復(fù)習(xí)：曲頂柱體的體積-全文預(yù)覽
【正文】 其中 D 是由中心在原點(diǎn)，半徑為 a 的圓周所圍成的閉區(qū)域 . 解 在極坐標(biāo)系下 D ： ar ??0 ， ???? 20 . 22xyDe d x d y???? ???? ?? a r r d red0202).1( 2ae ????Yunnan University 167。 1. 二重積分的計(jì)算 區(qū)域特征如圖 ,??? ??).()( 21 ???? ?? r.)s i n,c o s()( )(21??? ?? ???? ??? r d rrrfd??Dr d r drrf ??? )s i n,c o s(??AoD)(2 ???r)(1 ???rYunnan University 167。 1. 二重積分的計(jì)算 ,10 ??? yx? ,xyyx ???所求體積 ?? ???DdxyyxV ?)( ? ? ? ??? 10 10 )(x dyxyyxdx? ???? 10 3 ])1(21)1([ dxxxx .247?所圍立體在 x o y 面上的投影是 Yunnan University 167。 1. 二重積分的計(jì)算 例 4 求 ?? ?Dd x d yyx )( 2 ，其中 D 是由拋物線2xy ? 和 2yx ? 所圍平面閉區(qū)域 . 解 兩曲線的交點(diǎn) ),1,1(,)0,0(22??????yxxy2()Dx y d x d y??? ? ??? 10 22 )(xx dyyxdxdxxxxxx )](21)([ 4210 2 ???? ? .14033?2xy?2yx?Yunnan University 167。 1. 二重積分的計(jì)算 X型區(qū)域的特點(diǎn) ： 穿過區(qū)域且平行于 y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn) . Y型區(qū)域的特點(diǎn) ： 穿過區(qū)域且平行于 x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn) . 若區(qū)域如圖， 3D2D1D在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式 .321???????? ???DDDD則必須分割 . Yunnan University 167。 yx)(1 yxx ?)(2 yxx ?ydcxo這種區(qū)域的特點(diǎn)是：與 軸垂直的直線與區(qū)域的邊界至多有兩個(gè)交點(diǎn)，或者有部分邊界是平行于 x 軸的直線段。 , ]a b c d令 ( , ) , ( , )( , )0 , ( , )f x y x y DF x yx y D???? ??于是 21[ , 。 第一種情形： 積分區(qū)域 D 由兩條曲線 及兩條直線 圍成，即 12( ) , ( )y y x y y x??,x a x b??這種區(qū)域的特點(diǎn)是：與 軸垂直的直線與區(qū)域的邊界至多有兩個(gè)交點(diǎn)，或者有部分邊界是平行于 y 軸的直線段。 , ]a b c d( , )f x y我們經(jīng)常使用的是連續(xù)函數(shù)，對連續(xù)函數(shù)有下列結(jié)果： [ , 。 1. 二重積分的計(jì)算 k對 所 有 的 相 加 ， 得? ?,di k k i i k kckkm y f y d y M y?? ? ? ??? ?ixi?再 乘 ， 對 所 有 相 加 ：? ?,i k i k i i i k i ki k i i km x y F x M x y?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?m ax 0 ,ikd d f x yF x a b? ? ?記 的 直 徑 ， 當(dāng) 時(shí) ， 注 意 到的 可 積 性 ， 利 用 上 述 不 等 式 ， 立 即 得 出 在可 積 ， 且? ?[ , 。 , ]a b c d( , )f x y [ , ]x a b??( ) ( , )dcF x f x y d y? ?Yunnan University 167。 , ]( , ) ( , )dbcaa b c df x y d x d y d y f x y d x??? ? ?類似地，也可以用與 軸垂直的平面來截曲頂柱體，同樣可得 yYunnan University 167。 先復(fù)習(xí)定積分應(yīng)用中的一個(gè)結(jié)果：設(shè)空間立體位于平面 與平面 之間，用與 軸垂直的平面截立 體，截得截面的截面面積為 ，則此立體的體積為 xa? xb? x()sx()baV s x d x? ? )(xsa bx化二重積分為二次積分 Yunnan University 167。 1. 二重積分的計(jì)算 ⑶ 求和： 把 n 個(gè)小曲頂柱體的體積相加，便得到所求曲頂柱體體積的近似值 11( , )nni i i iiiV V f ? ? ???? ? ? ???取極限，如果該極限存在，那末此極限值就定義為曲頂柱體 的體積。 1. 二重積分的計(jì)算 i??),( ii ??( , )i i i iVf ? ? ?? ? ?yxzOabc d),( yxfz ?取極限求和近似代替分割分割 近似代替 求和 取極限0 1l i m ( , )ni i idiVf ? ? ?? ???＝Y(jié)unnan University 167。Yunnan University 167。yxzOabc d),( yxfz ?Yunnan University 167。相應(yīng)地將曲頂柱體分割 成 n 個(gè)小曲頂柱體，分別記為 12, , , n? ? ?? ? ?12, nV V V? ? ?，⑵ 近似代替： 在每一小塊上任意取一點(diǎn) 則小曲 頂柱體的體積 可用直柱體的體積近似代替，即 ( , )i i iM ??iV?( , )i i i iVf ? ? ?? ? ?Yunnan University 167。 1. 二重積分的計(jì)算 由于此曲頂柱體的底面是一矩形，所以此曲頂柱體的體積還可以用另一種方法來計(jì)算。 , ]( ,
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