第1部分 第1章 13 134 三角函數(shù)的應(yīng)用-全文預(yù)覽
【正文】 m? 所以 2 k π ＋4π3＜π6t ＜ 2 k π ＋ 2π ， k ∈ Z ， 所以 12 k ＋ 8 ＜ t ＜ 12 k ＋ 12. 令 k ＝ 0 ，得 t ∈ (8,12 ) ；令 k ＝ 1 ，得 t ∈ (20,2 4) ． 故這一天共有 8 小時(shí)水深低于 m . 6．某港口水深 y(米 )是時(shí)間 t(0≤t≤24，單位：時(shí) )的函數(shù)， 下面是水深數(shù)據(jù)： t(時(shí) ) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米 ) 據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示， 經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正 弦函數(shù) y＝ Asin ωt＋ B的圖象． (1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出 y＝ Asin ωt＋ B 的表達(dá)式； (2)一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于 是安全的，如果某船的吃水度 (船底與水面的距離 )為 7米，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？ 若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長(zhǎng)時(shí)間？ (忽略離港所用的時(shí)間 ) 解： ( 1) 從擬合的曲線可知，函數(shù) y ＝ A sin ωt ＋ B 在一個(gè)周期內(nèi)由最大變?yōu)樽钚⌒枰?9 － 3 ＝ 6 小時(shí)，此為半個(gè)周期， ∴ 函數(shù)的最小正周期為 12 小時(shí)，因此2πω＝ 12 ， ω ＝π6. 又當(dāng) t ＝ 0 時(shí)， y ＝ 10 ；當(dāng) t ＝ 3 時(shí)， yma x＝ 13 ， ∴ B ＝ 10 ， A ＝ 13 － 10 ＝ 3. 于是，所求函數(shù)解析式為 y ＝ 3sinπ6t ＋ 10( 0 ≤ t ≤ 24) ． ( 2) 由于船的吃水深度為 7 米，船底與海底的距離不少于 米，故在船舶航行時(shí)水深 y 應(yīng)大于等于 7 ＋ ＝ 1 1. 5( 米 ) ． 令 y ＝ 3sinπ6t ＋ 10 ≥ 1 ，可得 sinπ6t ≥12. ∴ 2 k π ＋π6≤π6t ≤ 2 k π ＋5π6( k ∈ Z) ． ∴ 12 k ＋ 1 ≤ t ≤ 12 k ＋ 5( k ∈ Z) ． 取 k ＝ 0 ，則 1 ≤ t ≤ 5 ；取 k ＝ 1 ，則 13 ≤ t ≤ 17. 而取 k ＝ 2 時(shí)，則 25 ≤ x ≤ 29( 不合題意 ) ． ∴ 船只可以安全進(jìn)港的時(shí)間為上午的 1～ 5點(diǎn)和下午的 1～ 5點(diǎn)；船舶要在一天之內(nèi)在港口停留的時(shí)間最長(zhǎng)，就應(yīng)從凌晨 1點(diǎn) (1點(diǎn)到 5點(diǎn)都可以 )進(jìn)港，而下午 17點(diǎn) (即 13點(diǎn)到
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