【正文】 致的，即函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 連續(xù)，必須同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：（ 1） 函數(shù) y ＝ )(xf 在點(diǎn) 0x 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義（函數(shù) y ＝)(xf 在點(diǎn) 0x 有定義），（ 2） )(lim0 xfxx?存在；（ 3） )()(lim00 xfxfxx ??。 14 (3)、函數(shù) y ＝ )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)是 )(lim0 xfxx?存在的充分條件，而非必要條件。 如果上述三個(gè)條件中至少有一個(gè)條件不滿足，則點(diǎn) 0x 叫是函數(shù) )(xf 的間斷點(diǎn)。所以， 1?x 是函數(shù)的間斷點(diǎn)。 解 因?yàn)楹瘮?shù)xxf 1sin)( ?在 0?x 點(diǎn)無定義；當(dāng) x ?0 時(shí)，函數(shù)值在 1 與 1 之間振蕩xxf 1sin)( ?（圖），所以點(diǎn) 0?x 稱為函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)。因函數(shù) )(xfy? 的圖 形在 0?x處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，我們稱 0?x 為函數(shù) )(xf 跳躍間斷點(diǎn)。 但如果修改函數(shù) )(xf 在 0?x 處的定 義：令 0)0( ?f ，則 )(xf 在 0?x 處連續(xù)。不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn)。 間斷點(diǎn)的分類 設(shè) 0x 為函數(shù) )(xf 的一個(gè) 間斷點(diǎn)， 、第一類間斷點(diǎn) )0( 0 ?xf ， )0( 0 ?xf 都存在， （ 1）若 )0( 0 ?xf = )0( 0 ?xf ，即 )(lim0 xfxx?存在，此類間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn)。 第二類間斷點(diǎn) )0( 0 ?xf 與 )0( 0 ?xf 中至少有一個(gè)不存在。首先我要感謝指導(dǎo)我論文的馮鋒老師。 22 參考文獻(xiàn) [1] 費(fèi)定暉，周學(xué)圣 .吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集解析 山東科學(xué)技術(shù)出版社 [2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析（第三版上冊） 高等教育出版社 [3] 李峰杰 關(guān)于函數(shù)的一致連續(xù)問題 煙臺師范學(xué)院學(xué)報(bào)， 2020， 17（ 4）：305309 [4] 王向東 數(shù)學(xué)分析的概念與方法（上冊） .上海：上?？茖W(xué)技 術(shù)文獻(xiàn)出版社 .1989. [5] 劉玉鏈傅沛仁 :數(shù)學(xué)分析講義 [6] 樊映川 :高等數(shù)學(xué)講義 。最后我要感 謝我的父母，在我的學(xué)習(xí)生涯中，他們給我莫大的鼓舞，祝福他們身體健康，永遠(yuǎn)幸福。 下面我們來觀察下述幾個(gè)函數(shù)的曲線在 1?x 點(diǎn)的情況，給出間斷點(diǎn)的分類： 在 1?x 連續(xù)． 在 1?x 間斷， 1?x 極限為 2． 在 1?x 間斷， 1?x 極限為 2． 在 1?x 間斷， 1?x 左極限為 2，右極限為 1． 在 0?x 間斷， 0?x 極限不存在． 像②③④這樣在 0x 點(diǎn)左右極限都存在的間斷，稱為第一類間斷，其中極限存yx1121?① 1??xyyx1121?② 112??? xxy③ ??? ???? 11 11 xxxy ， ，yx1121?④ ??? ???? 111 xx xxy ， ，yx1121?