【正文】 42203200139。339。xx AAAAA ????? ?????幾個(gè)重要的矩陣公式 華中科技大學(xué) 研究生課程 12 2022/6/23 對式 x’(t)=Ax(t)+Bu(t) 兩端左乘 e－ At e－ At x’(t)= e－ At Ax(t)+ e－ At Bu(t) e－ At x’(t)－ e－ At Ax(t)＝ e－ At Bu(t) 左端恰為 d[e－ At Ax(t)]/dt＝ e－ At Bu(t) 對上式兩端積分，有 系統(tǒng)的時(shí)域解 ???? ?? deetdete t ttttt )()0()( )()( 0 )(00 BuxxBux AAAA ????????? ????華中科技大學(xué) 研究生課程 13 2022/6/23 狀態(tài)方程的頻域求解 x’(t)=Ax(t)+Bu(t) 一組微分方程的矩陣描述！ 兩端進(jìn)行拉普拉斯變換，其矩陣描述為： sX(s)x(0－ )=AX(s)+BU(s) X(s)=(sIA)1[x(0－ )+BU(s)] =Φ(s)[x(0－ )+BU(s)] 如果系統(tǒng)初始狀態(tài)為 0， |Φ(s)|是各狀態(tài)傳遞函數(shù)的特征多項(xiàng)式。 ?離散狀態(tài)空間表達(dá)式 —— 為被控對象和零階保持器的離散狀態(tài)空間表達(dá)式。 離散狀態(tài)空間表達(dá)式實(shí)例 (1eTs)/s D(z) ∑ r(t) e(k) u(k) u(t) y(t) 1/s(s+1) 華中科技大學(xué) 研究生課程 22 2022/6/23 ? ? ? ?)()()()()()()( 10y ( t ) )(10)()(0101)(39。設(shè)調(diào)節(jié)器輸出 u(0)＝ 1/ 華中科技大學(xué) 研究生課程 25 2022/6/23 ? ? ? ? )2()2( )1(3 6 6 3 8 6 3 )1(3 6 6 3 )1( )1( 16 3 03 6 )2( )2( 22121 xyuuxxxx ?????????????????????????????????????????1)1()1( 0 . 3 6 )1( )1( 221 ???????????????????????????? xyxx如果希望 x2(2)=1， 則根據(jù)上式 )()1( 1)1()2(2 ??????? uux 有? ? 1)2()2( 1 2 3 )1(3 6 6 3 8 6 3 )2( )2( 221 ???????? ?????????????????????? xyuxx華中科技大學(xué) 研究生課程 26 2022/6/23 在控制工程中，有兩個(gè)問題經(jīng)常引起設(shè)計(jì)者的關(guān)心。在多變量最優(yōu)控制系統(tǒng)中，能控性及能觀性是最優(yōu)控制問題解的存在性問題中最重要的問題，如果所研究的系統(tǒng)是不可控的，則最優(yōu)控制問題的解是不存在的。 ???? ?? dedee tt tt )()0( )()0( 11 00 )( Bux0Bux AAA ???????? ?????根據(jù)凱萊－哈米爾頓定理， eAt、 eAt可寫成有限級數(shù) ： ? ????? ?????? 10112210 )()()()()(niiinnt tctctctctce AAAAIA ?? ??????????????????????????????????????? ??????)()()( )0( )()0( )()()( )()()()()()0(1n1011010101001001111ttttdctdcdcdenniiitiitiniitniiit??????????????????? BAABBxBAxuuBABuABuxA＝寫成矩陣形式＝令如果方程有解，等式右邊左側(cè)矩陣應(yīng)滿秩 =n 華中科技大學(xué) 研究生課程 29 2022/6/23 可觀性定義： 當(dāng)系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時(shí)，給定控制后，如果系統(tǒng)的每一個(gè) 初始狀態(tài) x(0)都可以在有限的時(shí)間內(nèi)通過系統(tǒng)的 輸出 y(t)唯一確定 ，則稱系統(tǒng)完全可觀。秩 =n(系統(tǒng)的階數(shù) ) 華中科技大學(xué) 研究生課程 31 2022/6/23 對離散系統(tǒng) xn1(k+1)=Fnnxn1(k)+Gnmum1(k) yp1(k)=Cpnxn1(k) 可以推出完全可控和可觀的充分必要條件為： ? ? nr a n knr a n knn????????????????11 CFCFCGFFGG??華中科技大學(xué) 研究生課程 32 2022/6/23 狀態(tài)變量反饋 一個(gè)系統(tǒng)的性能取決于系統(tǒng)零極點(diǎn)的配置，其時(shí)間響應(yīng)的模態(tài)是由其極點(diǎn)的位置所決定的，如果可以對閉環(huán)控制系統(tǒng)的極點(diǎn)進(jìn)行預(yù)先進(jìn)行配置 ，根據(jù)極點(diǎn)的配置設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)器，則系統(tǒng)的輸出會(huì)按照我們預(yù)先的想象實(shí)現(xiàn)。