05 數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義-全文預(yù)覽
【正文】 釋新的數(shù)學(xué)現(xiàn)象而發(fā)展理論．例如： Gauss 發(fā)現(xiàn)了曲面的曲率是內(nèi)蘊(yùn)（即僅與其第一基本形式有關(guān)）之后， Riemann 便由此創(chuàng)造了以他為名的幾何學(xué)，成就了近百年 來(lái)的幾何的發(fā)展； 發(fā)現(xiàn)了在纖維叢上示性類的不變性后， Pontryagin 和陳省身便將之推廣到更一般的情況，陳示性類在今日已成為拓?fù)浜痛鷶?shù)幾何中最基本的不變量． ●為解決重要問(wèn)題而發(fā)展理論．例如 為解決一般黎曼流形等距嵌入歐氏空間而發(fā)展的隱函數(shù)定理，日后自成學(xué)科，在微分方程中用處很大．而 用 h協(xié)邊理論解決了五維或以上的 Poincare 猜想后，此理論成為微分拓?fù)涞淖钪匾ぞ撸? ●新的定理證明后，需要建立更深入的理論．如 AtiyahSinger 指標(biāo)定理，Donaldson 理論等提出后，都有許多不同的證明．這些證明又引起重要的工作． ●在研究對(duì)象上賦予新的結(jié)構(gòu)． Kahler 在研究復(fù)流形時(shí)引入了后來(lái)以他為名的尺度；近年 Thurston 在研究三維流形時(shí)，也引進(jìn)了“幾何化”的概念．一般而言，引進(jìn)新的結(jié)構(gòu)使廣泛的概念得到有意義的研究方向．有時(shí)結(jié)構(gòu)之上還要再加限制，如 Kahler 流形上我們要集中精神考慮 KahlerEinstein 尺度，這樣研究才富有成果． （二）從現(xiàn)象中找尋規(guī)律的數(shù)學(xué)家．這些數(shù)學(xué)家或從事數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)，或在自然和社會(huì)現(xiàn)象中發(fā)掘值得研究的問(wèn)題，憑著經(jīng)驗(yàn)把其中 精要抽出來(lái)，作有意義的猜測(cè)．如 Gauss 檢視過(guò)大量質(zhì)數(shù)后，提出了質(zhì)數(shù)在整數(shù)中分布的定律； Pascal 和Fermat 關(guān)于賭博中賠率的書信，為現(xiàn)代概率論奠下基石．五十年代期貨市場(chǎng)剛剛興起， Black 和 Scholes 便提出了期權(quán)定價(jià)的方程，隨即廣泛地應(yīng)用于交易上． Scholes 亦因此而于去年獲得諾貝爾的經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)．這類的例子還有很多，不勝枚舉． 話說(shuō)回來(lái)，要作有意義的猜測(cè)并非易事，必須對(duì)面對(duì)的現(xiàn)象有充分的了解．以紅樓夢(mèng)為例，只要看了前面六七十回，就可以憑 想象 猜測(cè)后面大致如何．但如果我們對(duì)其中的詩(shī)詞不大了解，則不 能明白它的真義 ， 也無(wú)從得到有意義的猜測(cè)． （三）解決難題的數(shù)學(xué)家．所有數(shù)學(xué)理論必須能導(dǎo)致某些重要問(wèn)題的解
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