【正文】 題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意證得 △ CAD∽△ CDE 是解此題的關(guān)鍵． 24．如圖，二次函數(shù) y=ax2﹣ 4x+c 的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，與 x 軸交于點(diǎn) A（﹣ 4，0）． （ 1）求二次函數(shù)的解析式； （ 2）在拋物線上存在點(diǎn) P，滿足 S△ AOP=8，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 【分析】 （ 1）把點(diǎn) A 原點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答； （ 2）根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn) P 到 AO 的距離，然后分點(diǎn) P 在 x 軸的上方與下方兩種情況解答即可． 【解答】 解：（ 1）由已知條件得 ， 解得 ， 所以，此二次函數(shù)的解析式為 y=﹣ x2﹣ 4x； （ 2） ∵ 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（﹣ 4， 0）， ∴ AO=4， 設(shè)點(diǎn) P 到 x 軸的距離為 h， 則 S△ AOP= 4h=8， 解得 h=4， ① 當(dāng)點(diǎn) P 在 x 軸上方時(shí)，﹣ x2﹣ 4x=4， 解得 x=﹣ 2， 所以，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（﹣ 2， 4）， ② 當(dāng)點(diǎn) P 在 x 軸下方時(shí)，﹣ x2﹣ 4x=﹣ 4， 解得 x1=﹣ 2+2 ， x2=﹣ 2﹣ 2 ， 所以，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（﹣ 2+2 ，﹣ 4）或（﹣ 2﹣ 2 ，﹣ 4）， 綜上所述，點(diǎn) P 的坐標(biāo)是：（﹣ 2， 4）、（﹣ 2+2 ，﹣ 4）、（﹣ 2﹣ 2 ，﹣ 4）． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，（ 2）要注意分點(diǎn) P 在 x 軸的上方與下方兩種情況討論求解． 25．如圖， AC 是矩形 ABCD 的對(duì)角線，過(guò) AC 的中點(diǎn) O 作 EF⊥ AC，交 BC 于點(diǎn) E，交 AD 于點(diǎn) F，連接 AE， CF． （ 1）求證：四邊形 AECF 是菱形； （ 2）若 AB= ， ∠ DCF=30176。后得 Rt△ FOE，將線段 EF 繞點(diǎn) E 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。將 △ ABC 繞點(diǎn) B 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到 △ A1BC1． （ 1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) C1在線段 CA 的延長(zhǎng)線上時(shí)，求 ∠ CC1A1 的度數(shù)； （ 2）如圖 2，連接 AA1， CC1．若 △ ABA1 的面積為 4，求 △ CBC1 的面積； （ 3）如圖 3，點(diǎn) E 為線段 AB 中點(diǎn)，點(diǎn) P 是線段 AC 上的動(dòng)點(diǎn)，在 △ ABC 繞點(diǎn) B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn) P 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn) P1，求線段 EP1 長(zhǎng)度的最大值與最小值． 25．（ 8 分）如圖，在矩形 OABC 中， AO=10， AB=8，沿直線 CD 折疊矩形 OABC的一邊 BC，使點(diǎn) B 落在 OA 邊上的點(diǎn) E 處．分別以 OC， OA 所在的直線為 x 軸，y 軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng) 過(guò) O， D， C 三點(diǎn)． （ 1）求 AD 的長(zhǎng)及拋物線的解析式； （ 2）一動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) E 出發(fā)，沿 EC 以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā)，沿 CO 以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C 時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒，當(dāng) t 為何值時(shí)，以 P、 Q、 C 為頂點(diǎn)的三角形與 △ ADE 相似？ 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 3 分，滿分 36 分） 1．方程 x（ x+2） =0 的根是（ ） A． x=2 B． x=0 C． x1=0， x2=﹣ 2 D． x1=0， x2=2 【考點(diǎn)】 解一元二次方程 因式分解法． 【分析】 本題可根據(jù) “兩式相乘值為 0，這兩式中至少有一式值為 0”來(lái)解題． 【解答】 解： x（ x+2） =0， ?x=0 或 x+2=0， 解得 x1=0， x2=﹣ 2． 故選 C． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接開(kāi)平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法． 2．下列事件中，屬于必然事件的是（ ） A．