其響應(yīng)過程取決于系統(tǒng)的極點(diǎn)配置。本章內(nèi)容為： 1. 引言 2. 用變分法求解最優(yōu)控制問題 3. 極小值原理及其在快速控制中的應(yīng)用 4. 用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解最優(yōu)控制問題 5. 線性狀態(tài)調(diào)節(jié)器 6. 線性伺服機(jī)問題 華中科技大學(xué) 研究生課程 36 2022/6/23 數(shù)字化伺服壓力機(jī)控制系統(tǒng) 圖 1 曲柄連桿壓力機(jī) ARM控制系統(tǒng)原理圖 華中科技大學(xué) 研究生課程 37 2022/6/23 數(shù)字化伺服壓力機(jī)控制系統(tǒng)模型 轉(zhuǎn) 子 速 度 / 速 度 反 饋S V P W M計(jì) 算P A R K 反 變 換amp。 華中科技大學(xué) 研究生課程 45 2022/6/23 問題 2 對于問題 1中的直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)，如果電動(dòng)機(jī)從初始 )(tID時(shí)刻 的靜止?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)過一個(gè)角度 又停下，求控制 （ 是受到限制的），使得所需時(shí)間最短。其中 是 x 、 u 和 t 的連續(xù)函數(shù) ),( tuxL)( ftxrR?u 尋求在 上的最優(yōu)控制 或 ，以將系統(tǒng)狀態(tài)從 轉(zhuǎn)移到 或 的一個(gè)集合，并使性能指標(biāo) ],[ 0 ftt rRU ??u)( 0tx )( ftxttttJ fttffd),(]),([0??? uxLx?最優(yōu)控制問題就是求解一類帶有約束條件的條件泛函極值問題。 )]([ tJ x)()(δ 0 tt xxx ?? nRtt ?? )(),( 0xx定義：設(shè) 是線性賦泛空間 上的連續(xù)泛函，其增量可表示為 ][xJ nR]δ,[]δ,[][]δ[][Δ xxxxxxxx rLJJJ ?????]δ,[ xxr其中， 是關(guān)于 的線性連續(xù)泛函， 是關(guān)于 的高階無窮小。 華中科技大學(xué) 研究生課程 52 2022/6/23 2 用變分法求解最優(yōu)控制問題 末值時(shí)刻固定、末值狀態(tài)自由情況下的最優(yōu)控制 非線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ),( tux,fx ?? （ 6） 初始狀態(tài) )()( 00 tt tt xx ?? （ 7） 其中， x 為 n 維狀態(tài)向量； u 為 r 維控制向量； f 為 n 維向量函數(shù)。 )(turRUt ??)(u 因此，應(yīng)用控制方程 來確定最優(yōu)控制，可能出錯(cuò)。為了使它們分別成為最優(yōu)控制 和最優(yōu)軌線 ，存在一個(gè)向量函數(shù) ，使得 )(tu )(tx)(t*u )(t*x )(t*λλx ??? H*?xλ ??? H*?其中哈密頓函數(shù)： ),(),( uxfλλux TtH ?)(* tλ 和 滿足邊界條件 )()( 0*0tt tt xx ??)()(*ff tt xλ ??? ?)(* tx華中科技大學(xué) 研究生課程 56 2022/6/23 則哈密頓函數(shù) H 相對最優(yōu)控制取極小值，即 ],[m in),( ***** tHtH λuxλux Uu ??或者 ),( *** tH λux ],[ ** tH λux≤ c o n s ttHtH f ?? )()( **在末值時(shí)刻 是自由的情況 ft哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌線隨時(shí)間的變化規(guī)律： 在末值時(shí)刻 是固定的情況 ft0)()( ** ?? ftHtH幾點(diǎn)說明： 1）極小值原理給出的只是最優(yōu)控制應(yīng)該滿足的 必要條件。 因?yàn)榍笮阅苤笜?biāo) J的極小值與求 － J的極大值等價(jià)。 一種辦法是將從 S 到 F 所有可能走法都列出來，并且把每種走法的里程標(biāo)在各條路線上，找出最短的。 不變嵌入原理的含義是：為了解決一個(gè)特定的最優(yōu)控制問題，而把原問題嵌入到一系列相似的但易于求解的問題中去。 2）線性系統(tǒng)最優(yōu)控制的結(jié)果，可以在小信號條件下，應(yīng)用于非線性系統(tǒng)。 其中， x 為 n 維狀態(tài)向量； u 為 r 維控制向量，且 u 不受限制。這里用極小值原理來求解。 )1(21 ?nn2）最優(yōu)性能指標(biāo)為 )()()(21 000* tttJ T xPx?華中科技大學(xué) 研究生課程 67 2022/6/23 6 線性伺服機(jī)問題 要求系統(tǒng)輸出跟蹤某個(gè)指定的輸入函數(shù)問題，稱為伺服機(jī)問題。 )(tη)(* tu 性能指標(biāo) J 中的加權(quán)陣 F 和 Q(t) 為半正定， R(t) 為正定。 *u )(t