一 個 相 對 誤 差 限 。 ?乘法先運算，再舍入。 例 (2) 作減法時應避免兩個相近數(shù)相減 兩個相近的數(shù)相減，會使有效數(shù)字的位數(shù)嚴重損失！ 例 用四位浮點數(shù)計算 7 6 017 5 91 ?解 522 3 1 3 1 7 6 017 5 91 ??? ???????只有 一位有效數(shù)字 ,有效數(shù)字大量損失，造成相對 誤差擴大。 (3) 避免小數(shù)作除數(shù)和大數(shù)作乘數(shù) ()y? 2112 ?? ???? xx21 xxy ??對于21xxy ?對于()y?2221121 ?? ????xxx?|||| 21 xx 或 ()y???|| 2x ()y??小數(shù)作除數(shù)或大數(shù)作乘數(shù)會產(chǎn)生溢出錯誤，因而產(chǎn)生大的誤差。 如前所述，由于各種誤差的存在，計算機往往只能近似地求解實際問題，因而計算時會冒風險。 定義 在數(shù)值問題中，如果輸出數(shù)據(jù)對輸入數(shù)據(jù)的 擾動（如誤差）很敏感，即若輸入數(shù)據(jù)（如原始數(shù)據(jù)） 有較小的變化，會引起輸出數(shù)據(jù)（如計算解）的較大變 化，稱這類數(shù)值問題為 病態(tài)問題 或 壞條件問題 。 ,*00 II 的近似值為假設計算出 *0( ) .I? ? ?誤 差 為**1 1 1()I I I? ? ?的 近 似 值 的 誤 差 為**2 2 2( ) 2I I I? ? ?的 近 似 值 的 誤 差 為**3 3 3( ) 3!I I I? ? ?的 近 似 值 的 誤 差 為??????**7 7 7( ) 7 !I I I? ? ?的 近 似 值 的 誤 差 為5040??誤差放大 5千倍 ! 并假設計算過程中不產(chǎn)生新的舍入誤差 。 111 nnenne???若 步 的 誤 差 與 步 的 誤 差 滿 足 ， 則 稱為 絕 對 穩(wěn) 定 的 ， 否 則 稱 為 不 是 絕 對 穩(wěn) 定 的 。 ?算法優(yōu)劣的標準 –從 截斷誤差 觀點看，算法必須是截斷誤差小，收斂速 速要快。 –避免大數(shù)吃小數(shù) ，即兩數(shù)相加時，防止較小的數(shù)加 不到較
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