【正文】 ，其中的第一項和第二項表示甲和乙在其對應(yīng)策略下可獲得的支付或收益，如 f11和 g11 ，局中人的目標(biāo)是選擇使自己的收益最大化的策略。局中人按該原則所確定的策略叫做穩(wěn)妥策略。甲的報償矩陣如下表： 甲的策略 乙的策略 1 2 3 1 7 8 9 2 6 2 3 3 5 4 0 。 ——最大最小原理。甲必在收益最小值中選最大值。 “完全信息 ” 指的是每個局中人對所有其他參與人的特征（策略空間、支付函數(shù)等）有完全的了解， “ 靜態(tài) ” 指的是所有局中人同時選擇行動且只選擇一次。前者適合于討論靜態(tài)博弈，后者適合于討論動態(tài)博弈。,2,1,:.2)。該故事講的是，兩個嫌疑犯作案后被警察抓住，分別被關(guān)在不同的房間里進(jìn)行審訊。如， B選擇坦白，若 A選擇坦白時支付為 8，選擇抵賴時支付為 10，因而坦白比抵賴好；若 B選擇抵賴， A坦白時的支付為 0，抵賴時為 1，因而坦白比抵賴好。注意：這里 若對應(yīng)所有的占優(yōu)策略嚴(yán)格的為局中人 ，is i )(*:, * 即的嚴(yán)格最優(yōu)策略是 i ss ii?*39。 在一個博弈里，若所有參與人都有占優(yōu)策略存在，則占優(yōu)策略均衡是可以預(yù)測到的唯一均衡，因為沒有一個理性的參與人會選擇劣策略。 案例： “ 豬智博弈 ” 豬圈里有兩頭豬（大豬和小豬），豬圈一頭有一豬食槽 ,另一頭安裝著一個按制豬食供應(yīng)的按鈕，按一下鈕，有 8個單位的豬食進(jìn)槽，但需 2個單位的成本。 可能的均衡是什么呢？若小豬是理性的，他只會選 “ 等待 ” ，因為 “ 等待 ” 嚴(yán)格優(yōu)于 “ 按 ” 。該策略組合就是博弈的均衡解，稱為 “ 重復(fù)剔除的占優(yōu)策略均衡 ” 。 正式定義： iSs ssuss uissssssissssuuSSGniiiiiiiiniiiininn????????????,),(),(:,),(,),(},。在兩人博弈中，有一簡單的方法。 （ 2）納什均衡一定是在重復(fù)剔除嚴(yán)格劣策略過程中沒有被剔除掉的策略組合，但沒有被剔除掉的策略組合不一定是納什均衡，除非它是唯一的。即 是一個納什均衡，當(dāng)且僅當(dāng)對所有的 ， 根據(jù)該定義，有些博弈不存在納什均衡。 兒童 B 正面 反面 兒童 A 正面 1， 1 1， 1 反面 1， 1 1， 1 該博弈是一個零和博弈，沒有納什均衡。 純策略和混合策略納什均衡 : 如果一個策略規(guī)定參與人在每一個給定的信息情況下下只選擇一種特定的行動，則稱該策略為純策略。,{????????????對于所有的的概率選是的一個混合策略稱為布則概率分個純策略有假定參與人中博弈個參與人的策略式表述在?? ?? ??????).(,),(),( 1???????iiini iii ii代表混合策略組合空間而的一個混合策略為其中代表混合策略組合的混合策略空間代表用 ??? ?? ?????????Ssnjijjiiiniiiiiiisusv iivv1111)())((),(:,),([),()(???????????它可被定義為策略組合混合之外所有其他參與人的是除的期望效用函數(shù)表示參與人用?? 社會福利博弈的支付矩陣 流浪漢 找工作 游蕩 政府 救濟(jì) 3， 2 1， 3 不救濟(jì) 1， 1 0， 0 以社會福利博弈為例求解混合策略納什均衡。對此的可作如下解釋：首先假定最優(yōu)混合策略是存在的。流浪漢的效用函數(shù)為： ?? ??)1,0( ?????????????????3)12()1(3)1())1(03)(1()1(12(),(??????????????? v LGL 最優(yōu)化一階條件為： 0)12( ?????? ??Lv 因此 ， 該結(jié)論可解釋為：若 θ ，流浪漢的最優(yōu)選擇是找工作；若θ ，其最優(yōu)選擇是游蕩；只有當(dāng) θ =，他才選擇混合策略 或任何純策略。 從反面進(jìn)行說明。因此， r。 女 足球 芭蕾 男 足球 2， 1 0， 0 芭蕾 0， 0 1， 2 如在 “ 性別戰(zhàn) ” 博弈中，有兩個純策略納什均衡：（足球，足球），（芭蕾，芭蕾）。 三、定義和討論完全信息動態(tài)博弈的基本概率 ——子博弈精煉納什均衡及其求解方法。博弈的擴(kuò)展式表述“ 擴(kuò)展 ” 的主要是參與人的策略空間。 （ 3）參與人行動空間：每次行動時，參與人有些什么選擇。 如同兩人有限策略博弈的策略式表述可用博弈矩陣表述一樣， n人有限策略博弈的擴(kuò)展式表述可用博弈樹表示。 