⑥ xy 1sin? 17 在的②③稱作第一類間斷的可補(bǔ)間斷，此時(shí)只要令 ?? 21?y ，則在 1?x 函數(shù)就變成連續(xù)的了；④被 稱作第一類間斷中的跳躍間斷．⑤⑥被稱作第二類間斷，其中⑤也稱作無窮間斷，而⑥稱作震蕩間斷． 就一般情況而言，通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果 0x 是函數(shù) ??xf 的間斷點(diǎn)，但左極限 ? ?00 ?xf 及右極限 ? ?00 ?xf 都存在，那么 0x 稱為函數(shù) ??xf 的第一類間斷點(diǎn)．不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為 第二類間斷點(diǎn)．在第一類間斷點(diǎn)中，左、右極限相等者稱為可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)．無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二類間斷點(diǎn)． 例 1 確定 a、 b 使????????????0,1s in0,0,s in)(xbxxxaxxxxf在 0?x 處連續(xù)． 解 ： )(xf 在 0?x 處連續(xù) )(lim0 xfx ??? )(lim0 xfx ??? )0(f? 因?yàn)?bbxxxf xx ??????? ?? ?? ?? 1s inlim)(lim 00 ； 1s inlim)(lim 00 ?? ?? ?? x xxf xx ； af ?)0( 所以 1??ba 時(shí)， )(xf 在 0?x 處連續(xù)． 例 2 求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并進(jìn)行分類 11)( 2??? xxxf 分析 ：函數(shù)在 1??x 處沒有定義，所以考察該點(diǎn)的極限． 解 ：因?yàn)? 2)1(lim11lim 121 ?????? ???? xxx xx ，但 )(xf 在 1??x 處沒有定義 所以 1??x 是第一類可去間斷點(diǎn)． ????????.0,1,0,1s in)(xxxxxf 分析 ： 0?x 是分段函數(shù)的分段點(diǎn)，考察該點(diǎn)的極限． 解 ：因?yàn)? 01sinlim0 ?? xxx ，而 1)0( ?f 所以 0?x 是第一類可去間斷點(diǎn)． 總結(jié) ：只要改 變或重新定義 )(xf 在 0x 處的值，使它等于 )(lim0 xfxx? ，就可使函數(shù)在可去間斷點(diǎn) 0x 處連續(xù)． 18 ??? ?? ??? .0,1 ,0,1)( xx xxxf 分析 ： 0?x 是分段函數(shù)的分段點(diǎn)，且分段點(diǎn)左右兩側(cè)表達(dá)式不同，考察該點(diǎn)的左、右極限． 解 ：因?yàn)? 1)1(lim)(lim 00 ??? ?? ?? xxf xx ； 1)1(lim)(lim 00 ???? ?? ?? xxf xx 所以 0?x 是第一類跳躍間斷點(diǎn)． xxf 1arctan)( ? 分析 ：函數(shù)在 0?x 處沒有定義，且左、右極限不同，所以考察該點(diǎn)的單側(cè)極限． 解 ：因?yàn)? 21a rc t a nlim)(lim 00 ??? ?? ?? xxf xx ； 21a rc t a nlim)(lim 00 ???? ?? ?? xxf xx 所以 0?x 是第一類跳躍間斷點(diǎn)． xexf 1)( ? 解 ：因?yàn)? ???? ?? ?? xxx exf 100 lim)(lim 所以 0?x 是第二類無窮間斷點(diǎn) xxf 1sin)( ? 解 ： xxf xx 1sinlim)(lim 00 ?? ? 極限不存在 所以 0?x 是第二類振蕩間斷點(diǎn) 求 xxxf sin)( ? 的間斷點(diǎn)，并將其分類． 解 ：間斷點(diǎn)： ),2,1,0( ?????? kkx ? 當(dāng) 0?x 時(shí)，因 1sinlim0 ?? xxx ，故 0?x 是可去間斷點(diǎn)． 當(dāng) ),2,1( ?????? kkx ? 時(shí)，因 ??? xxkx sinlim? ，故 ),2,1( ?????? kkx ? 