明天我市下雨 B．拋一枚硬幣，正面朝下 C．購(gòu)買(mǎi)一張福利彩票中獎(jiǎng)了 D．?dāng)S一枚骰子，向上一面的數(shù)字一定大于零 【考點(diǎn)】 隨機(jī) 事件． 【分析】 必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是 1 的事件． 【解答】 解： ∵ A， B， C 選項(xiàng)為不確定事件，即隨機(jī)事件，故不符合題意． ∴ 一定發(fā)生的事件只有 D，擲一枚骰子，向上一面的數(shù)字一定大于零，是必然事件，符合題意． 故選 D． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是對(duì)必然事件的概念的理解．解決此類(lèi)問(wèn)題，要學(xué)會(huì)關(guān)注身邊的事物，并用數(shù)學(xué)的思想和方法去分析、看待、解決問(wèn)題，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件． 3．已知 x=1 是關(guān)于 x 的方程（ 1﹣ k） x2+k2x﹣ 1=0 的根，則常數(shù) k 的值為（ ） A． 0 B． 1 C． 0 或 1 D． 0 或﹣ 1 【考點(diǎn)】 一元二次方程的解． 【分析】 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值；即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立；將 x=1 代入原方程即可求得 k 的值． 【解答】 解：當(dāng) k=1 時(shí)，方程（ 1﹣ k） x2+k2x﹣ 1=0 為一元一次方程，解為 x=1； k≠ 1 時(shí)，方程（ 1﹣ k） x2+k2x﹣ 1=0 為一元二次方程，把 x=1 代入方程（ 1﹣ k）x2+k2x﹣ 1=0 可得： 1﹣ k+k2﹣ 1=0，即﹣ k+k2=0，可得 k（ k﹣ 1） =0，即 k=0 或 1（舍去）； 故選 C． 【點(diǎn)評(píng)】 該題應(yīng)注意方程與一元二次方程的區(qū)別，此題 1﹣ k 可為 0，同時(shí)此題也考查了因式分解． 4． △ ABC 的三邊長(zhǎng)分別為 、 、 2， △ DEF 的兩邊長(zhǎng)分別為 1 和 ，如果 △ABC∽△ DEF，那么 △ DEF 的第三邊長(zhǎng)為（ ） A． B． 2 C． D． 2 【考點(diǎn)】 相似三角形的性質(zhì)． 【分析】 由 △ ABC 的三邊長(zhǎng)分別為 、 、 2， △ DEF 的兩邊長(zhǎng)分別為 1 和 ，如果 △ ABC∽△ DEF，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案． 【解答】 解：設(shè) △ DEF 的第三邊長(zhǎng)為 x， ∵△ ABC 的三邊長(zhǎng)分別為 、 、 2， △ DEF 的兩邊長(zhǎng)分別為 1 和 ， △ ABC∽△ DEF， ∴ ， 解得： x= ． 即 △ DEF 的第三邊長(zhǎng)為 ． 故選 C． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了相似三角形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用． 5．某機(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件 50 萬(wàn)個(gè)，計(jì)劃八、九月份共生產(chǎn)零件 146 萬(wàn)個(gè)，設(shè)八、九月份平均每月的增長(zhǎng)率為 x，那么 x 滿足的方程是（ ） A． 50（ 1+x） 2=146 B． 50+50（ 1+x） +50（ 1+x） 2=146 C． 50（ 1+x） +50（ 1+x） 2=146 D． 50+50（ 1+x） +50（ 1+2x） =146 【考點(diǎn)】 由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程． 【分析】 根據(jù)八、九月份平均每月的增長(zhǎng)率相同，分別表示出八、九月份生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)列出方程，即可作出判斷． 【解答】 解：根據(jù)題意得：八月份生產(chǎn)零件為 50（ 1+x）（萬(wàn)個(gè)）；九月份生產(chǎn)零件為 50（ 1+x） 2（萬(wàn)個(gè)）， 則 x 滿足的方程是 50（ 1+x） +50（ 1+x） 2=146， 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，若設(shè)變化 前的量為 a，變化后的量為 b，平均變化率為 x，則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為 a（ 1177。后得線段 ED，分別以 O，E 為圓心， OA、 ED 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧 AF 和弧 DF，連接 AD，則圖中陰影部分面積是（ ） A． π B． C． 3+π D． 8﹣ π 【考點(diǎn)】 扇形面積的計(jì)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】 作 DH⊥ AE 于 H，根據(jù)勾股定理求出 AB，根據(jù)陰影部分面積 =△ ADE 的面積 +△ EOF 的面積 +扇形 AOF 的面積﹣扇形 DEF 的面積、利用扇形面積公式計(jì)算即可． 【解答】 解：作 DH⊥ AE 于 H， ∵∠ AOB=90176。如果 AB=1，那么 AC 運(yùn)動(dòng)到 A1C1 所經(jīng)過(guò)的圖形的面積是 ． 