【正文】 部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探測正常信號中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象，所以被譽為分析信號的顯微鏡和望遠鏡。而且小波基的有限長會造成信號能量的泄漏，使信號的能量一頻率一時間分布很難定量給出。 它是一種分析非線性、非穩(wěn)定信號的新方法。已有眾多學者和科研機構(gòu)都投入到 HilbertHuang 變換研究中來，如 NASA，青島海洋大學也己建立了相關(guān)的實驗室。 Hilbert－ Huang 變換發(fā)展史 Hilbert－ Huang 變換是由 Huang 變換和 Hilbert 譜分析兩部分組成。記上、下包絡的均值曲線為 m0(t)，即 m0(t)= 2 )()( 00 tvtu ? . () 記 下 ： 對任意信號 s(t)，首先求出 (s)t 的上包絡 h1(t)=s(t)m0(t), () 判斷 h1(t)是否滿足條件 (a)和 (b)，若滿足，則得到第一個 IMF， c1=h1(t)； 否則令 s(t)=h(t)，重復上述運算。展開（ ）為 Hilbert 譜，記為 H（ t,? ） =???nidttji ieta1)()( ? ( ) 由 Hilbert－ Hunag 變換的具體過程可以看出， Hilbert－ Hunag 變換對于信號具有多分辨特性，是一種更具自適應性質(zhì)的時 頻局部化特性的分析方法。特別是，某些重要的瞬時物理量和時頻表示就直接使用待分析實信號的復信號形式作定義。 解析信號 表示復信號 z(t)的最簡單方法是用給定的實信號 s(t)作其實部，并另外構(gòu)造虛部 )(~ts ,既 )(~)()( tsjtstz ?? () 構(gòu)造虛部雙 )(~ts 的最簡單的方法是用原實信號是 s(t)去激勵一濾波器，用輸出作虛部。 再進行 Fourier 反變換可獲得濾波器的沖激響應為 .12)()( tdffjefHth t ?? ?? ????? （ ） 8 將式 ()代入式 ()，又有 ttstsHts ?1)()]([)(~ ??? （ ） ???? dts????? ?? )(1 式中 r 為實的變量，而 H[s(t)]表示實信號 s(t)的 Hilbert 變換。m inm ax ffB ?? ?存在于帶寬 B 內(nèi)的所有頻率 (從最低頻率 fmin 到最高頻率 fmax)。對于 0tT，我們希望知道信號的能量是如何分布的，這就是信號的所謂頻率特性。這里有兩個原因 ： （ 1） 非平穩(wěn)信號不再簡單地用 Fourier 變換作分析工具 ； （ 2） 非平穩(wěn)信號的頻率是隨時間變化的。多分量信號則在某些時刻具有多個不同的瞬時頻率。式 ()有很明確的物理意義 ： 解析信號 z(t)表示復平面的一向量，而瞬時頻率則表示該向量幅角的轉(zhuǎn)速(以單位時間轉(zhuǎn)動多少周計，如以弧度為單位，則應乘以 2? )。 與時域信號 z(t)對應的瞬時物理量為瞬時頻率，而與頻率信號 Z(f)對應的瞬時物理量稱為群延遲 )(fg? 。如果信號 為線性相位，且其初始相位為零，則信號作不失真的延遲，其延遲時間為該線性相位特性的負斜率，即式 ()。雖然 Kalmna 濾波、 RLS 算法等自適應濾波也適合于非平穩(wěn)信號 的處理，但只限于慢時變信號的跟蹤，并不能得到時變信號的統(tǒng)計量 (如功率譜等 )等結(jié)果。這便是時頻分析所要解決的問題。由此得到的 Hilbert 譜能夠準確地反映出該物理過程中能量在空間 (或時間 )各種尺度上的分布規(guī)律，因此 EMD 方法為非平穩(wěn)數(shù)據(jù)信號進行 Hilbert 變換奠定了基礎。再對每個 IMF 函數(shù)進行 Hilbert 變換并求解出瞬時頻率就可以得到信號時頻平面上的能量分布，即 Hilbert 譜，進而可以得到邊際譜。從而打破了固定幅度與固定頻率的 Fourier 變換的限制，得到了一個可變幅度與可 13 變頻率的信號描述方法 [15]。 