【正文】 7。積分式（11），得到： 0003u197。234。234。02234。將式（15）、（14）代入（10），得： 233。ryrz247。z248。231。2rr=231。rx246。r（13）式中 r x，r y 和 r z 是探測器在地心慣性坐標(biāo)系里的軌道位置坐標(biāo)。235。r248。r248。3I3247。231。231。230。230。230。230。r248。vT182。r=rvT231。230。vv182。182。230。248。Dv247。G0247。Dr246。g式中 G=vT182。232。amp。231。231。231。0I246。式中 g(r)=197。182。182。在應(yīng)用雙二體模型且在地球影響球范圍內(nèi)時，對軌道運動產(chǎn)生攝動影響的各項，如月球引力攝動、太陽引力攝動、大氣阻力攝動和太陽光壓攝動等對誤差方程的影響很小，因此在誤差方程中將它們忽略掉。協(xié)方差矩陣中對角線元素是方差，非對角線元素為協(xié)方差。fdxi（3）i=1182。fDx1+L+Dxn+O(x1Lxn)（2）182。圖三為最優(yōu)著陸過程與其改進方法按圖2降落的次優(yōu)著陸過程的對比圖。一種方法是將終端高度從到達月面時實現(xiàn)軟著陸設(shè)置為離月面還有幾米時實現(xiàn)軟著陸。為實現(xiàn)實時制導(dǎo)，需求出關(guān)于狀態(tài)變量的切換函數(shù)來。由性質(zhì)3）知，為常數(shù)。，其開關(guān)控制器的最優(yōu)推力程序（7）最多進行一次切換。下面再分三種情況進行分析。根據(jù)反正假將（10）式兩邊對時間求導(dǎo)，并將（2）和（6）式代入化簡得性質(zhì)2），下面證明這兩種情形均與反證假設(shè)矛盾。定理一。如果存在一個有限區(qū)間則最優(yōu)控制u（t）取值不能由哈密頓函數(shù)確定。令軟著陸初始條件探測器到達月面時速度減小到給定的值，故終端條件自由。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程對于最終著陸點，假設(shè)探測器的下降軌跡在一平面內(nèi)，且月球引力場為垂直于月面XY的均勻引力場，引力加速度g沿Z，如圖1所示，制動推力方向沿探測器的本體軸z。2)取決于探測器初始位置和速度的關(guān)系，燃料最優(yōu)軌跡有兩種形式：S 型和 C 型，其中 S 型主要對應(yīng)于期望著陸點位置水平距離較大情況。*圖 1 給定初始條件下火星著陸器動力下降段燃料最優(yōu)計算結(jié)果需要注意到，此燃料最優(yōu)軌跡的獲取對著陸器的實時在線計算性能提出了較高的要求，經(jīng)測試，無論使用何種優(yōu)化工具，計算給定飛行任務(wù)時間的最優(yōu)軌跡均需數(shù)秒，而全局最優(yōu)則需要數(shù)十秒甚至更長，這在實際任務(wù)中是不允許的。本文選用 SDPT3 進行計算，通過執(zhí)行線性搜索確定燃料最優(yōu)下降時間tf為 43s，圖 1 給出了相應(yīng)的最優(yōu)著陸軌跡、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探測器質(zhì)量變化曲線。0 z0dkT2e 控制下限：4數(shù)值仿真結(jié)果與分析本節(jié)以某火星著陸器為例，計算了典型初始條件下滿足各種約束的燃料最優(yōu)精確著陸軌跡。v182。R為待優(yōu)化向量，l206。235。235。n1OOO0234。234。234。AB+B1234。LL0249。235。n1234。234。Y3ABY=234。234。Y7233。234。4(n+1)180。7(n+1)180。234。My2F2A11pA0249。p0249。esAcdsBc=DtBc+DtBc+Dt2Bc+L0026其中I3為三階單位陣。R7180。0100000249。d1T1ez0[1(zz0)+(zz0)2]163。u+g249。0z+234。r249。tanqalt（6）u=a=TDm（7）d=Tmz=lnmDD等效著陸器運動方程： y=234。174。優(yōu)化的性能指標(biāo)為在滿足上述初始條件和終端條件的前提下, 使著陸過程中燃料消耗最少,即J=242。