【考點(diǎn)】 扇形面積的計(jì)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)已知條件可得， AC 的長(zhǎng)度， ∠ ACA1 的度數(shù)，從而根據(jù)扇形的面積公式得出答案． 【解答】 解：由 AB=1，可得 AC= = ， ∠ ACA1=135176。 ∠ C=∠ C， ∴△ ABC∽△ OQC， ∴ = ， ∵ AB=3， BC=4， ∴ AC=5， ∵ BP=x， ∴ QO= x， CO=4﹣ x， ∴ = ， 解得： x=3， 當(dāng) P 與 C 重合時(shí)， BP=4， ∴ BP=x 的取值范圍是： 3≤ x≤ 4， 故答案為： 3≤ x≤ 4． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系以及三角形的相似的性質(zhì)與判定和勾股定理等知識(shí)，找出當(dāng) QO⊥ AC 時(shí)， QO 最短即 BP 最短，進(jìn)而利用相似求出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 三、解答題（本大題共 7 小題，共 56 分） 19．如圖，已知直線 與雙曲線 （ k＞ 0）交于 A、 B 兩點(diǎn)，且點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為 4． （ 1）求 k 的值； （ 2）若雙曲線 （ k＞ 0）上一點(diǎn) C 的縱坐標(biāo)為 8，求 △ AOC 的面積． 【考點(diǎn)】 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題． 【分析】 （ 1）根據(jù)正比例函數(shù)先求出點(diǎn) A 的坐標(biāo)，從而求出了 k 值為 8； （ 2）根據(jù) k 的幾何意義可知 S△ COE=S△ AOF，所以 S 梯形 CEFA=S△ COA=15． 【解答】 解：（ 1） ∵ 點(diǎn) A 橫坐標(biāo)為 4， ∴ 當(dāng) x=4 時(shí)， y=2． ∴ 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 4， 2）． ∵ 點(diǎn) A 是直線 與雙曲線 （ k＞ 0）的交點(diǎn)， ∴ k=4 2=8． （ 2）如圖， 過(guò)點(diǎn) C、 A 分別作 x 軸的垂線，垂足為 E、 F， ∵ 點(diǎn) C 在雙曲線 上，當(dāng) y=8 時(shí)， x=1． ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 1， 8）． ∵ 點(diǎn) C、 A 都在雙曲線 上， ∴ S△ COE=S△ AOF=4． ∴ S△ COE+S 梯形 CEFA=S△ COA+S△ AOF． ∴ S△ COA=S 梯形 CEFA．（ 6 分） ∵ S 梯形 CEFA= （ 2+8） 3=15， ∴ S△ COA=15．（ 8 分） 【點(diǎn)評(píng)】 主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和反比例函數(shù) 中 k 的幾何意義．這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類(lèi)題一定要正確理解 k 的幾何意義． 20．（ 1）解方程： 2x2﹣ 3x﹣ 1=0． （ 2）已知關(guān)于 x 的方程（ x﹣ 3）（ x﹣ 2）﹣ p2=0． ① 求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． ② 當(dāng) p=2 時(shí)，求該方程的根． 【考點(diǎn)】 根的判別式；解一元二次方程 公式法． 【分析】 （ 1）應(yīng)用公式法，求出方程 2x2﹣ 3x﹣ 1=0 的解是多少即可． （ 2） ① 判斷出 △＞ 0，即可推得方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． ② 當(dāng) p=2 時(shí)，應(yīng)用公式法，求出該方程的根是多少即可． 【解答】 解：（ 1） 2x2﹣ 3x﹣ 1=0， ∵ a=2， b=﹣ 3， c=﹣ 1， ∴△ =（﹣ 3） 2﹣ 4 2 （﹣ 1） =9+8=17， ∴ x1= ， x2= ． （ 2） ① 方程可變形為 x2﹣ 5x+6﹣ p2=0， ∴△ =（﹣ 5） 2﹣ 4 1 （ 6﹣ p2） =1+4p2， ∵ 4p2≥ 0， ∴△＞ 0， ∴ 這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． ② 當(dāng) p=2 時(shí)，方程變形為 x2﹣ 5x+2=0， ∵△ =（﹣ 5） 2﹣ 4 1 2=25﹣ 8=17， ∴ x1= ， x2= ． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了用公式法解一元二次方程，以及根的判別式，要熟練掌握． 21．如圖，點(diǎn) C、 D 在線段 AB 上， △ PCD 是等邊三角形． （ 1）當(dāng) AC、 CD、 DB 滿足怎樣的關(guān)系時(shí)， △ ACP∽△ PDB； （ 2）當(dāng) △ ACP∽△ PDB 時(shí)，求 ∠ APB 的度數(shù)． 【考點(diǎn)】 等邊三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 （ 1）利用 △ ACP∽△ PDB 的對(duì)應(yīng)邊成比例和等邊三角形的性質(zhì)可以找到AC、 CD、 DB 的關(guān)系； （ 2）利用相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)角相等和等邊三角形的性質(zhì)可以求出 ∠ APB 的度數(shù)． 【解答】 解：（ 1）當(dāng) CD2=AC?DB 時(shí)， △ ACP∽△ PDB， ∵△ PCD 是等邊三角形， ∴∠ PCD=∠ PDC=60176。 ∴∠ APC+∠ BPD=601