【正文】 這樣，我們是本能的正確理解周期性，心臟的跳動，老式鐘表的滴答，季節(jié)的變換，令人難以忍受的卡車倒退時發(fā)出的嘀嘀生這些所有周期性的東西都發(fā)生在我們周圍，給我們一個精確的感官上的認(rèn)識 到底周期性是什么東西。 然后再通過小管口吸回去。一旦這些小容器滿了，水車這個時候頂端會比較重，并且開始 在一個方向搖擺，就像一個倒置的鐘擺一樣。 然后輪子慢慢停下來，然后就開始順時針旋轉(zhuǎn)。 轉(zhuǎn)動不會停止也不會重復(fù)。 你再次開啟水車，轉(zhuǎn)動方式截然不同。輪子的轉(zhuǎn)動由確定的 方程 約束著 — 牛頓運動定律和流體力學(xué) — 原理上是如此。從這種意義上說，任何事物都是可重現(xiàn)的。 混沌現(xiàn)象會產(chǎn)生一些微妙的哲學(xué)問題而蒙蔽了一些粗心人 .例如 ,有些學(xué)生認(rèn)為蝴蝶效應(yīng)是顯而易見的 .我們都知道一點點微妙的事情都可能導(dǎo)致 ,我們自己的生活狀況甚至是國家的生活狀況中巨大的變化 ,由于如此復(fù)雜性如此多的不可計算的變量夾雜在里面 ,一些無關(guān)緊要的事件有時候也會觸發(fā)一系列不正常的連鎖反映 .看看這個古老的格言是如何描述一個王國的衰敗的 : 因為少個釘子，蹄鐵掉了 。 ) 因為馬摔掉了，失去了騎士 。 ) 因為輸了戰(zhàn)爭，王國被滅了 。過了這段時間以后 ,初始誤差會像滾雪球一樣越來越大直到超過可容忍范圍 .通過降低標(biāo)準(zhǔn)或者提高初始測量手段是可以 延長 預(yù)測時間 長度 的 ,但問題是預(yù)測范圍總是依賴于初始測量精度的 :如果你想用相同的精度來雙倍延長預(yù)測時長 ,你也許要花費十倍的努 力才能做到 .如果你雄心壯志的想用相同的精度來三倍的延長預(yù)測時長 ,你也許需要花費 100 倍的努力才行 .四倍時長也許要上千倍的努力 .在混沌系統(tǒng) ,初始狀態(tài)測量所需要的精度十成指數(shù)增的而不是線性 . 這種指數(shù)關(guān)系帶有一定的破壞性 .也就是說在實際應(yīng)用中無論你的儀器怎樣先進(jìn)你只能在有限的幾個 李亞普諾夫 時間內(nèi)做出預(yù)測 .李亞普諾夫 時間 限制了一個時間范圍 ,超過這個范圍的預(yù)測就變得不可實現(xiàn)了 .對于基于混沌的電子線路 ,這個范圍就是千分之一秒 。 雖然 洛倫茨 能夠大腦中想象的出這種東西，但也很難用語言來描述這個奇特的幾何圖形。 洛倫 茲方程包括三個變量，因此其狀態(tài)是三維的。 從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)，整個系統(tǒng)伴隨自己的動態(tài)特性一直在前進(jìn)著。 就像是一個彗星在一個假想的數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)航行 一樣。它永遠(yuǎn)也步會閉合或者相交，因為混沌是從不重復(fù)的。 但是 洛倫 茲原始的計算機(jī)圖像說明了軌跡是在有高度 有 組織的方式下 移動的 ，在可移動范圍內(nèi)的小范圍內(nèi)移動。軌跡 在跳到另一個圈內(nèi)之前會畫出不可預(yù)測的圈數(shù)，就像水車在顛倒旋轉(zhuǎn)方向之前的旋轉(zhuǎn)次數(shù)不定一樣。 這種無限復(fù)雜的平面 ――奇異吸引體―― 表征了一種新秩序。 這個停車庫全部是自動化的，你只需坐在方向盤后，被動地任聽一個牽引裝置牽引著你的車子縱橫于車庫里。 偶然間你也許會到車庫同一邊的同一層里，但卻永遠(yuǎn)不會到原來走過的位置。類推的，如果你在車庫中的同一個位置開始，你的車子將會在與原來相同的軌道上運動，以相同的方式加速減速。然而奇異吸引體的存在保證一定的秩序。 1988 年秋天， LouPecora 妄想用混沌來做一些有實際意義的事， 當(dāng) 他在聲音里試圖放入了一種許諾的感覺在里面 的時候，人們只聽到刺耳的毫無意義的噪音。這個帶有魔力的想法就像 以前其他人都沒有實現(xiàn)一樣是很自然的。