圖 1 月球軟著陸極坐標(biāo)系其動力學(xué)方程如下: r=v q=wv=(F/m)sinym/r+r2w2 w=((F/m)cosy+2vw)/rm=F/ISP在上式中r為著陸器與月心距離,v為著陸器徑向速度,q為著陸器極角,w為著陸器極角角速度,m為月球引力常數(shù),F著陸器制動發(fā)動機推力,m為著陸器質(zhì)量,y為制動發(fā)動機推力方向角,其定義為F與當(dāng)?shù)厮椒较驃A角,ISP為制動發(fā)動機比沖。著陸器的大部分燃料都是消耗在此階段,所以月球軟著陸軌跡優(yōu)化主要是針對動力下降段這一階段。)(11) 162。162。=0 (7) 即a2xy162。解法2:軌跡方程法。248。231。1同理解得v1=（沿切線方向）vri=0解得主減速段動力學(xué)模型的建立：根據(jù)題意，在橫向飛行的水平距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于月球半徑的平均值，所以可以將整個減速段過程簡化為水平和豎直方向運動方程，根據(jù)牛頓第二定律、速度計算公式有：ax=Tx may=tTymTxta=247。248。247。R0+R1248。247。二、問題分析對于問題一：嫦娥三號從15公里左右的高度下降到月球表面，在這一過程中不考慮月球表面太陽風(fēng)的影響，忽略月球的自轉(zhuǎn)速度引起的科氏力的影響，由于下降時間比較短也不考慮太陽、地球?qū)︽隙鹑柕臄z動影響，所以此時假設(shè)在3000m處的速度只存在豎直向下的速度而不存在水平分速度，因為降落減速時間比較短只有垂直于月面的方向運動才能實現(xiàn)，所以在確定著陸點位置和著陸軌跡時應(yīng)當(dāng)考慮燃料最優(yōu)情況下推力最大，方向自由的方法即取F=7500N建立主減速段動力學(xué)模型。其著陸軌道設(shè)計的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點15km，遠(yuǎn)月點100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，其軟著陸過程共分為6個階段，分別為著陸準(zhǔn)備軌道、主減速段、快速調(diào)整段、粗避障段、精避障段、緩速下降階段，要求滿足每個階段在關(guān)鍵點所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。在距月面100米處時，嫦娥三號要進行短暫的懸停，掃描月面地形，避開障礙物，尋找著陸點。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機，在給定主減速發(fā)動機的推力方向后，能夠自動通過多個發(fā)動機的脈沖組合實現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。根據(jù)計劃，嫦娥三號將在北京時間12月14號在月球表面實施軟著陸。該方法采用標(biāo)稱控制與閉環(huán)控制相結(jié)合的方式，規(guī)劃標(biāo)稱軌跡以保證著陸器到達著陸點時其下降速度、加速度亦為零，設(shè)計閉環(huán)控制器產(chǎn)生附加控制量消除初始偏差、著陸器質(zhì)量變化的干擾，以保證著陸器沿標(biāo)稱軌跡到達著陸點。為了消除測量噪聲帶來的干擾，利用擴展Kalman濾波理論設(shè)計了導(dǎo)航濾波器。本文針對最終著陸段安全、精確的需求，對月球軟著陸導(dǎo)航與控制方法進行較深入研究，主要內(nèi)容包括：首先，提出一種基于單幀圖像信息的障礙檢測方法。3．全國與各賽區(qū)的一、二、三等獎均頒發(fā)獲獎證書。6．參賽院校應(yīng)責(zé)成有關(guān)職能部門負(fù)責(zé)競賽的組織和紀(jì)律監(jiān)督工作，保證本校競賽的規(guī)范性和公正性。競賽分本科、專科兩組進行，本科生參加本科組競賽，?？粕鷧⒓訉？平M競賽（也可參加本科組競賽），研究生不得參加。競賽評獎以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)。