Hilbert－ Huang 變換中所涉及的基本概念 在解釋任何物理數(shù)據(jù)中，最重要參數(shù)是時間尺度和時間一能量分布。這樣，這些尺度無論在幅度還是在頻率上都完全脫離了它們隨時間變化的這一事實。兩個連續(xù)的過零點的時間間隔就是過零時間尺度 (the zerocrossing scales)。因為該方法可測量具有多個疊加波的寬帶數(shù)據(jù)。為了說明這類弱信號，我們提出另一種基于曲率變化的時間尺度。過零時間尺度方法是一種很粗糙的方法 。但也并非完全令人滿意，甚至會產(chǎn)生一些 “悖論 ”[16]； (1)瞬時頻率可以不是頻譜中的頻率之一 ； 15 (2)如果有只由少數(shù)明顯的頻率組成的一個線狀頻譜，瞬時頻率可以是連續(xù)的， 而且在無數(shù)個值范圍內(nèi)變化 ； (3)雖然解析信號的頻譜對于負頻率為零，但瞬時頻率可以是負的 ； (4)對于一個窄帶信號，它的瞬時頻率可以在頻率之外。由于缺乏精確的定義，所以 “窄帶 ”的概念被用于瞬時頻率的限定上，以使瞬時頻率有意義 [17]。對于一個窄帶信號 V=0，則意味著極值點數(shù)目和過零點數(shù)目相等。用這種表示法，帶寬可以定義為 ： ?????? ?? dZv 2222 22 )()(1)( ? ??? ???? dttzdtdjtz )(1)(1 222 ???? ?????? ?? ?? () ?????? ??? ? ???? ??? dttatdtta )())(()(1 2222 ??? ?? 公式 ()清楚地表明，帶寬是兩項的平均值，一項取決于幅度，另一項取決于相位。對于實際的信號分析，必須把這些條件轉(zhuǎn)換成物理上可實現(xiàn)的步驟用一個簡單的方法加以實現(xiàn)。 其理由是 :第一個條件類似于傳統(tǒng)窄帶信號的要求 ； 第二個條件是一個新觀點，其目的是使瞬時頻率不致遭受非對稱波形的干擾。 Hi1bert－ Huang 變換算法實現(xiàn)過程 由于單分量信號可以理解為僅僅含有一個頻率成分或者一個隨時間變化的窄帶分布頻譜，而對于多分量信號 (multi－ ponent signal)，將不能保證瞬時頻率隨時間變化的單值性，即其 Hilbert 變換所體現(xiàn)的瞬時頻率是沒有意義的，因此把多分量信號分解成單分量信號的組合對瞬時頻率的計算是必不可少的步驟。 EMD 方法是基于這樣的假設 ： 任何復雜的信號都是由簡單固有模態(tài)函數(shù)組成，每個模態(tài)可以是線性的和平穩(wěn)的，也可以是非線性的和非平穩(wěn)的。 EMD 的具體步驟是 ： 對一個實信號 x(t)，首先確定出 x(t)上的所有極大值點，然后將所有極大值點用三次樣條曲線插值擬合得到信號 x(t)的上包絡曲線 emax(t)。雖然這種影響是間接的，因為參與篩選的是上下包絡線的均值曲線，但是問題是存在的。把 h1(t)作為原信號，重復上面所介紹 的步驟得到 ： )()()( 11111 thtmth ?? () 如果 h11(t)不滿足 IMF 的條件，則可以繼續(xù)重復篩選過程 k 次，直到 h11(t)是一個 IMF。最后，由于 rn(t)變成一個單調(diào)信號，再也沒有固有模態(tài)函數(shù)能被提取出來。詳細算法描述如下 ： (1)初始化 ： r0(t)=x(t)， i=l (2)求得第 i 個固有模態(tài) ci(t)： (a)初始化 ： h0(t)=ri1(r)， j=l； (b)找出氣 hj1(t)的全部的局部極值點 ； (c)分別對氣 hj1(t)的極大、極小值點進行插值擬合，求得上、下包絡線 ； (d)計算包絡線的均值曲線 mj1(t)； (e)從 hj1(t)中去掉均值曲線得到 hj(t)，即 )()()( 11 tmththj jj ??? ； (f)考察 hj1(t)和 hj(t)是否滿足固有模態(tài)條件，即篩選終止條件，如果滿足，第 i 個固有模態(tài)為 ci(t)=hi(t)，并轉(zhuǎn) 3)，否則， j=j+l，轉(zhuǎn) b)； (3)計算 ： )()()( 1 tctrtr iii ?? ? (4)如果 ri(t)極值點不少于 2 個，則 i=i+1，轉(zhuǎn) c)，否則分解完成， rn(t)為殘余分量。