他開始尋找其他研究方 Pecora 曾經(jīng)問過他自己混沌是否有用，他突然想到了通信。所有無 線通信都是依賴于通信的。 Pecora 和他的博士后同事 TomCarroll 都沒有通信技術(shù)背景，而且對于混沌他們都是新手 ，因此他們不知道如何下手。 蝴蝶效應(yīng) 表現(xiàn)得很強(qiáng)烈。 圖去濃縮聽到的知識。 他的夫人和孩子都以入睡，很快他也開始打盹了，突然被 7 個月大的小女兒Anna 的啼哭聲吵醒，想必是要喝奶了。過了一會，當(dāng)他打算上床的時候，突然在腦海里閃現(xiàn)一絲靈光。 Pecora 在不同狀態(tài)啟動了收發(fā)器，并且用電腦來預(yù)測很長一段時間后的行為。一個作為驅(qū)動器，在通信應(yīng)用中用作發(fā)送器，領(lǐng)個系統(tǒng)用來接收發(fā)送器發(fā)送過來的信號但是卻不回送信號。 Pecora 發(fā)現(xiàn)，在一定的環(huán)境下，所有其他沒有被替換 掉的變量會自動的與驅(qū)動器中的對應(yīng)變量同步。類似的，在洛侖茲方程中，這些變量的 命 名為 x， y， z。 給出其他兩個人任意時刻的位置，第三個就會隨定律嚴(yán)格的 做出相應(yīng)的反應(yīng)。現(xiàn)在我們假設(shè)時間在某時刻停頓了一會兒， 宇宙定律也會暫時停止，此時 x 方向停滯不前。 這個和 經(jīng)典恐怖電影《 Invasion of the Body Snatchers》 非常相象，從接收系統(tǒng)來看，這個新 x似乎是不可預(yù)測的。在遠(yuǎn)處的裝置里， x′看似很正常。 x， y， z以完全自然的方式滑行著，遵循洛侖茲 吸引體的狀態(tài)空間和混沌優(yōu)雅的圖像。 現(xiàn)在三個變量 xyz已經(jīng)同步，看不見的驅(qū)動器使得他們協(xié)調(diào)。 電子線路看起來似乎是最好的選擇；它們速度快，便宜又容易測量，短時間內(nèi)可以給出足夠的數(shù)據(jù)。為了完成這些操作需要乘法器芯片，并且 Corroll 發(fā)現(xiàn)這些器件太不令人相信了，不能夠提供他想要的精度。 Newb 的這個發(fā)明是免費使用的。電子線路每秒中運行了數(shù)千次并且快速產(chǎn)生了美麗的混沌。如果這兩個變量的變化相等，就會畫出一條 45 度的斜線（因為當(dāng)水平畫出 y的時候， y′垂直畫出，如果他們的值相等的畫那么 y′和 y的位移一定相等 ） 。 “想到這個，我的頭發(fā)都要豎起來了”， Pecora 對我說 。為了準(zhǔn)備即將來臨的期末考試， 他把所有課程總結(jié)到一張紙上。那時我只是模糊的了解 Pecora 和 Corroll 1990 發(fā)表的論文，但卻沒有仔細(xì)研究過。他的證明是非常正確的，并且他的電路也能夠正確的模擬出洛侖茲方程（ Pecora 到今天為 止也很高興的承認(rèn)他并不知道 Cuomo 如何讓電路很好的工作）。為了防止被監(jiān)聽，男的和女的在鬧市區(qū)廣場上邊走邊小聲交談，他們覺得街道上音樂的聲音可以掩蓋掉他們的交談。 當(dāng)然如果 不能從偽裝的信息里提取有用的信息，那就等于什么也沒做。從混合信號中減去掩碼信號就得到了信息。電路上三個點的電壓 x， y， z 分別代表洛侖茲方程中的三個變量 。然后他又拿了一塊電路板，這是和發(fā)送器匹配的接受器， 然后通過彈簧夾把他們 連起來。聽到這個歌曲絕對不會感覺到里面還有一首歌曲夾雜在里面。因為他和 TomCarroll 一起在這方面苦干過三年，但是他們卻沒有發(fā)表任何關(guān)于他們所發(fā)現(xiàn)的東西。 第二個信號是混合信號，信息里添加了掩碼 。他們前幾年對 Carroll 的科研已經(jīng)投入了一些基金，并且想看看究竟這些物理學(xué)家在做些什么工作。 而私下里 Pocora 和 Carroll 卻稱呼為 X 博士。 其他一些來自 太空 作 戰(zhàn) 組 的成員也陸續(xù)前來。 Pecora 意識到它自己對加密知識還需要作很多的了解。 太空 作 戰(zhàn) 組 也讓他們和國家安全局聯(lián)系了，這個高度機(jī)密組織一直關(guān)心編碼和譯碼工作。