《基本復(fù)習(xí)題》word版-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)二次型的矩陣 2 1 11 6 01 0 4?????????A 的各階主子式依次為 1 2 32 1 1212 0 , 14 0 , 1 6 0 58 0161 0 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ???Δ Δ Δ. 故二次型 不是正定的也不是 負(fù)定的 . (2) 二次型的矩陣1 1 2 11 3 0 32 0 9 61 3 6 19?????????????A 的各階主子式依次為 1 2 3 41 1 2111 0 , 2 0 , 1 3 0 6 0 , 24 0132 0 9??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??Δ Δ Δ Δ A. 故二次型是正定的 . 若干聯(lián)系 向量組 ? ?12,n?A α α α 構(gòu)成矩陣 ? ?12,n?A α α α 線性組合 ? ?121 1 2 2 1 2,n n nnxxx x xx??????? ? ? ? ???????α α α α α α Ax ? 向量 b 能由向量組 A 線性表示 ? ?Ax b 有解 ? ? ? ? ?,RR?A b A ? 向量組 A 線性相關(guān) ? 0?Ax 有非零解 ? ? ?Rn?A (n =向量個(gè)數(shù) =未知數(shù)個(gè)數(shù) ) 基礎(chǔ)解系含 nr? 個(gè)解向量 . 部分定理 定理 若 12,mα α α 線性無(wú)關(guān) , 而 12, , ,mα α α β 線性相關(guān) . 則 β 可以由 12,mα α α 線性表示 . 定理 12,mα α α ( 2?m )線性相關(guān)的充要條件是至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合 . 定理 m 個(gè)行向量線性相關(guān)的充要條件是 ()Am?R . 定理 矩陣 A的秩等于 r 的充要條件是 A中有 r 個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)，但任意 r + 1 個(gè)行向量（如果存在）都線性相關(guān) . 引理 設(shè)向量組 12, , , sβ β β 可由向量組 12, , , rα α α 線性表示 .如果 sr? ,則 12, , , sβ β β 線性相關(guān) . 定理 設(shè)有向量組 T，如果 (1)在 T 中有 r 個(gè)向量 12,rα α α 線性無(wú)關(guān)。. 六、 Ch2 解線性方程組 (非齊次的 ) (1) 求下列非齊次線性方程組的通解 1 2 3 41 2 3 41 2 3 42 2 12 2 23x x x xx x x xx x x x? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ??. 對(duì)方程組的增廣矩陣作行初等變換 , 將之化為 簡(jiǎn)化行階梯形 22 3 3 11 3 3 2 1 213241 0 1 02 1 2 1 1 0 3 0 3 5 1 1 1 1 3 31 2 1 2 2 0 3 0 3 5 0 3 0 3 5 50 1 0 131 1 1 1 3 1 1 1 1 3 0 0 0 0 00 0 0 0 0rr r r rr r r r r r??? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? 立刻得到方程組的 通 解 ? ?1 2 1 2410 30 1 5 ,3100010k k k k?????? ? ? ???? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?????x 161。 定理 齊次線性方程組 (), 當(dāng)其系數(shù)矩陣的秩 nAR ?)( 時(shí)，只有唯一的零解；當(dāng) ()R A n? 時(shí)，有無(wú)窮多個(gè)解。 定理 方陣 A是正交矩陣充分必要條件為 A的列 (行 )向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組 . 定理 正交變換不改變向量的內(nèi)積 , 從而不改變向量的模 , 夾角和距離 . 定理 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù) . 定理 設(shè) λ1, λ2是 實(shí) 對(duì)稱(chēng)矩陣 A的兩個(gè)特征值 , P1, P2是對(duì)應(yīng)的特征向量 . 若 λ1 ≠ λ2, 則 P1與 P2正交 . 定理 若 λi是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A的 k 重特征值 , 則存在 k 個(gè)屬于 λi的線性無(wú)關(guān)的特征向量 . 定理 設(shè) A為 n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 , 則必有正交矩陣 P，使 P?1AP = ? = ????????????n????21 其中 λ1, λ2, … , λn是 A的特征值 . 定理 任給可逆矩陣 C, 令 B = CTAC, 如果 A為對(duì)稱(chēng)矩陣 , 則 B亦為對(duì)稱(chēng)矩陣 , 且 R(B) = R(A). 定理 任給二次型 f (x ) =x TAx , 總有正交變換 x = Py, 使 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形 f = λ1y12 + λ2y22 + … + λnyn2, 其中 ??? n, 21 ? 為 A的 全部 特征值
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