畢業(yè)論文-沃利斯公式的證明及其應(yīng)用-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 ? 23152560?? . 例 7 求積分 35 2 21 (5 4 ) dx x x x? ???的值 . 解 3 355222 211( 5 4 ) d 9 ( 2 ) dx x x x x x x?? ??? ? ? ? ????? 令 2 3sinx ??? ,則 3cosddx ?? . 原式 322 22( 2 3 s in ) ( 9 9 s in ) ( 3 c o s d )?? ? ? ? ??? ? ?? 322( 2 3 s in ) 2 7 c o s 3 c o s d?? ? ? ? ??? ? ? ?? 4228 1 ( 2 3 s in ) c o s d?? ? ? ????? 44221 6 2 c o s d 2 4 3 c o s s in d??? ? ? ? ??????? 4201 6 2 2 c o s d 0? ??? ? ?? 3!!324 4!! 2?? ? ? 2434 ?? . 沃利斯公式在級(jí)數(shù)收斂判別中的應(yīng)用 對(duì)于一些級(jí)數(shù)收斂性的判別問(wèn)題 ， 文獻(xiàn) [10]指出 若利 用沃利斯 公式可能會(huì)起到事半功倍的效果 . 例 8 判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)1(2 1)!!(2 )!! snnn?????????? ，（ sR? ） 的斂散性 . 證 由于通項(xiàng) (2 1)!!(2 )!!sn nu n???? ????含有雙階乘的運(yùn)算，原則上想到運(yùn)用 比式 判別法，但是由于 1lim 1nn nuu??? ?，因此比式判別法失效 . 鹽城師范學(xué)院畢業(yè)論文 第 12 頁(yè) 共 14 頁(yè) 若 運(yùn)用拉貝判別法，由于122l im ( 1 ) l im 121 snnnna nnnan? ? ? ???????? ? ? ? ?????????? 1l im 1 12 1 2n ssn nn??? ????? ? ? ? ? ?????? ????， 所以當(dāng) 12s? 時(shí) ，即 2s? 時(shí)收斂，當(dāng) 2s? 時(shí)則發(fā)散，但當(dāng) 2p? 時(shí)拉貝 判別 法則 無(wú)法進(jìn)行判別 . 但如果利用沃利斯 公式，不僅對(duì)于 2s? 和 2s? 時(shí)的情況可以判別，而且對(duì) 2s? 時(shí)的情況也能判別 .比如 ： 由沃利斯公式 得 12( 2 1 ) ! ! 2 1 2 1 ()( 2 ) ! ! 21n nn n n??? ? ? ? ??. 則 正 項(xiàng)級(jí)數(shù)1(2 1)!!(2 )!! snnn?????????? 與 正 項(xiàng)級(jí)數(shù)1 21sn n???的斂散性相同 .由上分析可得 正項(xiàng)級(jí)數(shù)1(2 1)!!(2 )!! snnn?????????? 當(dāng) 2s? 時(shí)收斂，當(dāng) 2s? 時(shí)發(fā)散 . 例 9 二項(xiàng)式級(jí)數(shù) 1( 1 ) ( 1 )(1 ) 1 !mnnm m m nxxn??? ? ?? ? ? ? 當(dāng) 1x? ， 10m? ? ? 時(shí) 條件收斂 . 證 令 0 1u? ， nu 表示二項(xiàng)式級(jí)數(shù)在 1x? 時(shí)的通項(xiàng)，則 ? ?( 1 ) 1( 1 ) ( 1 , 2 , 3 )!nn m m m nunn? ? ?? ? ?， 故 此二項(xiàng)式 級(jí)數(shù)是一交錯(cuò)級(jí)數(shù)， 且 1nnuu?? ( 0,1,2 )n? ， 由于 01m??，則必 存在兩個(gè)正整數(shù) K 和 J ，使 11KmJK??? ， 再結(jié)合沃利斯公式的 推論 中 式子（ 15）可得 1 1 1( 1 ) 1!nK K K nK K Kun? ? ???? ? ?????? 鹽城師范學(xué)院畢業(yè)論文 第 13 頁(yè) 共 14 頁(yè) 1 2 1 12K K n KK K n K? ? ??? 1( 1) 1kKn K K?? ? ? ?. 