丟了號碼，他看著電話本驚奇的發(fā)現(xiàn)這個組織最機(jī)密處的電話號碼。但是專家卻了解的更清楚。偽裝裝置經(jīng)常很容易被擊破”。 當(dāng) Newt Gingrich 和他的律師在討論種族案件的時候，他們用蜂窩電話的交談被錄制乘 磁帶。到目前位置基于混沌的方法都令人失望的被證明是很差的。 最有前途的方案來自 Gregory VanWiggeren 和 Rajarshi Roy1998 年的研究，這兩個物理學(xué)家后來在 喬治亞州 科技大學(xué)工作。 另一個用混沌激光器來通信的原因是因為混沌更加復(fù)雜，更難以破獲。 聽起來會覺得不可思議，它是大于平面而小于立體的，也就是說，它的維度是大于 2 而小于 3 的。從現(xiàn)在開始，同步將不僅僅與節(jié)律相聯(lián)系，還和回路循環(huán)和重復(fù)性聯(lián)系起來。 獲得了 Marshall 獎學(xué)金并在那里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，當(dāng)時感覺非常不暢快。 為了重新點染做學(xué)術(shù)的激情，我徒步穿過大街到 Heffer 書店找一些關(guān)于生物數(shù)學(xué)的書。我原 以為是我發(fā)明了這個生物學(xué)上的幾何學(xué) 。立刻我能夠看到這是一個不同尋常的科學(xué)家所做的工作。 其他章節(jié)里都用到了出任意料的東西：標(biāo)題里用一些雙關(guān)語，個人故事（“ 尼克松 選擇日期 入侵柬埔寨”） ，我開始 驚奇 Winfree 是否 是 真實 的 ，所以我把書放回原處離開了書店。這已經(jīng)足夠能說明問 題了 ，但是因為某些原因那我再次把書放了回去，幾天后又回來看了一次。 Winfree 的綜合是完美而又絕對原創(chuàng)的。他做出了令人吃驚的預(yù)言，并且在實驗室里得到了證實。（以前從來沒聽過這樣的課程，這門課是非常新的邊緣學(xué)科）兩周后，當(dāng)我收到從 Purdue 寄來的信的時候脈搏感覺跳動加速。那時 Winfree 成了我心目中的英雄。實驗室里有足夠的空間并且有兩臺蘋果機(jī)。我覺得我們在一起可以相互學(xué)習(xí)。當(dāng)然他很好 脫離常規(guī)科學(xué) 主流 ，而且一直強(qiáng)調(diào) 簡化論 ，他從不單考慮基因或者垮克或者神經(jīng)中樞。 Winfree 最早研究的生物波動的自發(fā)同步已經(jīng)接觸到這個方面。 就像我們先前看到的那樣，理論學(xué)家在開始分析人口變化動態(tài)的時候總是完全忽視了空間的影響而只關(guān)注時間，而沒有 注意 到人口隨地理環(huán)境的波動性。 一旦掌握了這些方案，下一步就是要揭示一維鏈或環(huán)的振蕩理論。有些數(shù)學(xué)家為了攀登高峰――振蕩的兩維特性，而 延續(xù)著寶貴的生命 ，而 分析也 變得越來越難以處理。 波動組織的每一個環(huán)節(jié)都和它附近的鄰居耦合著，使得腸子成為一個有效的一維振動鏈。 當(dāng)心臟正 常工作的時候，起搏器產(chǎn)生電擊脈沖沿著特殊的傳導(dǎo)纖維傳輸?shù)?增壓室 （心室），然后傳遍全身。 當(dāng) Winfree 在他的 文章里 提到“‘ 夜間活動 ’ 在心臟肌肉上的應(yīng)用”時就提到了這 些奇怪的電 激勵 。還不能實時計算出他們的演化進(jìn)程和電擊擾動后的旋轉(zhuǎn)形態(tài)。 為了研究三維形態(tài)，需要一種紙關(guān)心空間而不需要關(guān)心時間的數(shù)學(xué)知識。一個正方形可以被拓?fù)涑蓤A形，因為它的頂角是可以被彎曲的。 知道哪些是可能的后，他就可以確定在以后的試驗里尋找什么東西，并且希望能夠認(rèn)識 一些 古怪 的結(jié)構(gòu)體。 （我后來發(fā)現(xiàn) 剃刀片是他用來切東西的。也許我不太擅長人際關(guān)系，也許我有體味，不知道 …… 但是實驗室的人口數(shù)量是 1。