常微分方程在數學建模中的應用-全文預覽
【正文】 kg,于是得該問題的數學模型為這是一階非齊次線性方程的初值問題,其解為 .下面對該問題進行一下簡單的討論,由上式不難發(fā)現:時刻容器內溶液的質量濃度為 ,且當時,即長時間地進行上述稀釋過程,容器內鹽水的質量濃度將趨于注入溶液的質量濃度.溶液混合問題的更一般的提法是：設有一容器裝有某種質量濃度的溶液,以流量注入質量濃度為的溶液 （指同一種類溶液,只是質量濃度不同）,假定溶液立即被攪勻,并以的流量流出這種混合溶液,試建立容器中質量濃度與時間的數學模型.首先設容器中溶質的質量為,原來的初始質量為 , =0時溶液的體積為,在d時間內,容器內溶質的改變量等于流入溶質的數量減去流出溶質的數量,即,其中是流入溶液的質量濃度, 為時刻容器中溶液的質量濃度,于是,有混合溶液的數學模型該模型不僅適用于液體的混合,而且還適用于討論氣體的混合.四、振動模型 ,許多振動現象都可以抽象為下述振動問題.例5 設有一個彈簧,它的上端固定,下端掛一個質量為的物體,試研究其振動規(guī)律.圖4解 假設（1）物體的平衡位置位于坐標原點,并取軸的正向鉛直向下（見圖4）.,作用在物體上的重力與彈性力大小相等,方向相反；（2）在一定的初始位移及初始速度下,物體離開平衡位置,并在平衡位置附近作沒有搖擺的上下振動；（3）物體在時刻的位置坐標為,即時刻物體偏離平衡位置的位移；（4）在振動過程中,阻力的方向總是與速度方向相反,因此阻力為,為阻尼系數；（5）當質點有位移時,假設所受的彈簧恢復力是與位移成正比的,而恢復力的方向總是指向平衡位置,也就是總與偏離平衡位置的位移方向相反,因此所受彈簧恢復力為,其中為勁度系數；（6）,根據牛頓第二定律得 , ①這就是該物體的強迫振動方程.由于方程①中, 的具體形式沒有給出,所以,不能對式①.1. 無阻尼自由振動 在這種情況下,假定物體在振動過程中,既無阻力、又不受外力①變?yōu)? , 令,方程變?yōu)?
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