【正文】 學系教授，當代最重要的廣義相對論和宇宙論家，是當今享有國際盛譽的偉人之一，被稱為在世的最偉大的科學家，還被稱為“宇宙之王”。雖然開放性是所有真實系統(tǒng)的基本屬性，但這里的開放非指一般意義上的相互作用與交流，而開放的度量、性質、強度對復雜系統(tǒng)的性態(tài)、演化具有決定性的意義。雖然 涌現(xiàn) 同樣是所有系統(tǒng)都具有的，但這里涌現(xiàn)意味著 新的整體屬性的產(chǎn)生 。 包括系統(tǒng)的結構、行為、功能等多個方面同時具有的復雜性。 15 一切系統(tǒng)都具有網(wǎng)絡結構，復雜系統(tǒng)具有復雜的網(wǎng)絡結構。（重邊，加權等） LOGO 17 （ 2）節(jié)點復雜性 A）節(jié)點的獨立或固有特性 網(wǎng)絡中的節(jié)點可能是具有分岔和混沌等復雜非線 性行為的 動力系統(tǒng) 。 B) 關聯(lián) 引發(fā)的節(jié)點特性 當關聯(lián)失去時這類 特性 會在節(jié)點處消失或改變。 （ 4）網(wǎng)絡分層結構的復雜性 例如，行政管理網(wǎng)絡是具有層結構的，多數(shù)網(wǎng)絡都有 節(jié)點的分層結構 ，只是在許多網(wǎng)絡中沒有意識到是一種造成復雜性的重要結構。nyi建立的隨機圖理論（ random graph theory）被公認為是在數(shù)學上開創(chuàng)了復雜網(wǎng)絡理論的系統(tǒng)性研究。 在 20世紀的后 40年中，隨機圖理論一直是研究復雜網(wǎng)絡的基本理論。美國Virginia大學計算機系的科學家建立了一個電影演員的數(shù)據(jù)庫，放在網(wǎng)上供人們隨意查詢。 LOGO 23 ③ 小世界實驗 ? 20世紀 60年代 美國哈佛大學 的社會心理學家 Stanley Milgram通過一些社會調(diào)查后給出的推斷是：地球上任意兩個人之間的平均距離是6。網(wǎng)站的數(shù)據(jù)庫里目前總共存有近 60萬個世界各地的演員的信息以及近 30萬部電影信息。 這兩篇文章分別揭示了復雜網(wǎng)絡的 小世界特征 和 無標度性質 ，并建立了相應的模型以闡述這些特性的產(chǎn)生機理。si和 Albert 七橋問題 隨機圖理論 小世界實驗 弱連接的強度 小世界模型 無標度網(wǎng)絡 LOGO 技術網(wǎng)絡 28 WWW 電力網(wǎng) 因特網(wǎng) 復雜網(wǎng)絡的事例 LOGO 社會網(wǎng)絡 29 朋友關系網(wǎng) 性關系網(wǎng) 演員網(wǎng) 科學家合著網(wǎng) 科學引文網(wǎng) LOGO 交通運輸網(wǎng)絡 30 城市公共交通網(wǎng) 道路交通網(wǎng) 航空網(wǎng) LOGO 生物網(wǎng)絡 神經(jīng)網(wǎng)絡 生態(tài)網(wǎng)絡 蛋白質相互作用網(wǎng)絡 基因網(wǎng)絡 新陳代謝網(wǎng)絡 LOGO Santa Fe 研究所的科學家合作網(wǎng) 32 LOGO 33 經(jīng)濟物理學科學家合作網(wǎng) LOGO 不同領域的復雜網(wǎng)絡 ? 社會網(wǎng)：演員合作網(wǎng)，友誼網(wǎng)，姻親關系網(wǎng)，科研合作網(wǎng)， Email網(wǎng) ?生物網(wǎng)：食物鏈網(wǎng)，神經(jīng)網(wǎng)，新陳代謝網(wǎng)，蛋白質網(wǎng)，基因網(wǎng)絡 ?信息網(wǎng)絡： WWW，專利使用，論文引用，計算機共享 ?技術網(wǎng)絡：電力網(wǎng)， Inter，電話線路網(wǎng)， ?交通運輸網(wǎng)：航線網(wǎng)，鐵路網(wǎng)，公路網(wǎng)，自然河流網(wǎng) 34 LOGO 中藥方劑網(wǎng) ?