初中幾何輔助線大全-最全-全文預(yù)覽
【正文】 是，的角平分線。1 如圖，AB=CD，E為BC的中點，∠BAC=∠BCA，求證：AD=2AE?！唳BD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE?！唳EF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。（四）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6．如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90176。仿例3可證：ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形?！郆D===，故BC=2BD=2。（二）、由中線應(yīng)想到延長中線例3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。三角形中有中線，延長中線等中線。1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。DCBA求證：BC=AB+DC。DAECB例1．如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180176。線段和差不等式，移到同一三角去。分析：由AD、AE是∠BAC內(nèi)外角平分線，可得EA⊥AF，從而有BF//AE，所以想到利用比例線段證相等。AD為∠ABC的平分線，CE⊥：BD=2CE。例1． 已知：如圖31，∠BAD=∠DAC，ABAC,CD⊥AD于D，H是BC中點。求證：∠BAC的平分線也經(jīng)過點P。AB=AC，∠ABD=∠CBD。求證：∠ADC+∠B=180例3． 已知：如圖14，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：ABAC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。但無論延長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進而達到所證明的目的。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。角平分線加垂線，三線合一試試看。2. 如圖6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。請再看兩例，讓我們感受其中的奧妙！例3. 如圖3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。證明：取AD，BC的中點N、M，連接NB，NM，NC。例如：如圖111：AB＝DC，∠A＝∠D 求證：∠ABC＝∠DCB。 BE⊥CF （已知） ∴∠BAC＝∠CAF＝90176。求證：BD＝2CE 分析：要證BD＝2CE，想到要構(gòu)造線段2CE，同時CE與∠ABC的平分線垂直，想到要將其延長。）二 、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。三角形中作輔助線的常用方法舉例一、延長已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖71：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求證：AD＝BC分析：欲證 AD＝BC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：△ADC與△BCD，△AOD與△BOC，△ABD與△BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。（當(dāng)條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件?！?＝∠2，CE⊥BD的延長于E 。 （垂直的定義）在△BEF與△BEC中， ∵ ∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=CF （全等三角形對應(yīng)邊相等） ∵∠BAC=90176。 ∴∠BDA＝∠BFC在△ABD與△ACF中 ∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形對應(yīng)邊相等） ∴BD＝2CE四、取線段中點構(gòu)造全等三有形。問題得證。解：過點D作DG//AC，交BF于點G 所以DG：FC＝BD：BC因為BD：DC＝1：3 所以BD：BC＝1：4 即DG：FC＝1：4，F(xiàn)C＝4DG因為DG：AF＝DE：AE 又因為AE：ED＝2：3 所以DG：AF＝3：2即 所以AF：FC＝：4DG＝1：6例2. 如圖2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD解：過點C作CG//DE交AB于點G，則有EF：GC＝AF：AC因為AF＝FC 所以AF：AC＝1：2 即EF：GC＝1：2， 因為CG：DE＝BC：BD 又因為BC＝CD所以BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 即DE＝2GC因為FD＝ED－EF＝ 所以EF：FD＝小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。解：過點D作DG//CE，交AB于點G所以EF：DG＝AF：AD因為AF＝FD 所以AF：AD＝1：2 圖4即EF：DG＝1：2 因為DG：CE＝BD：BC，又因為BD：CD＝1：3， 所以BD：BC＝1：4即DG：CE＝1：4，CE＝4DG因為FC＝CE－EF＝所以EF：FC＝＝1：7練習(xí)：1. 如圖5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。角平分線平行線，等腰三角形來添。①從角平分線上一點向兩邊作垂線；②利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來構(gòu)造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。其它問題自已證明。例1． 如圖21，已知ABAD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。例2． 如圖22，在△ABC中，∠A=90例3． 已知如圖23，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例2． 已知：如圖32，AB=AC，∠BAC=90求證：AM=ME。三 由線段和差想到的輔助線線段和差及倍半，延長縮短可試驗。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角
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