即 lim 0nn u?? ?， 由 Leibniz 判別法可知級(jí)數(shù)0 nn u???收斂 . 又 1 1 111!nnJ J Jun? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 沃利斯公式 推 廣 中 公式 (16)得 1 1 ( 1 ) 12n J n Ju J J n J? ? ??? 1 2 1 1 121J J n JJ J n J n J? ? ???? ? ??? ??? 2( 1 ) 4 1( 1 ) 2J n J JJ n J J n? ? ????. 再由 調(diào)和級(jí)數(shù)11n n???發(fā)散 可知 級(jí)數(shù)1 nn u???發(fā)散 . 所以當(dāng) 1x? ， 10m? ? ? 時(shí)二項(xiàng)式級(jí)數(shù)條件收斂 . 3 總 結(jié) 本文針對(duì)沃利斯公式的應(yīng)用進(jìn)行研究，給出了 沃利斯公式 在 求某些 極限計(jì)算、積分計(jì)算、級(jí)數(shù)收斂的 簡(jiǎn)便之處 .并且將沃利斯公式進(jìn)行簡(jiǎn) 單的推廣， 在證明某些級(jí)數(shù)收斂性問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用達(dá)朗貝爾法與拉貝判別法時(shí)會(huì)失效，但運(yùn)用沃利斯公式會(huì)很簡(jiǎn)單有效的解決這類(lèi)問(wèn)題，此外 我們知道在有關(guān)二項(xiàng)式級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間端點(diǎn)的收斂性是一個(gè)較為困難的問(wèn)題，有的教材對(duì)此置之不理，有的則要借助于幾何級(jí)數(shù)來(lái)解決，本文 利用對(duì) 沃利斯公式的推廣能有效的解決一些此類(lèi)型的問(wèn)題 .當(dāng)然還有更多問(wèn)題值得我們探討，例如對(duì)含參數(shù)的沃利斯公式的更多應(yīng)用以及含沃利斯公式的雙邊不等式的推廣可以給出更為精確的結(jié)果， 以及 沃利斯公式在二項(xiàng)式 2nnC 的上下界的研究等， 這些問(wèn)題 將 另文研究 . 鹽城師范學(xué)院畢業(yè)論文 第 14 頁(yè) 共 14 頁(yè) 參考文獻(xiàn) [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析上冊(cè)（第四版）．北京：高等教育出版社， 2022． [2] 屈芝蓮 .Wallis 公式新證明 .科學(xué)技術(shù)與工程 ,2022,1:549550. [3] Mikhail Kovalyov. Elementary CombinatorialProbabilistic Proof of the Wallis Formulas. Journal of Mathematics and Statistics,2022,5:408409. [4] 李建軍 .一種含參數(shù)的 Wallis 公式與 Stirling 公式 .數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用 ,2022,3:5253. [5] 趙德鈞 .關(guān)于含 Wallis 公式的雙邊不等式 .數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí) ， 2022,34(7):167168. [6] Kazarinoff. On Wallis’ formula. Edinburgh Math Notes,1956,40:1921. [7] 張文亮 .一個(gè)不等式的探討 .2022,3:1921. [8] Jeffrey H. Wallis’ formula for ? .Methods of Mathematical Physics,1988,3:468467. [9] 王振芳 ,陳慧琴 .沃利斯 (Wallis)公式及其應(yīng)用 .山西大同大學(xué)學(xué)報(bào) ,2022,10:56. [10] 張國(guó)銘 .Wallis 公式的幾個(gè)應(yīng)用 .高等數(shù)學(xué)研究 ,2022,9:3740.
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