高中數(shù)學223向量的數(shù)乘教案新人教a版必修1-全文預覽
【正文】 思路2．(直接導入)數(shù)的減法運算是加法運算的逆運算．本節(jié)課，我們繼續(xù)學習向量加法的逆運算——減法．引導學生去探究、發(fā)現(xiàn)．數(shù)的減法運算是數(shù)的加法運算的逆運算，數(shù)的減法定義即減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，因此定義數(shù)的減法運算，必須先引進一個相反數(shù)的概念．類似地，向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算．可類比數(shù)的減法運算，我們定義向量的減法運算，也應引進一個新的概念，這個概念又該如何定義?二、新課導學【探究1】相反向量一個質(zhì)點，先由A點作直線移動到B點，于是得到一個向量→AB，再由B點按相反方向移動到A點又得到一個向量→BA，如此移動的實際效果，等于沒有移動，因此，→AB＋→BA＝0，這個等式就建議我們把向量→BA定→的負向量，并記作→→，于是我們有 義為向量ABBA＝－AB新知1：與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a，并且規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量，于是，－(－a)＝：①－(－a)＝a；②任一向量與它相反向量的和是零向量，即 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 ③如果a、b是互為相反的向量，則有 a＝－b，b＝－a，a＋b＝：判斷下列各命題的真假(1)─→AA＋─→AA＋…＋──→AA與──→AA是一對相反向量； 1223n﹣1nn1(2)─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→Ai﹣1Ai與──→AiAi＋1＋───→Ai＋1Ai＋2＋──→AnA1是一對相反向量；(3)a＝－a的充要條件是a＝0；(4)─→AA＋─→AA＋──→：(1)真命題.∵─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→An﹣1An＝─→A1An，而──→AnA1與─→A1An長度相等，方向相反，所以命題(1)是真命題.(2)真命題.∵─→AA＋─→AA＋…＋──→AA＝─→AA，而──→AA＋───→AA＋──→AA＝─→AA，由于─→AA與1223i﹣1i1iii＋1i＋1i＋2n1i11i─→AiA1是一對相反向量，所以命題(2)是真命題.(3)真命題.∵當a≠0時，a≠－a；而當a＝0時，a＝－a，故命題(3)是真命題.(4)真命題.∵─→AA＋─→AA＋──→AA＝0，∴─→AA＋─→AA＋──→n1n1【探究2】向量減法如圖，設向量AB＝b，AC=a，則AD=b，由向量減法的定義，知AE=a+(b)=ab．又b＋BC＝a，所以BC＝a－b． 由此，我們得到ab的作圖方法．如圖2，已知a、b，在平面內(nèi)任取一點O，作OA=a，則BA=aOB=b，－b，即a－b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義．新知2：（1）向量減法的定義：ab=a+(b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量．向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b),求兩個向量差的運算，叫向量的減法．（2）向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運算的幾何意義所在，是數(shù)形結合思想的重要體現(xiàn)．說明：①還可以這樣定義：兩個向量a與b的差，是這樣一個向量x，它適合于等式x＋b＝a，并記作x＝a－b,并稱a為被減向量，b為減向量，而x稱為差向量．②向量減法可以轉化為向量加法，如圖b與a－b首尾相接，根據(jù)向量加法的三角形法則有b＋(a－b)＝a,即a－b＝→CB． ③，－→AB＝→BA，就可以把減法轉化為加法，在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接兩向量終點，箭頭指向被減數(shù)”即可．→＝a，→→＝a＋b，BD→＝b－a, DB→④以向量ABAD＝b，為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量為AC＝a－b，這一結論在以后應用是非常廣泛的．【探究3】關于向量差的模的不等式如果我們回憶向量加法的平行四邊形法則，那么就可以知道，對于兩向量a及b為邊作成的平行四邊→＝a＋b，BA→＝a－b，利用圖中的三角形OAB，形中，其兩條對角線分別為a與b的和及差，如圖所示，有OC并注意三角形中兩邊之差小于第三邊，于是當a與b不共線時，有|a－b|||a|－|b||，與向量和的模的不等式類似．對于兩任意兩向量a與b差的長度不大小兩向量長度之和，且又不小于兩向量長度差的絕對值，即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 證明：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知，||a|－|b||≤|a＋(－b)|≤|a|
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