我的第一個工程項目就是一個 Winfree 叫做 Zhabotinsky 的試驗，它是一個支持激勵波動 的 化學(xué)反應(yīng) ，這個激勵波動和電信號刺激心臟的波動極其相似。 一般說來，做化學(xué)試驗時你期望的最有趣的結(jié)果就時 一陣噴煙 或者有害的氣味。 顏色從前至后改變著， 在一個多小時的最終平衡以前 有節(jié)奏的 在 蘭綠色和 鐵銹色之間變化了幾十次。振蕩已經(jīng)過去了。（然而這個模擬過程并不完美。而是有一種激勵在移動 。當(dāng) 他們相撞的時候，他們并沒有相互滲透或相互疊加：它們相互 殲滅 了。 在許多情況下，這個化學(xué)波中央表現(xiàn)的行為有些像人類的性反應(yīng)。在沒有足夠激勵的情況下，神經(jīng)元只有一點點 反應(yīng)然后又回到靜止?fàn)顟B(tài)。他們也不會衰減，但是當(dāng)其中的兩個相互碰撞的時候就湮滅了。不需要殺動物。 有了 Zhabotinsky 試劑的幫助，科學(xué)家們無需 了解激勵媒介中波擴(kuò)散的秘密。 Zhabotinsky 試劑和它非凡的螺旋波的發(fā)現(xiàn)是一個關(guān)于教條失望和辨明的故事。當(dāng)他把檸檬酸和溴酸根離子混合在一起以硫磺酸作為催化劑，他驚訝的發(fā)現(xiàn)混合物先變黃，大約一分鐘后退色，再來約一分鐘后又變成黃色，再退色，在達(dá)到平衡前大約一個小時內(nèi)繼 續(xù)振蕩幾十次。雜志一個接一個的都放棄了 Belousov 送去的論文。然而，在 1950 年代末關(guān)于這個令人驚奇的化 學(xué)反應(yīng)一直在莫斯科的化學(xué)家中間流傳著，并且在 1961 年一個叫做Zhabotinsky的研究生被他老板指派去研究這個問題。這些波具有相似的中心圈，并且碰撞后就湮滅了，就像電波在一個神經(jīng)管道內(nèi)傳播一樣。他想知道這個螺旋波在 Zhabotinsky 的簡化化學(xué)系統(tǒng)內(nèi)是否會發(fā)生。 Winfree 忍受不了這個延誤。 Boris Belousov 看到他做的東西會很欣慰。他們能夠自身維持著自己。更 根本地 說，波沿著波陣面 自身交錯的傳播開來。這里有些新發(fā)現(xiàn)，那就是螺旋波在空間和時間上都會產(chǎn)生振蕩。我們 輕擊 一下第一個多米諾牌，然后傾倒的趨勢就沿著整個鏈傳播開來。 在 1906 年一個叫做 的 生理學(xué)者 用水母做了一個相同的生物版的試驗。 Page220 Winfree 自己確信液體中某處的液體是不會停下的。 這個畫面讓 Winfree 有些 迷惑 。 在裝完他認(rèn)為是產(chǎn)生滾動環(huán)比較好的環(huán)境后，就讓反應(yīng)開始進(jìn)行然后用化學(xué)方法讓反應(yīng)突然定住，捕捉到了運動中的定態(tài)。在閉合前滾動波能通過一整圈的旋轉(zhuǎn)來 扭曲 嘛？ 帶子 可以通過這種方式扭曲，為什么滾動波不行呢？或者在節(jié)點處能打結(jié)嘛？環(huán)能夠像 手鐲 那樣一個接一個的連著嘛？ Winfree 考慮各種各樣扭曲的打結(jié)的滾動環(huán)的難題，很快，他發(fā)現(xiàn)有 某 個假定是不允許的。拓?fù)鋵W(xué)理論 還 揭示了第二個 卷無法預(yù)料何時但一定會與第一個卷連接著。一些外形是可接納的，然而有些并不如此。事實上，當(dāng) Winfree 早年試圖畫出草圖的時候，偶然曾經(jīng)畫出一個毫無關(guān)系的圖出來，就像一個蛇神爬在四腳飛行物上一樣。我的工作就是編寫程序用蠻力來計算表面。 撞擊的螺旋波的一部分要超過被 擦掉 的部分，因為他們要互相湮滅的。繪制出來的圖形非常粗糙－－由于沒有足夠的數(shù)據(jù)點。不幸的是揭露過程還需要等待。所有這些對制作節(jié)點 雕塑 和連接點及扭曲面都是 不可缺少的 。然后我們真扎著想解釋想象的東西，然后表達(dá)清楚，并用感覺來驗證，總是要用語言來理解些什么，因為三維幾何機(jī)構(gòu)比較復(fù)雜難以表達(dá)。這種狀態(tài)持續(xù)了一天又一天。但是 結(jié) 很難畫