南京大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系數(shù)值計(jì)算方法第3章2矩陣的三角分解法矩陣求逆-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 矩陣的三角分解法 ? 我們知道對(duì)矩陣進(jìn)行一次初等變換，就相當(dāng)于用相應(yīng)的初等矩陣去左乘原來(lái)的矩陣。行直接進(jìn)否對(duì)矩陣因此，關(guān)鍵問(wèn)題在于能個(gè)三角方程：就等價(jià)于解兩由此解線性方程組LUAyUxbLyULAbxbx????????)( Doolittle分解 1131313111311121212111211111232322131211323121333231232221131211)3,2,1(11113,ualluaualluajauuakuuuuuulllaaaaaaaaanULjjjj?????????????????????????????????????????得由；得由時(shí)：為例的各元素，以此分解在于如何算出)(322332133133333323321331332212313232233212313213212323231321231221222222122122ululauuululakuulalululaulauuulaulauuulak????????????????????得時(shí)：由得由；得由；得時(shí)：Doolittle分解 ? 若矩陣 A有分解： A=LU，其中 L為單位下三角陣， U為上三角陣，則稱該分解為Doolittle分解，可以證明，當(dāng) A的各階順序主子式均不為零時(shí)， Doolittle分解可以實(shí)現(xiàn)并且唯一。, . . . ,(2122221112111111????的各位各元素在計(jì)算機(jī)內(nèi)存于即Doolittle分解 。/)2), . . . ,)(。也就是所以，有即TTTTTTTTTLLAULULLULULULULUALU????????? )(A對(duì)稱矩陣的 Cholesky分解 ? 定理 設(shè) A為對(duì)稱正定矩陣，則存在唯一分解 A=LDLT，其中 L為單位下三角陣， D=diag(d1,d2,…,dn)且 di0(i=1,…,n) 對(duì)稱矩陣的 Cholesky分解 ? 證明： ??????????????ndddUULLUADo o l i t t l e???????21111,A令非奇異的上三角陣。所以為單位上三角陣。以如何求令則對(duì)稱正定設(shè)?Cholesky分解的求法 。 改進(jìn) Cholesky分解法 ? 改進(jìn)的 cholesky分解 A=LDLT ??????????????????????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnTnnnnnndlddldlddldldlddllllllDLLAdddDllllllL?????. ... ... ... ... ... ..1. ... ... ... ..111)(1. ... ... ... ..11133322322211311211112132312121121323121由改進(jìn)的 cholesky分解 ??????????????????????????????????1121111211, .. . ,2,1)1, .. ,2,1(/)(), .. . ,2,1()1, .. ,2,1(jkkikiiijjkjkkikijijjkikikiijijjkjkkikijnidladijdldlalniddlaijdlldlaji由此可得有逐行相乘，并注意到改進(jìn)的 cholesky分解 )1, . . . ,2,1, . . . ,3,2(,1111?????????????????????????ijnilcaddcllcacdcldlcikikikiiijijijjkjkikijijjijijjijij，成所以可將上述公式改寫(xiě)，則可令為減少計(jì)算量TnnnTdydydyyDdddDDLLAC h o l e s k yyxbybx), . . . ,(111221112111?????????????????????????????????故即等價(jià)于求分解法解線性方程組用改進(jìn)的 cholesky分解算法 ；；；做對(duì)做對(duì)分解，輸入???????????????????1111)2(1, . . . ,2,1)1(, . . . ,3,2.2)。工作量小，其實(shí)現(xiàn)的條件為 qi不為零。個(gè)方程組的為單位向量，右端項(xiàng)分別均為問(wèn)題等價(jià)于求系數(shù)矩陣解存在，求的逆矩陣非奇異，則設(shè)矩陣), .. .,2,1()0, .. .,1, .. .,0,0(11njAnAAAAAjjTjjexe?????矩陣求逆 這就是原地求逆。因此增加一個(gè)數(shù)組 Z(n)，記錄選主元的交換號(hào)，最后在消元工作完成后，根據(jù) Z(n)對(duì) A中的元素進(jìn)行相應(yīng)的列交換，得到 A1 Gauss— Jordan原地求逆法 算法（原地求逆法） )。, .. .,2,1()(.2), .. .2,1,(.1njaat h e nklifDifaDilikzaankniiiznjialjkjlkkkiknikkiijk??????????????停機(jī)輸入奇異標(biāo)志；選主元：做對(duì)；輸入：結(jié)束。, .. .,2,1,()6(
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