變換和置換群-全文預(yù)覽
【正文】 變換和變換群 ? 定義： A是非空集合 ， f:A?A稱為 A上的一個(gè)變換 。 ? 集合 A上的一一變換關(guān)于變換乘法構(gòu)成的群稱為 變換群 。 ? 單位元： f:A?A, ?x?A, f(x)=x滿足對(duì)于任意 g:A?A, f?g=g?f=g (恒等變換 ) ? 逆元素：任意雙射 g:A?A均有反函數(shù) g 1:A?A, 即其逆元素。 ?????????321321e ?????????132321? ?????????213321? ?????????231321? ?????????123321? ?????????312321? 輪換與對(duì)換 ? 定義 : 設(shè) ?是 S={1,2,… ,n}上的 n元置換 ， 且： ?(i1)=i2, ?(i2)=i3, … , ?(ik1)=ik, ?(ik)=i1, 且 ?x?S, x?ij j=1,2,… ,k, ?(x)=x, 則稱 ?是 S上的一個(gè) k階輪換 ， 當(dāng)k=2, ?也稱為 對(duì)換 。 ?=(2 3)。 ? x?S({i1, i2, … , ik}?{j1, j2, … , js})， 均有 ??(x) = ??(x) 用輪換的乘積表示置換 ? 任一 n元置換 ?均可表示成一組互不相交的輪換的乘積 。 必有 im+1=i1。與 ?1不相交， ?39。由輪換的定義以及各輪換不相交， i2, i3,…, i m也必在 ?s中。 置換的輪換乘積形式 ? 例子： = (1 5 7) (4 8) ? 例子： =(1 2 3 5) (4 8 7 6) ????????4167832587654321 ????????7641853287654321用對(duì)換的乘積表示置換 ? k(k1)階輪換 ? =(i1 i2 … ik )可以表示為 k1個(gè)對(duì)換的乘積： (i1i2)… (i1ik1) (i1ik) ? 注意：各對(duì)換是相交的 ， 因此次序不可以交換 。 分 4種情況證明： ?x?A, ?(x)=(i1 i2 … ik)(i1 ik+1 )(x) (1) x?{ i1, i2, … , ik1} (2) x=ik (3) x=ik+1 (4) x為 A中其它元素 對(duì)換乘積表示置換的例子 定義 {1,2,3,4}上的函數(shù) f 如下： f (1)=2, f (2)=3, f (3)=4, f (4)=1 函數(shù) f 的輪換形式： (1 2 3 4) 函數(shù) f 的對(duì)換乘積形式： (1 2) (1 3) (1 4) 令： 函數(shù) g: g(1)=2, g(2)=1, g(3)=3,
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