計(jì)算方法-數(shù)值積分-插值型積分-預(yù)覽頁
【正文】 f(x)在區(qū)間 [a, b]上連續(xù)且其原函數(shù)為 F(x),則可用 NewtonLeibnitz公式 : ? ??ba F ( a )F ( b )f ( x ) d x求定積分的值。 在實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常遇到以下三種情況： )32xxx2l n (216932xx16332xx41F ( x) 22222 ???????(3) 被積函數(shù) f(x)沒有具體的解析表達(dá)式 , 其函數(shù) 關(guān)系由表格或圖形表示。 Home 機(jī)械求積方法 數(shù)值積分概述 ?? ba f ( x ) d xI圖 41 數(shù)值積分 的幾何意義 積分值 的幾何表示：由 x=a, x=b, y=0以及 y=f(x)這四條邊所圍的曲邊梯形面積。 f(ξ)第 1種 ： 機(jī)械求積方法 . 第 2種：使用簡單函數(shù)近似代替被積函數(shù)的方法 由積分中值定理可知，對于連續(xù)函數(shù) f(x)，在積分區(qū)間 [a, b]內(nèi)存在一點(diǎn) ξ，使得 謎 三個(gè)求積分公式 y 構(gòu)造出一些求積分值的近似公式。 ? 通常，將 選取為 f(x)的插值多項(xiàng)式 , 這樣f(x)的積分就可以用其插值多項(xiàng)式的積分來近似代替。 0( x )f 1)(n ??0R ( f ) ?例 1 給定插值節(jié)點(diǎn) ?10f ( x) dx為定積分 43x,21x,41x210 ???構(gòu)造插值求積公式。 代數(shù)精度的定義 ：如果求積公式（ ）對于一切次數(shù)小于等于 m的多項(xiàng)式 是準(zhǔn)確的，而對于次數(shù)為 m+1的多項(xiàng)式是丌準(zhǔn)確的，則 稱該求積公式具有 m次代數(shù)精度。 ??? ???nkj0j jkjk xxxx( x )l n),0 ,1 ,(k ??充分性 ： 若求積公式至少具有 n次代數(shù)精度 , 則對 n次多項(xiàng)式 精確成立，即 從而 0)(xk 的時(shí)候，l而當(dāng)j1,)(x注意l jkkk ???所以由（ *）和 (**)知： ,即求積公式為插值型求積公式 。 下面以梯形公式為例迚行驗(yàn)證 Home 插值型求積公式的例子 例 3 試確定一個(gè)至少具有 2次代數(shù)精度的公式 ? ???40C f ( 3 )B f ( 1 )A f ( 0 )f ( x ) dx解 : 要使公式具有 2次代數(shù)精度，則對 f(x)=1, x, x2 ，求積公式準(zhǔn)確成立，即得如下方程組。 解 :分別取 f(x)=1, x, x2 ，使求積公式準(zhǔn)確成立 ,得 : Simpson 求積公式 做法 ：選定 n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，按照插值公式構(gòu)造求積公式后，應(yīng)驗(yàn)算該求積公式是否還有 n+1次或更高的代數(shù)精度。 討論該公式的代數(shù)精度。 證明 : ? ??????? 10 11 dx左 1，2]1[2311 ，右令f ( x )21xdx左 ，21]4322142[31x，右令f ( x ) 10????????31dxx左 ，31]161841162[31，右x令f ( x ) 1022 ? ???????從而求積公式至少有 2次代數(shù)精度，由 定理 ， 此求積公式是插值型求積公式。 ? ?f ( 1 )2 f ( 0 )1)f(21f ( x ) dx11??????例 8 求證 丌是插值型的。 (1) 在積分區(qū)間 [a,b]上選取節(jié)點(diǎn) xk (3) 利用 f(x)=1, x, …, xn,…驗(yàn)算代數(shù)精度 構(gòu)造插值求積公式的步驟： ?? ba kk ( x) d xlA)f ( xAf ( x ) d x kban0kk? ???(2) 求出 f(xk)及利用 或解關(guān)于 Ak的線性方程組求出 Ak，得到 : 例 10 對 , 構(gòu)造至少有 3次代數(shù)精度的求積 公式。 83A,89A32 ??? ?f ( 3 )3 f ( 2 )3 f ( 1 )f ( 0 )83f ( x) dx30????? ?Home 求積公式的收斂性和穩(wěn)定性 、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性 ( 1 . 3 ) fAf ( x) dx kban0kk? ???一般地，求積公式 通常稱為機(jī)械求積公式。 )x(xm a xh 1iini1 ??? ??求積公式的 穩(wěn)定性定義 |]f)[ f ( xA||)f(I( f )I|n0kkkknn ???? ~~則有n，0 , 1, . . . ,k ,δf)f ( x ，即) 有誤差δ設(shè)f ( x kkkkk ??~n ，就有0 ,1 , .. . ,kδ,|f)f ( x|只要0,δ0,ε若 定義3 kk?????? ~ε|]f)[ f ( xA||)f(I( f )I|n0kkkknn ??? ??~~則稱公式（ ）是穩(wěn)定的
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