博弈樹給出了有限博弈的幾乎所有信息，其基本構(gòu)建包括： （ nodes）：包括決策結(jié)（上面三個）和終點(diǎn)結(jié)（ B的四個策結(jié)）。如 A有兩個選擇，用 “ 開發(fā) ” 和 “ 不開發(fā) ” 兩個枝表示。引入信息集的目的在于描述：當(dāng)一個參與人要作出決策時，他可能并不知道之前發(fā)生的所有事件。用虛線將屬于同一信息集的兩個決策結(jié)連接起來（圖 82）。 （ 0,0） 不開發(fā) N ?（ 4,4） （ 8,0） （ 3,3） （ 1,0） （ 0,8） （ 0,0） （ 0,1） 開發(fā) 不開發(fā) 開發(fā) 不開發(fā) 開發(fā) 不開發(fā) 開發(fā) B B B B 開發(fā) 開發(fā) 不開發(fā) 大 小 A A （ 1/2） （ 1/2） 不開發(fā) ?? ? ?? ?圖 84 情形 5： A既不知道 N的選擇也不知道 B的選擇，但 B知道 N的選擇（圖 85）。 另外，擴(kuò)展式表述也可用來描述靜態(tài)博弈。假定博弈開始之前自然就選擇了 “ 低需求 ” ，且已成為共同信息； A先決策， B在觀測到 A的選擇后再決策。若將 B的信息集從左到右排列，上述策略可寫成： {開發(fā)，開發(fā) }， {開發(fā)，不開發(fā) }， {不開發(fā)，開發(fā) }， {不開發(fā)，不開發(fā) }（如下表）。注意：為什么第三列第二行不是納什均衡？ 在擴(kuò)展式表述博弈中，所有 n個參與人的一個純策略組合 決定了博弈樹上的一個路徑。這樣，納什均衡就很難說是動態(tài)博弈的一個合理解，因為，在動態(tài)博弈中，參與人的選擇有先有后，后行動者的選擇空間依賴于先行動者的選擇，而先行動者在選擇自己的行動時不能不考慮自己的選擇對后行動者的影響。該博弈為一完美信息博弈， A先行動， B在知道 A的選擇后再行動。該組合構(gòu)成一納什均衡，是因為 B威脅不論 A是否選擇開發(fā)，自己都將選擇開發(fā)； A相信了 B的威脅，不開發(fā)是其最優(yōu)選擇。因而（不開發(fā)， {開發(fā)，開發(fā) }）是不可置信的。若 A選開發(fā)， B的信息集是 x ，最優(yōu)選擇是不開發(fā)。這是一個合理的均衡。均衡結(jié)果是 A選開發(fā)， B選不開發(fā)，支付為（ 1，0）。 )(39。 xhx ?)(39。顯然，一個完美信息博弈的每一個決策結(jié)都開始一個子博弈。x（ a ）原博弈 （ 3,3） （ 1,0） 開發(fā) 不開發(fā) ? x（ 0,1） （ 0,0） 開發(fā) 不開發(fā) ?39。圖 89。如圖 89，若從參與人 2的左邊開始一個子博弈，則 參與人 3的信息集就由原來的 3個決策結(jié)變成 2個決策結(jié)，他在子博弈中的選擇就不同于原博弈中的選擇。 ),( ***1* ni ssss ??? 如在圖 86中， “ A→ 不開發(fā) → x’→B→ 開發(fā)（ 0， 1） ” 是納什均衡（不開發(fā)， {開發(fā)，開發(fā) }）的均衡路徑，其他路徑都是該納什均衡的非均衡路徑。這里的要點(diǎn)是，只有當(dāng)一個策略規(guī)定的行動規(guī)則在所有可能的情況下都是最優(yōu)的時，它才是一個合理的、可置信的策略。x（ b）子博弈 Ⅰ （ c）子博弈 Ⅱ 以房地產(chǎn)開發(fā)為例說明子博弈精煉納什均衡概念。 在子博弈（ b）， B的最優(yōu)策略是不開發(fā)；在子博弈（ c）， B的最優(yōu)策略是開發(fā)。也就有理由相信， “ A開發(fā) B不開發(fā) ” 是這個博弈唯一合理的均衡結(jié)果。滿足該假設(shè)的博弈稱為 “ 完全信息博弈 ” 。通常私人信息決定參與人的特征或類型。它是一種類型依賴型策略組合，在給定自己的類型和其他參與人類型的分布概率的條件下，這種策略組合使得每個參與人的期望效用最大化。在完全信息下，若在位者是高成本，進(jìn)入者的最優(yōu)選擇是進(jìn)入；若在位者是低成本，進(jìn)入者的最優(yōu)選擇是不進(jìn)入。因 此， 進(jìn)入者的最優(yōu)選擇是：若 ，進(jìn)入；若 ，不進(jìn)入（當(dāng) 時，進(jìn)入者進(jìn)入與不進(jìn)入無差異，可假定它進(jìn)入）。第二，博弈的行動有先有后，后行動者可觀察到先行動者的行為。標(biāo)準(zhǔn)的貝葉斯公式為： P ( A | B ) P ( A )P ( A | B )P ( B )= 對應(yīng)于不完全信息動態(tài)博弈的均衡概念是精煉貝葉斯均衡。