是無窮間斷點(diǎn)． 小結(jié) 與思考 ： 本節(jié)介紹了函數(shù)的連續(xù)性，間斷點(diǎn)的分類． 19 求 nn xxxf 211lim)( ??? ?? 分析： 通過極限運(yùn)算，得到一個(gè)關(guān)于 x 的函數(shù)，找出分段點(diǎn)，判斷． ????????????????.1,01,11,011,1)(xxxxxxf 解 ：因?yàn)?00lim)(lim 11 ?? ?? ?? xx xf ； 2)1(lim)(lim 11 ??? ?? ?? xxf xx 所以 1?x 是第一類跳躍間斷點(diǎn) 因?yàn)?0)1(lim)(lim 11 ??? ?? ???? xxf xx ； 00lim)(lim 11 ?? ?? ???? xx xf ； 0)1(?f 所以 1??x 是連續(xù)點(diǎn)． 20 結(jié) 論 通過對數(shù)學(xué)分析中函數(shù)連續(xù)性相關(guān)概念及其應(yīng)用的系統(tǒng)研究，充分掌握了函數(shù)連續(xù)性的知識體系，由此可以歸納出課程中有關(guān)函數(shù)導(dǎo)數(shù)及連續(xù)性連續(xù)點(diǎn)和間斷點(diǎn)知識點(diǎn)的理論基礎(chǔ)；此外，充分掌握了函數(shù)連續(xù)性的相關(guān)知識后也可以更好的系統(tǒng)研究復(fù)變函數(shù)以及實(shí)變函數(shù)的知 識體系 .此次對函數(shù)連續(xù)點(diǎn)和間斷點(diǎn) 的討論 讓我更深的體會到了函數(shù)連續(xù)性的相關(guān)知識是數(shù)學(xué)研究中的根基 . 21 致 謝 四年的 大學(xué) 生活即將 在這個(gè)炎熱的季節(jié) 劃上一個(gè)句號，而于我的人生卻只是又跳了一級臺階 ，我將面對又一次征程的開始。 圖 118 16 y 在 間斷 x1 ⑤ 11??xy。無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二類間斷點(diǎn)。 上面列舉了一些間斷點(diǎn)的例子。 解 顯然函數(shù)????????0,10,1s in)(xxxxxf 在點(diǎn) 0?x 點(diǎn)及其附近有定義，又 )(lim0 xfx? = 01sinlim0 ?? xxx ， 1)0( ?f , 因?yàn)?)0()(lim0 fxfx ??。 圖 117 15 解 顯然函數(shù)??? ????? 00,1,1)( xxxxxf在點(diǎn) 0?x 及其附近有定義，又 )(lim0 xfx ??= 1)1(lim0 ????? xx )(lim0 xfx ?? = 1)1(lim0 ???? xx 。所以 1?x稱為該函數(shù)的可去間斷點(diǎn)。 例 2 討論函數(shù)1 2)( 2 ? ??? x xxxf在 1?x 點(diǎn)處的連續(xù)性。 函數(shù)的間斷點(diǎn) 如果函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處不連續(xù)，則稱 )(xf 在點(diǎn) 0x 處間斷，點(diǎn) 0x 叫做 )(xf 的間斷點(diǎn)。 （ 2）函數(shù) y ＝ )(xf 在點(diǎn) 0x 處右連續(xù) ? )(xf 在 ? ???00,xx 內(nèi)有定義，且)()(lim 000 xfxfxx ??? （即 )()0( 00 xfxf ?? ）。 定義２：設(shè)函數(shù) y ＝ )(xf 在點(diǎn) 0x 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù) )(xf 當(dāng)0xx? 時(shí)的極限存在，即 )()(lim 00 xfxfxx ??，則稱函數(shù) y ＝ )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)。但要深入了解二者的內(nèi)在特征，還需從其他方面做深入的剖析與對比 . 例 證明：設(shè)函數(shù) g 在 E 上 L 可積，若對任意的 0?? ，存在 0?? ，使當(dāng)可測子集 Ee? 且 ??me 時(shí)，就有 ???e dxxg )(，則稱函數(shù) g 在 E 上的