【正文】 。作為第一步試算，我們可以選擇平等漂移到國債零息票曲線的平行漂移量為60個點。假設(shè)這個漂移量給出的價格為＄。交易員已經(jīng)非常習(xí)慣于支撐該模型的對數(shù)正態(tài)分布假設(shè)和用來描述不確定性的波動率測度。我們還將給出一些例子說明Black模型如何應(yīng)用于利率期權(quán)的定價。由于F是在風(fēng)險中性世界中的期望值，我們能夠利用風(fēng)險中性估值方法推導(dǎo)出方程式（）和（）的充分條件如下：1．的概率分布是對數(shù)正態(tài)分布；2．ln的標(biāo)準(zhǔn)偏差是；3．利率是非隨機變量。在方程式中的變量F可定義為T時刻到期的某個合約中的標(biāo)的變量的遠(yuǎn)期價格。進一步擴展Black模型，我們可允許給出盈利的時刻不是T時刻，例如假設(shè)從T時刻的變量V的值計算出期權(quán)的盈利，但是該盈利延遲到時刻，其中。變量F等于V的遠(yuǎn)期價格。如果這些情況發(fā)生了的話，這兩個近似具有相互抵消的效應(yīng)。變量是這樣定義的，是期權(quán)到期時債券價格對數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。期權(quán)條款中對X的設(shè)定很重要，如果執(zhí)行價格定義為期權(quán)履約時交換該債券的現(xiàn)金量，X應(yīng)該設(shè)定等于這個執(zhí)行價格。債券息票率為10％，每半年支付一次，預(yù)計在三個月后和九個月后各支付＄50息票（這意味著累計利息為＄25，報價為＄935。看漲期權(quán)的價格為＄。今天的標(biāo)準(zhǔn)偏差為零，因為今天債券的價格沒有不確定性。當(dāng)期權(quán)有效期限保持固定時，它是債券有效期限的一個函數(shù)。在期權(quán)到期時，債券價格B與其收益y之間的關(guān)系是： 即 這說明在Black模型中使用的波動率測度與的收益率波動率測度之間有近似的相關(guān)關(guān)系，公式如下： （）當(dāng)債券期權(quán)報價給出收益率波動率時，隱含的假設(shè)常常是，可以使用方程式（）將該波動率轉(zhuǎn)換為價格波動率，然后將它與方程式（）或（）聯(lián)立起來，得到一個價格。當(dāng)貸款的利率上限與貸款本身都是由同一家金融機構(gòu)提供時，利率上限所包含期權(quán)的成本常常被合并在應(yīng)支付的利率內(nèi)。為了履行利率上限協(xié)議規(guī)定的義務(wù)，該金融機構(gòu)在每個季末必須向那個借款人支付（以百萬美元為單位）： 10max（，0）其中R是每季度開始時的3個月期LIBOR利率（按季度計復(fù)利來表示）。因此可把利率上限看成是一個基于R的看漲期權(quán)的組合，其收益是在期權(quán)發(fā)生后3個月才獲得。通常是這樣構(gòu)造利率上限，使得時刻沒有任何基于零時刻利率的收益。這就證明了利率上限是一個基于貼現(xiàn)債券的歐式看跌期權(quán)組合的觀點。它可以用類似于利率上限的方法進行估值。在利率上限價格和利率下限價格之間存在著類似看漲期權(quán)－看跌期權(quán)平價關(guān)系，即 利率上限價格=利率下限價格+互換價格在這個關(guān)系中，利率上限和利率下限具有同樣的執(zhí)行價格。三、利率上限和利率下限的估值正如（）式所示，對應(yīng)于時刻所觀察到的利率期權(quán)元給出了時刻的收益為 如果假設(shè)服從對數(shù)正態(tài)分布，其波動率測度是，方程式（）給出了這個利率期權(quán)元的值為 （）其中 為在與時刻之間那個期間的遠(yuǎn)期利率。這是一個利率期權(quán)元，可以作為利率上限的一個組成部分。每個利率期權(quán)元必須使用方程式（）分別進行估值。于是，所使用的這些波動率稱之為單一波動率（Flat volatility）。第四節(jié) 互換期權(quán)一、歐式互換期權(quán)（一）概念互換的期權(quán)或互換期權(quán)（Swaptions）是基于利率互換的期權(quán)，它是另一種越來越流行的利率期權(quán)。支付一定的代價后，該公司可以獲得一項互換期權(quán)，即：對6個月后開始的5年期貸款，該公司具有收取6個月期LIBOR浮動利息和支付某個確定的固定利息（比如年率12％）的權(quán)利?；Q期權(quán)是不同于遠(yuǎn)期互換（有時叫做延遲互換，Deferred Swaps）的另一種方法。（二）互換期權(quán)與債券期權(quán)的關(guān)系利率互換可看作是把固定利率債券換成浮動利率債券的協(xié)議。如果一個互換期權(quán)給予它的持有者支付浮動利息和收取固定利息的權(quán)利，它就是一個執(zhí)行價格等于本金的基于固定利率債券的看漲期權(quán)。