第一條 總則全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（以下簡稱競賽）是教育部高等教育司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會共同主辦的面向全國大學(xué)生的群眾性科技活動，目的在于激勵學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型和運用計算機技術(shù)解決實際問題的綜合能力，鼓勵廣大學(xué)生踴躍參加課外科技活動，開拓知識面，培養(yǎng)創(chuàng)造精神及合作意識，推動大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容和方法的改革。該競賽每年9月(一般在中旬某個周末的星期五至下周星期一共3天，72小時）舉行，競賽面向全國大專院校的學(xué)生，不分專業(yè)（但競賽分本科、專科兩組，本科組競賽所有大學(xué)生均可參加，?？平M競賽只有?？粕òǜ呗?、高專生）可以參加）。參賽者應(yīng)根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解、計算方法的設(shè)計和計算機實現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗、模型的改進等方面的論文（即答卷）。3．大學(xué)生以隊為單位參賽，每隊3人（須屬于同一所學(xué)校），專業(yè)不限。5．競賽開始后，賽題將公布在指定的網(wǎng)址供參賽隊下載，參賽隊在規(guī)定時間內(nèi)完成答卷，并準(zhǔn)時交卷。全國組委會聘請專家組成全國評閱委員會，按統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)從各賽區(qū)送交的優(yōu)秀答卷中評選出全國一等、二等獎。為了能夠安全地在這些遍布巖石、的區(qū)域內(nèi)完成高精度軟著陸，這就要求導(dǎo)航和控制系統(tǒng)具有較強的自主性和實時性。該方法利用光學(xué)相機和激光測距儀測量值構(gòu)建著陸點相對著陸器的矢量信息，結(jié)合著陸器的姿態(tài)信息確定著陸器的位置。最后，針對采用變推力主發(fā)動機的月球著陸器，提出一種垂直軟著陸控制方法。關(guān)鍵詞： 月球軟著陸；自主導(dǎo)航與控制；障礙檢測；規(guī)避制導(dǎo)；適量測量一、問題重述嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發(fā)射，12月6日抵達月球軌道。其比沖（即單位質(zhì)量的推進劑產(chǎn)生的推力）為2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。整個過程大概需要十幾分鐘的時間。嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計。（3）對于你們設(shè)計的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。m231。R0232。231。R0+R1247。49012（）=（沿切線方向）v2=，徑向速度vk=0。0231。0232。即近月點位置坐標(biāo)為(,)海拔15km,遠(yuǎn)月點位置坐標(biāo)為(,)海拔100km。如圖1所示,橢圓的軌跡方程為x2y2+2=1 (5) 2ba將(5)式變形為a2x2+b2y2=a2b2 (6)根據(jù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則將(6)式對x求導(dǎo)有2a2x+2b2yy162。+yy162。=43by根據(jù)曲率半徑公式有 r=(1+y162。當(dāng)著陸器運行到近月點時,制動發(fā)動機開始工作,其主要任務(wù)是抵消著陸器的初始動能和勢能,使著陸器接觸地面時,相對月面速度為零,即實現(xiàn)所謂的軟著陸,這一階段稱為動力下降段。其示意圖如圖1所示,其中o為月球質(zhì)心,x軸方向為由月心指向著陸器的初始位置,y軸方向為初始位置著陸器速度方向。優(yōu)化變量為制動發(fā)動機推力方向角y(t)。190。0（5）進一步地，若著陸區(qū)域附近表面崎嶇不平，僅僅確保地表約束不能滿足需求時，可以考慮下降傾角約束，即將著陸器下降軌線約束到以著陸點為頂點的圓錐體內(nèi) 等效后燃料最優(yōu)精確著陸問題 定義等效變換變量