實(shí)驗(yàn)3數(shù)列與級(jí)數(shù)-全文預(yù)覽
【正文】 通項(xiàng)公式Fibonacci數(shù)列與自然界中的許多現(xiàn)象，如植物的枝干與葉子的生長(zhǎng)有緊密的聯(lián)系。不過，它仍然是數(shù)列的主項(xiàng)。為考察Fibonacci數(shù)列的極限與規(guī)律，我們用計(jì)算機(jī)算出Fibonacci數(shù)列每一項(xiàng)的值，并在二維平面上畫出順次連接點(diǎn)（，），n=1,2,…，N的折線圖，其中是一個(gè)大整數(shù)。某人養(yǎng)了一對(duì)兔子（公母各一只）。本實(shí)驗(yàn)將通過計(jì)算機(jī)圖示的方法來幫助我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律及其極限行為。給定一個(gè)無窮級(jí)數(shù)（2），它唯一地確定了一個(gè)無窮數(shù)列 , ,…其中= ++…+ , n = 1,2 ,… .反過來，給定一個(gè)無窮數(shù)列（1），它也唯一地確定了一個(gè)無窮級(jí)數(shù) 這里= ,n = 2 ,3 ,… 。實(shí)驗(yàn)3 數(shù)列與級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)是微積分乃至整個(gè)數(shù)學(xué)分析最重要的基本內(nèi)容之一。所謂一個(gè)無窮數(shù)列是指按一定順序排列的一串?dāng)?shù)字 , ,… , ,… （1）而一個(gè)無窮級(jí)數(shù)則是用無窮項(xiàng)數(shù)字構(gòu)成的和式 = + + … （2）數(shù)列與級(jí)數(shù)有密不可分的關(guān)系。給定的數(shù)列{} ,人們最關(guān)心的問題是：1． 數(shù)列有什么規(guī)律與性質(zhì)？2． 當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列的極限是什么？3． 極限是否是一個(gè)有限的數(shù)字？還是無窮大？抑或根本不存在？4． 如果極限是無窮大，那么它趨于無窮大的階是什么？5． 如果數(shù)列的極限根本不存在，那么在無窮大的極限狀態(tài)又怎么樣？對(duì)于給定的一個(gè)無窮級(jí)數(shù)，也可以提出上述類似的問題。Fibonacci數(shù)列經(jīng)常以著名的養(yǎng)兔問題提出來。假設(shè)兔子不會(huì)死亡，問一年后總共有多少對(duì)兔子？顯然，問題的答案就是數(shù)列的第十二項(xiàng)。因?yàn)閿?shù)列趨于無窮，故取 于是 (8)然而，公式（8）并不滿足，即并非數(shù)列的通項(xiàng)公式。因而我們猜測(cè)，數(shù)列的通項(xiàng)也具有形式 =其中也滿足方程（7），故 = 這樣，我們得到Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)一個(gè)新的猜測(cè) 由條件確定出 c= ,= 從而我們得到 =(()—()) (9)這樣，F(xiàn)ibonacci數(shù)列趨于無窮的階為()。
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1