六年級(jí)奧數(shù)(數(shù)的整除)-預(yù)覽頁
【正文】 第70個(gè)數(shù)）被6除余幾？ 解：首先要注意到，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都恰好等于前一個(gè)數(shù)的3倍減去再前一個(gè)數(shù)： 3＝130， 8=331， 21=833， 55=2138， …… 不過，真的要一個(gè)一個(gè)地算下去，然后逐個(gè)被6去除，算出后面的余數(shù)呢？能！同算出這一行數(shù)的辦法一樣（為什么？），從第三個(gè)數(shù)起，余數(shù)的計(jì)算辦法如下： 將前一個(gè)數(shù)的余數(shù)乘3，減去再前一個(gè)數(shù)的余數(shù)，然后被6除，所得余數(shù)即是. 用這個(gè)辦法，可以逐個(gè)算出余數(shù)，列表如下： 注意，在算第八個(gè)數(shù)的余數(shù)時(shí)，要出現(xiàn)031這在小學(xué)數(shù)學(xué)范圍不允許，因?yàn)槲覀兦蟊?除的余數(shù)，所以我們可以 03加6再來減 1. 從表中可以看出，第十三、第十四個(gè)數(shù)的余數(shù)，與第一、第二個(gè)數(shù)的余數(shù)對應(yīng)相同，就知道余數(shù)的循環(huán)周期是12. 70 ＝125+10. 因此，第七十個(gè)數(shù)被6除的余數(shù)，與第十個(gè)數(shù)的余數(shù)相同，也就是4. 在一千多年前的《孫子算經(jīng)》中，有這樣一道算術(shù)題： “今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”按照今天的話來說： 一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個(gè)數(shù). 這樣的問題，也有人稱為“韓信點(diǎn)兵”.它形成了一類問題，“中國剩余定理”，我們通過兩個(gè)例題，對較小的數(shù)，介紹一種通俗解法. 例23有一個(gè)數(shù)，除以3余2，除以4余1，問這個(gè)數(shù)除以12余幾？ 解：除以3余2的數(shù)有： 2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23…. 它們除以12的余數(shù)是： 2，5，8，11，2，5，8，11，…. 除以4余1的數(shù)有： 1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，…. 它們除以12的余數(shù)是： 1， 5， 9， 1， 5， 9，…. ，只有5是共同的，因此這個(gè)數(shù)除以12的余數(shù)是5. 上面解法中，我們逐個(gè)列出被3除余2的整數(shù)，又逐個(gè)列出被4除余1的整數(shù)，然后逐個(gè)考慮被12除的余數(shù)，找出兩者共同的余數(shù)，在考慮的數(shù)不大時(shí)，是很有用的，也是同學(xué)們最容易接受的. 如果我們把例23的問題改變一下，不求被12除的余數(shù)，滿足條件的數(shù)是很多的，它是 5＋ 12整數(shù)， 整數(shù)可以取0，1，2，…，我們首先找出5后，注意到12是3與4的最小公倍數(shù)，再加上12的整數(shù)倍，“除以3余2，除以4余1”兩個(gè)條件合并成“除以12余5”一個(gè)條件.《孫子算經(jīng)》提出的問題有三個(gè)條件，就可找到答案. 例24一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合條件的最小數(shù). 解：先列出除以3余2的數(shù)： 2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…， 再列出除以5余3的數(shù)： 3， 8， 13， 18， 23， 28，…. 這兩列數(shù)中， 8＋15整數(shù)， 列出這一串?dāng)?shù)是 8， 23， 38，…， 再列出除以7余2的數(shù) 2， 9， 16， 23， 30，…， 就得出符合題目條件的最小數(shù)是23. 事實(shí)上，我們已把題目中三個(gè)條件合并成一個(gè)：被105除余23. 最后再看一個(gè)例子. 例25 在100至200之間，有三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其中最小的能被3整除，中間的能被5整除，最大的能被7整除，寫出這樣的三個(gè)連續(xù)自然數(shù). 解：先找出兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，第一個(gè)能被3整除，第二個(gè)能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一個(gè)連續(xù)的自然數(shù)是11. 3和5的最小公倍數(shù)是15，考慮11加15的整數(shù)倍，＋153＝56能被7整除，那么54，55，56這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，依次分別能被3，5，7整除. 為了滿足“在100至200之間”將54，55，56分別加上3，5， 159， 160， 161. 注意，本題實(shí)際上是：求一個(gè)數(shù)（100～200之間），它被3整除，被5除余4，本題解法與例24解法有哪些相同之處？。3＝21…… 2， 38247?！ 。淌钦麛?shù)且余數(shù)為0，我們就說a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，b是a的一個(gè)因數(shù)（約數(shù)），a是b的倍數(shù). 性質(zhì)1如果a和b都能被m整除，那么a+b，ab也都能被m整除（這里設(shè)ab）. 例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（1812）. 性質(zhì)2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。： 652
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