[理學]第六章 第三節(jié) 輻角原理及應用-預覽頁
【正文】 ,RRgz?? ? ?? ? ?0a r gRnaz??另一方面又有 0[ , ]22a r g n ina R e ??????,n??故 ()a r g ( ) .yP iy n ?? ? ? ???( ) .RR g z? ?? ?在 時 沿 一 致 趨 于 零110( ) ,nnna z agzaz? ???其 中三、儒歇 (Rouche)定理 定理 , ( ) ( )C f z z?設 是 一 條 周 線 函 數(shù) 及 滿 足 條 件( 1 ) , 。N f C?而 a r g( ( ) ( ) )C f z z??? a r g ( )C fz?? ()a r g ( 1 ) ,()Czfz?? ? ?由條件 (2), ,zC當 沿 變 動 時 ()1()zwzfz??? 將 平 面 上 的,Cw ?周 線 變 成 平 面 上 的 閉 曲 線 由 于()1 1 ,()zwfz?? ? ? 1 1 ,w? ? ?故 在 圓 周 的 內(nèi) 部0,w ?而 原 點 不 在 此 圓 周 的 內(nèi) 部0,ww ?即 不 會 繞 原 點 繞 行 故()a r g ( 1 ) 0 ,()Czfz?? ? ?a r g( ( ) ( ) )C f z z???即 a r g ( )C fz??即 ( , ) ( , ) .N f C N f C???如 7 4 2( ) 5 2 1 4 .P z z z z z? ? ? ? ?在 內(nèi) 有 個 根證明 4( ) 5 ,f z z??令72( ) 2 ,z z z? ? ? ?( ) ( ) ,f z z z?則 及 在 平 面 解 析1z ?且 在 上72( ) 2 4z z z? ? ? ? ? 4( ) 5 5 ,f z z???( , ) ( , )N P C N f C?? 4.?一般情況下有 )0(04 01110 ?????? ?? aazazazan nnnn ?次多項式例0 1 1t t t na a a a a??? ? ? ?符 合 條 件( ) 1 .P z z n t??則 在 單 位 圓 內(nèi) 有 個 零 點證明 ( ) ,ttf z a z?取110 1 1( ) ,n t tt t nz a z a z a z a?????? ? ? ? ?1z ?則 在 上 有110 1 1()n t tt t nz a z a z a z a?????? ? ? ? ?0 1 1t t na a a a??? ? ? ? ?ta? ( ) ,fz?R o u c h e ,由 定 理( ) ( ) 1 , .P z f z z n t??與 在 內(nèi) 有 相 同 零 點 個 數(shù) 即 個例 5 ,RneaR?如 果 試 證 方 程 (zne az n? 為 正 整 數(shù) ).z R n?在 圓 內(nèi) 恰 有 個 根證明 令 ( ) , ( ) ,nzf z a z z e?? ? ?( ) ( ) ,f z z z?則 及 在 平 面 解 析zR?且 在 上 有Re| ( ) | | | ,zz z Rz e e e e? ? ? ? ? ?| ( ) | | | ,nnf z az a R??,RneaR?由 ( ) ( ) 。00 ( ) ( ) ,z f z f z a??而 顯 然 不 是 的 零 點 故 可 令1 2 0, , , ( ) ( ) ,nz z z f z f z a C n??為 在 內(nèi) 個 相 異 零 點0( ) ( ) 1 , 2 , , ,kf z f z a k n? ? ?則( ) ,f z D這 與 在 區(qū) 域 內(nèi) 單 葉 性 相 矛 盾( ) f z? ?故 在 內(nèi)? ? 10 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,mmf z f z a z z z m z z z f z?? ?? ??? ? ? ? ? ? ?01( ) ( ) ( ) ( ) , ( )mf z f z a z z z z D??? ? ? ?則 ， 在 內(nèi) 解 析 ，? ?110( ) ( ) ( ) 0 .zzf z f z f z a ???? ? ? ? ?作 業(yè) ? P272習題 (一 ) 10, 12, ? P272習題 (一 ) 11, 13, 1
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