雖然中藥方劑的數(shù)量很大，但目前還沒有統(tǒng)計用的數(shù)據(jù)庫。 ?方劑： 藥物、藥物的相互作用構成的固定 完全圖局域世界 ，同時也是節(jié)點（藥物） 的合作成果。 ? 329道菜肴， 242個頂點（食品），1713條邊。 3）復雜網(wǎng)絡性質與結構的關系 同步性、魯棒性和穩(wěn)定性與網(wǎng)絡結構的關系。 LOGO 39 7）復雜網(wǎng)絡建模 機理建模、數(shù)據(jù)建模和實際系統(tǒng)的復雜網(wǎng)絡正向與逆向建模。 F3:(A, B, C ) → D A, B, C, D取布爾值。 四、復雜網(wǎng)絡研究 — 二十一世紀的 科學 LOGO 41 2）主要研究目標 ① 發(fā)現(xiàn)： 揭示刻畫網(wǎng)絡系統(tǒng)結構的統(tǒng)計性質，以及度量這些性質的合適方法。 LOGO ? 度 (degree)： 節(jié)點 i 的度 ki 定義為與該節(jié)點連接的其他節(jié)點的數(shù)目。（ 0?C?1） C=0?網(wǎng)絡中所有節(jié)點都是孤立點 C=1?網(wǎng)絡中任意節(jié)點間都有邊相連 ★ 網(wǎng)絡節(jié)點間聯(lián)系的密切程度 , 體現(xiàn)網(wǎng)絡的 凝聚力 ★ 許多大規(guī)模的實際網(wǎng)絡都具有明顯的 聚類效應 。 ★ 研究發(fā)現(xiàn)：盡管許多實際復雜網(wǎng)絡的節(jié)點數(shù)巨大，網(wǎng)絡的平均路徑長度卻小的驚人。類似的，邊的介數(shù)定義為所有節(jié)點對的最短路徑中經(jīng)過該邊的數(shù)量比例（ 關鍵點邊！連通性影響 ？）。 LOGO 46 ? 網(wǎng)絡介數(shù) ★ 網(wǎng)絡點介數(shù)，網(wǎng)絡邊介數(shù)： 所有節(jié)點（邊）的平均介數(shù) ★ 網(wǎng)絡介數(shù)說明了網(wǎng)絡的什么性質？ ? 核數(shù) ★ 一個圖的 k核 ： 反復去掉 圖中度小于等于 k 的節(jié)點后，所剩余的子圖 ★ 若一個節(jié)點存在于 k核，而在 (k+1)核中被去掉，則此 節(jié)點核數(shù) 為 k，例：所有度為 1的節(jié)點的核數(shù)必為 0 ★ 節(jié)點核數(shù)中的最大值稱為網(wǎng)絡 圖的核數(shù) ★ 節(jié)點核數(shù)可以表明節(jié)點在核中的深度；即便一個節(jié)點的度數(shù)很高，它的核數(shù)也可能很小。如果他不認識 S，那么就送信到某個他認識的人 B手里，理由是 A認為在他的交集圈里 B是最可能認識 S的。 ?然而在這個實驗中，實際上只有三分之一的信送到了收信人那里，因此實驗的完成率很低。 ?六度分離 : 平均只要通過 5個人，你就能與世界任何一個角落的任何一個人發(fā)生聯(lián)系。美國心理學教授朱迪斯 ?克蘭菲爾德 (Judith Kleinfeld)對米爾格倫最初的實驗提出不同意見，因為她發(fā)現(xiàn)實驗的完成率極低。 ?發(fā)現(xiàn) : 在曾經(jīng)參演的 美國電影演員 中， 沒有一個人的 Bacon數(shù)超過 4。這樣周星馳的Bacon數(shù)為 3。但若加上別人所做但曾獲他關鍵性提示之論文，則他的論文應有 數(shù)萬 篇。 ?他效忠的是 科學的皇后 ， 而非一特定的地方。 LOGO 小世界實驗 Erdos數(shù) ?數(shù)學家以下述方式來定義 Erdos數(shù)(Erdos number) : Erdos本人之 Erdos 數(shù)為 0，任何人若曾與 Erdos合寫過論文， 則其 Erdos數(shù)為 1。 ? “分形”是研究自相似結構的。每段直線再按此規(guī)則變化 ,一直重復下去 ,即生成 Koch曲線