希爾伯特空間中子空間的閉性與補(bǔ)性-預(yù)覽頁
【正文】 we conclude that My? ? why?” 在文獻(xiàn) [2]中 ,只證明了 M 是 Hilbert 空間 X 的閉子空間時(shí) ,有 ??? MMX 及 ???MM 成立．本文將討論當(dāng) M 是內(nèi)積空間 X 的子空 間時(shí) , ??? MMX 及???MM 在哪些條件下成立 ,并給出證明 。 ? ?( , ) 0M x X x M? ? ? ?為 M 的直交補(bǔ) 。 spanM 是線性包的閉包 。若內(nèi)積空間 X 是復(fù)的內(nèi)積空間時(shí) ,? 是復(fù)數(shù)域 C 。 dim( )M 為子空間 M 的維數(shù) 。 11( ) ( ) 0Ff????, 39。2 當(dāng) k 為奇數(shù)時(shí)，易知： ()fx在 1 2 3 1( , ) ( , ) ( , )kab? ? ? ? ?? ? ?與 1 2 3 4( , ) ( , )? ? ? ?? 1( , )kk????? 上異號(hào) . 不妨設(shè)在 1 2 3 1( , ) ( , ) ( , )k? ? ? ? ?? ? ?上 ( ) 0fx? ,在 1 2 3 4( , ) ( , )? ? ? ?? ? ? 1( , )kk??? 上 ( ) 0fx? .容易證明： 1 2 10 ( )( ) ( ) ( )b ka x x x f x d x? ? ? ?? ? ? ? ?? 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )ka x x x f x d x? ? ? ? ?? ? ? ?? 21 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )kx x x f x dx?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0kb kx x x f x d x? ? ? ?? ?? ? ? ? ??矛盾 . ?由 39。 1 , 2 , )n n n r n r iny x x x i r n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?, ? ?ny 是收斂點(diǎn)列必為柯西點(diǎn)列 , 0???? , 0N??, ,pq N??,有 pqyy???, 即1 1 1 ()r r rp q ip i iq i ip iq ii i iy y x x x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 11( ( ) , ( ) )rrip iq i ip iq iiixx? ? ? ???? ? ??? = 2 2 21 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )p q p q rp rq rx x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 2 21 1 2 2p q p q r p r q r r?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?, ?對每個(gè) ( 1,2, , )i i r? ,有 ??0 , 0N??, ,pq N??,有 2 2 21 1 2 2ip iq p q p q rp rq? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?對每個(gè) ( 1,2, , )i i r? ,有 ? ?1, 2ij j? ? 是柯西數(shù)列必收斂 , 不妨設(shè) limij ij ???? ? ( 1,2, , )ir? ?(),其中 i??? ( 1,2, , )ir? ， 令 1 1 2 2 rry x x x? ? ???= ,則 yM? ,下證 yy?? : 由 ?()有 ??0 ,對每個(gè) ( 1,2, , )i i r? , 0iN??, inN?? ,in i r?????， 對上述 ?0 ,1max( )iirNN? ????, nN??? ,有 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( )n n n r n r ry y x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )n n r n r rx x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 1 2 2n n rn r? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?r r? ?? ? ? , lim nn yy?????由極限的唯一性 ,有 1 1 2 2 rry y x x x M? ? ?? ? ? ? ? ?, M? 為閉 子空間 . 定理 4 有限維內(nèi)積空間 X 的子空間 M 必滿足 X M M M M? ??? ? ?及 . 證明 由定理 2 和定理 3 可知 M 是 Hilbert 空間 X 中的閉子空間 ,由引理 6 和引理 7,有 X M M??? 及 MM??? 成立 . 那么無限維內(nèi)積空間 X 的子空間 M 是否滿足 X M M??? 及 MM??? ?下 10 面進(jìn)行討論 . 定理 5 設(shè) M 是無限維內(nèi)積空間 X 的子空間，且 dim ( )rM? ? ??, ? ?M x X x M? ? ? ?,則有 (1)MM?? , (2)X M M ???及 MM???(3) 成立 . 證明 易證 (1)成立 ,下證 (2)X M M ???成立 : 設(shè) M 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為 12, , , rx x x ,則 對 xX?? ,令 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )rry x x x x x x x x x? ? ? ?,z x y?? ,則 yM? , 且 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )rrz x y x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?, 下證 zM?? ,只需證明 1,2, ,ir?? ,有 ( , ) 0izx? , 1 1 2 2( , ) ( ( , ) ( , ) ( , ) , )i r r iz x x x x x x x x x x x x? ? ? ? 1 1 2 2( , ) ( ( , ) , ) ( ( , ) , ) ( ( , ) , )i i i r r ix x x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ( , ) ( ( , ) , ) ( , ) ( , ) 0i i i i i ix x x x x x x x x x? ? ? ? ?, zM??? , x y z? ? ? ,其中 yM? ,zM?? , X M M ?? ? ? , MM?? , 所以 X M M??? .又由引理 9 知 MM??? 成立 . 注 2 以上定理說明若 M 是無限維內(nèi)積空間 X 的有限維子空間 ,則必滿足X M M??? 及 MM??? ,那么如果 M 是無限維內(nèi)積空間 X 的無限維子空間是否也有 X M M??? 及 MM??? 成立 ? 定理 6 設(shè) M 是無限維內(nèi)積空間 X 的子空間且 dim ( )rM? ? ??,則有(1) X M M ???。并且 :若 M 是內(nèi)積空間 X 中的有限維子空間，則 由定理 5 可知 M 與 M? 滿足正交補(bǔ)定義的條件 (1) 和 (2) ,即此時(shí) M 的直交補(bǔ) M? 也 是 M 的正交補(bǔ)
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