將固定利率為的互換現(xiàn)金流與固定利率為的互換現(xiàn)金流進行比較，我們看到該互換的收益由一系列的現(xiàn)金流組成，這些現(xiàn)金流等于： 在互換有效期限的n年內(nèi)每年接收m次現(xiàn)金流，即他們交換現(xiàn)金流的時刻為，從今天開始，單位是年。該互換期權(quán)的總價值為 定義A為在時刻（）支付＄1的合約的價值，則互換期權(quán)的價值為 （）其中 如果互換期權(quán)給持有者收取固定利率而不是支付的利率的話，該互換期權(quán)的收益為 這是一個基于R的看跌期權(quán)。該互換的波動率測度是20％。二、條件累計互換Black模型的擴展表達(dá)式可用于條件累計互換（Accrual Swaps）的估值?？紤]如下一筆交易，每個季度將固定利率Q交換為3個月期LIBOR。在固定利率高于8％的那些日子里，固定利率支付方每天節(jié)省。考慮互換有效期內(nèi)的第i天，假設(shè)在第天的遠(yuǎn)期LIBOR是，其波動率測度是。如果有效期限為的零息票利率，對應(yīng)第天的兩值期權(quán)的價值為 將這個表達(dá)式對互換有效期限內(nèi)的每一天進行求和，可得兩值期權(quán)的總價值?？梢允褂肂lack模型。在這種情況下，每個利率的期望值是其遠(yuǎn)期利率（適當(dāng)?shù)亟?jīng)過凸性調(diào)整），對每個利率假設(shè)不同的波動率測度。前面我們提到，當(dāng)利用Black模型為利率衍生證券估值時，可以設(shè)定在風(fēng)險中性世界中債券的期望價格等于其遠(yuǎn)期價格，然后假設(shè)貼現(xiàn)時的利率為常數(shù)。這并不是期望債券收益率（即它不是三年后期望的一年期利率）。它們是等間距的，即－＝－。期望債券收益率是、和的平均值，顯然大于。再如一個針對3個月期利率的利率上限，它通常是這樣構(gòu)造的，利率在某個時點觀測到，而對應(yīng)的收益發(fā)生在三個月后。這個一般規(guī)則適用于我們通常遇到的大多數(shù)的利率衍生證券。它是： 這說明如果我們按F比例從T+貼現(xiàn)到T時刻，我們可以設(shè)定R的概率分布均值等于F。如果收益是在四年末取得，該衍生證券包含了正常時間滯后，該衍生證券的價值為： 其中是四年期無風(fēng)險利率，F(xiàn)是在第三年末和第四年末之間那個期限的遠(yuǎn)期利率。假設(shè)該收益依賴于在T時刻所觀測到的債券收益率。這意味著我們應(yīng)該假設(shè)在風(fēng)險中性世界中的期望利率是 而不是F。從方程式（）得到凸性調(diào)整： ?；Q率是給出多次支付所設(shè)定的某個利率，在基本的互換中，每個支付日支付一次?？梢宰C明：如果某個衍生證券的收益在T時刻發(fā)生，并依附于在T時刻觀測到的某個互換率，方程式（）給出了凸性調(diào)整的量，但各個變量的定義需作如下調(diào)整F：遠(yuǎn)期互換率。考慮如下金融工具，三年后收益等于那時的三年期互換率乘以＄100。在為該金融工具估值時，（＝％）。例如，某個互換持續(xù)10年，本金為＄100，每半年支付一次。從我們剛才進行的分析可以清楚看到，類似的結(jié)論并不適用于固定期限的互換。本章小結(jié)1. 利率期權(quán)的形式多種多樣。在OTC市場，諸如利率上限和互換期權(quán)這些利率衍生工具的交易也很活躍。對利率上限，Black模型假設(shè)組成利率上限的每個利率期權(quán)元的標(biāo)的利率是對數(shù)正態(tài)分布的。利差互換是這樣一種期權(quán)，收益依附于兩個利率之間的利差。凸性調(diào)整來源于債券價格和債券收益之間關(guān)系曲線的曲度。在重新設(shè)定日，3個月期的LIBOR為年率12%。假設(shè)債券當(dāng)前的現(xiàn)價為＄125，執(zhí)行價格為＄110，一年期利率為年率10％，債券價格的年波動率為8％，期權(quán)有效期內(nèi)將支付的息票的現(xiàn)值為＄10?；Q率的年波動率為25％，本金為＄100萬。(b) 我們想要對某個差價期權(quán)進行估價，該期權(quán)的盈虧為3個月期的LIBOR減3個月期的國債利率再減50個基本點之后的差值和0這兩者中的較大值。債券現(xiàn)價為＄910，執(zhí)行價格為＄900，債券價格的波動率為年率10％，3個月后該債券將付息＄35。11 某個9個月期的基于3個月期LIBOR的利率上限期權(quán)，本金為＄1,000。按季度計復(fù)利的利率上限為8％。在一個“arrears”互換中，浮動利率的支付額是由該支付日的浮動利率計算而得的。它等于在這個時刻的5年期利率減去2年期利率，本金為＄100，兩個利率都是按連續(xù)復(fù)利計息（損益可正可負(fù)）