初中平面幾何一題多變-全文預覽
【正文】 2：9題目73已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足求證：AB+CDAC+BC題73的證明：由三角形面積公式，得ABBC又勾股定理，得AB^2=AC^2+BC^2∴AB^2+2ABCD+CD^2 （AC+BC）^2∴(AB+CD)^2 （AC+BC）^2又AB、CD、AC、BC均大于零∴AB+CDAC+BC題目74已知，△ABC中，∠ACB90度，CD⊥AB，D為垂足求證：AB+CDAC+BC題74證明：如圖，作CB’⊥AC交AB于B’,于是有AB’B’C又勾股定理，得AB’^2=AC^2+B’C^2∴AB’^2+2AB’CD+CD^2 （AC+B’C）^2∴(AB’+CD)^2 （AC+B’C）^2又AB’、CD、AC、B’C均大于零∴AB’+CDAC+B’C……①在△ABB’中,BB’CBCB’……②①+②得AB’ BB’+CDAC+B’C CBCB’∴AB+CDAC+BC題目75已知如圖，△ABC中， CD⊥AB，D為垂足，CT平分∠ACB，CM為AB邊上的中線，且∠ACD=∠DCT=∠TCM=∠MCB求證：∠ACB=90度題目75的證明：延長CT交三角形ABC的外接圓于N，連結MN，則N為弧AB的中點，所以MN⊥AB，又CD⊥AB，∴MN‖CD∴∠DCT=∠TNM又∠DCT=∠TCM∴∠TCM=∠TNM∴CM=NM∴CN的垂直平分線必過點M，又CM為AB邊上的中線，MN⊥AB∴AB的垂直平分線必過點M，即M為兩條弦的垂直平分線的交點，∴M為三角形ABC的外接圓的圓心，因此AB為△ABC的外接圓的直徑。BE AGEP題目82已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，E為⊙ABC上一點，且弧AC=弧CE，又直線AC與直線BE交于H，求證： AB=BH題目83(由題44變)求證：直角三角形兩條直角邊的和等于斜邊與內(nèi)切圓直徑的和。已知：兩線段m和n求作：兩線段x及y,使x+y=m，xy=n^2補個圖（題88作法參考）AD、BD即為求作線段x、y題目89（由題88變）已知梯形ABCD如圖，求作一直線平行于梯形的底邊，且平分面積。CE等于△ABC面積的2倍求證：∠ACB=90度題目95已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，CM平分∠ACB 交AB于M，若ACBC求證：∠DCM=1/2題目100已知，△ABC中， CD⊥AB，D為垂足，∠B=2∠A求證：CB=ADBD題目101已知，AB是⊙的直徑，AB=4， D是OB的中點，過點D的弦CE⊥AB，求弦CE的長。DBCD：AD=DB：CD，∠ADC=∠CDB=90度∴ Rt△ADC∽Rt△CDB∴∠ACD=∠CBD又∴∠BCD+∠CBD=90度∴∠BCD+∠ACD=90度，即∠ACB=90度(再證∠ABC=∠EBF成立)。題目97已知，△ABC中，∠ACB=90度，CE平分∠ACB 交AB于E，且EC+BC=AC， 求AC/BC題97解：設BC=a,AC=b,過點E作EH‖BC交AC于點H，作EF‖BC交BC于點F，則四邊形CHEF為正方形，設EH==√2x,由AH/EH=AC/BC，得(bx)/x=b/a, x=(ab)/(a+b)由題意得，a+√2x=b∴x=(ba)/ √2a,∴(ab)/(a+b)= (ba)/ √2a,得b^2√2aba^2=0b/a=(√2+√6)/2即AC/BC=(√2+√6)/2題目98已知，△ABC中，∠ACB=90度，兩直角邊的差為2√2，CD⊥AB，D為垂足，BDAD=2√3，求△ABC中的三邊長。題目93解：（構造法）分別以113為邊作△ABC，使AC=17，BC=13，CD為AB邊上的高，在Rt△ADC中，AD=17 cosA，在Rt△BDC中，BD=13 cosB，CD=17sinA=13sinB而AB=AD+DB=17cosA+13cosB=17，∴AC=AB, ∠B=∠ACB,∴∠A+2∠B=180度∴∠A/2+∠B=90度。題目89作法：如圖，作兩腰的延長線交于點O，作PB⊥AB使PB=OA，連結OP，以OP為直徑作半圓M，由圓心M作MN⊥OP，交半圓于點N，再以O為圓心ON為半徑畫弧交AB于點E，作EF‖BC交CD于F，則EF即為所求線段。（提示：從（1）完備性、（2）純粹性 兩方面來證明。DP題目81已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，E為⊙ABC上一點，且直線DC于直線BE交于P，如果CD平分AE，求證： 2DMB’C(等式性質(zhì))∴AB’^2+2AB’B’C2AB’BC(等式性質(zhì))∴AB^2+2ABBC2ABBM∽△ABC∴A39。MN是正三角形，求△A39。AB∴AC^2/ BC^2=AD/BD∵CM平分∠ACB∴（AM/
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