利用分解，各分量之間是局部正交的，因各分量是由信號與其局部均值得到的，故 0)())()(( ?? txtxtx () 然而，式 ()不一定嚴格成立，因為均值是通過包絡求得的，所以它不是真實的均值。首先，將式 ()改寫為 : 24 ???? 11 )()( nj j tctx () 其中， )()( 1 tctr nn ?? 。對 IMF 的各個分量進行 Hilbert 變換以后，我們可以把數(shù)據(jù)表達如下 ： 25 ? ??? ni ii dttjtatx 1 ))(e x p ()(Re)( ? () 其中 Re 表示取實部。 對每個固有模態(tài)函數(shù)進行 Hilbert 變換，求出瞬時頻率，得到 Hilbert 時頻譜 H(? ,t): ? ??? ni ii dttjtatH 1 ))(e x p ()(Re),( ?? () 同樣，可以得到 Hilbert 邊際譜 )(?h 如下 ： dttwHh Tj?? ),()(? () 式中， T 為信號的總長度。這里，在某一頻率。 Hilbert－ Huang 變換存在的問題 包絡線和均值曲線的擬合是 EMD 方法的關(guān)鍵問題，因其擬合結(jié)果直接關(guān)系到 EMD 方法的分解結(jié)果，同時也是 HHT 的關(guān)鍵問題，它在很大程度上將影響到該新理論的成熟和推廣應用。它來源于工程中的樣條曲線，樣條插值在工程中很常用。 Hilbert－ Huang 變換中存在兩種端點效應問題 ： 一種是篩選過程中上、下包絡曲線的端點飛翼 (end swing)； 另一種是利用 Hilbert 變換求解瞬時頻率 。以左端點為例，如果該點為極大值點，那么上包絡線可以把它作為左端終點，不會發(fā)生大幅度的擺動 ； 對于下包絡線由于左端點不是極小值點則無法確定它的左端終點，產(chǎn)生大幅度的擺動，給篩選過程引入誤差，并且這種發(fā)散的結(jié)果會隨著篩選過程的不斷進行逐漸向內(nèi) “污染 ”整個數(shù)據(jù)信號而使得所得結(jié)果嚴重失真。在小波變換、卷積濾波或傅立葉頻譜等使用卷積濾波的信號分析方法中，只需采用加窗或延拓信號等簡單措施即可解決邊界問題，且其邊界處理的影響最多波及到距邊界一個窗寬的范圍內(nèi)，而不會影響到對信號內(nèi)部的分析結(jié)果。 要問題 實驗表明在經(jīng)驗篩法過程中時常會遇到模態(tài)混疊問題。所以當信號的時間尺度存在跳躍性變化時，就 無法根據(jù)特征尺度有效的分離出不同的模態(tài)成分，使得同一個 IMF 里，包含著多個模態(tài)，不能清晰地反映信號的內(nèi)在性質(zhì)。 Huang 等人和譚善文均發(fā)現(xiàn)了模態(tài)混疊現(xiàn)象，并各自提出了類似的解決方法，即在經(jīng)驗篩法時，每次分解規(guī)定分解尺度的上限。 在經(jīng)驗篩法中存在兩種終止條件 :一是篩選每一個 IMF 分量時的終止條件，稱為分量終止條件 ； 一是整個 EMD 分解過程的終止條件，稱為分解終止條件。因為如果不對篩選過程的次數(shù)有所限制，那么過多的篩選次數(shù)可能使篩出的 IMF 變?yōu)橐粋€常幅值的調(diào)頻信號，從而使其失去物理意義。本章系統(tǒng)地介紹了該方法的基本理論，從頻率的表示 — 瞬時頻率的定義出發(fā)，進而討論能夠使得瞬時頻率有意義的固有模態(tài)函數(shù) ； 然后，描述了經(jīng)驗模式分解算法的實現(xiàn)步驟 ； 分析了 EMD 的完備性和局部正交性。通過對實驗結(jié)果的觀察，驗證了其改進效果，根據(jù)實驗分析，本章的結(jié)尾還討論了此改進方法的適用性與局限性。 現(xiàn)在轉(zhuǎn)而推導包絡曲線應滿足的條件，設 t1是 )(tf 的任意一個極大值點，那么 t1滿足式（ 3）。 因此，一定條件下，