初中幾何輔助線大全-最全-全文預(yù)覽
【正文】 是，的角平分線。1 如圖，AB=CD，E為BC的中點(diǎn)，∠BAC=∠BCA，求證：AD=2AE?！唳BD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。（四）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6．如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90176。仿例3可證：ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形?！郆D===，故BC=2BD=2。（二）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長(zhǎng)。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。DCBA求證：BC=AB+DC。DAECB例1．如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180176。線段和差不等式，移到同一三角去。分析：由AD、AE是∠BAC內(nèi)外角平分線，可得EA⊥AF，從而有BF//AE，所以想到利用比例線段證相等。AD為∠ABC的平分線，CE⊥：BD=2CE。例1． 已知：如圖31，∠BAD=∠DAC，ABAC,CD⊥AD于D，H是BC中點(diǎn)。求證：∠BAC的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。AB=AC，∠ABD=∠CBD。求證：∠ADC+∠B=180例3． 已知：如圖14，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：ABAC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問(wèn)題。但無(wú)論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。角平分線加垂線，三線合一試試看。2. 如圖6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。請(qǐng)?jiān)倏磧衫?，讓我們感受其中的奧妙！例3. 如圖3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。證明：取AD，BC的中點(diǎn)N、M，連接NB，NM，NC。例如：如圖111：AB＝DC，∠A＝∠D 求證：∠ABC＝∠DCB。 BE⊥CF （已知） ∴∠BAC＝∠CAF＝90176。求證：BD＝2CE 分析：要證BD＝2CE，想到要構(gòu)造線段2CE，同時(shí)CE與∠ABC的平分線垂直，想到要將其延長(zhǎng)。）二 、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。三角形中作輔助線的常用方法舉例一、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖71：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求證：AD＝BC分析：欲證 AD＝BC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：△ADC與△BCD，△AOD與△BOC，△ABD與△BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無(wú)法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過(guò)添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。∠1＝∠2，CE⊥BD的延長(zhǎng)于E 。 （垂直的定義）在△BEF與△BEC中， ∵ ∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=CF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） ∵∠BAC=90176。 ∴∠BDA＝∠BFC在△ABD與△ACF中 ∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） ∴BD＝2CE四、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。問(wèn)題得證。解：過(guò)點(diǎn)D作DG//AC，交BF于點(diǎn)G 所以DG：FC＝BD：BC因?yàn)锽D：DC＝1：3 所以BD：BC＝1：4 即DG：FC＝1：4，F(xiàn)C＝4DG因?yàn)镈G：AF＝DE：AE 又因?yàn)锳E：ED＝2：3 所以DG：AF＝3：2即 所以AF：FC＝：4DG＝1：6例2. 如圖2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD解：過(guò)點(diǎn)C作CG//DE交AB于點(diǎn)G，則有EF：GC＝AF：AC因?yàn)锳F＝FC 所以AF：AC＝1：2 即EF：GC＝1：2， 因?yàn)镃G：DE＝BC：BD 又因?yàn)锽C＝CD所以BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 即DE＝2GC因?yàn)镕D＝ED－EF＝ 所以EF：FD＝小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點(diǎn)處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。解：過(guò)點(diǎn)D作DG//CE，交AB于點(diǎn)G所以EF：DG＝AF：AD因?yàn)锳F＝FD 所以AF：AD＝1：2 圖4即EF：DG＝1：2 因?yàn)镈G：CE＝BD：BC，又因?yàn)锽D：CD＝1：3， 所以BD：BC＝1：4即DG：CE＝1：4，CE＝4DG因?yàn)镕C＝CE－EF＝所以EF：FC＝＝1：7練習(xí)：1. 如圖5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。①?gòu)慕瞧椒志€上一點(diǎn)向兩邊作垂線；②利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來(lái)構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問(wèn)題，在證明線段的和差倍分問(wèn)題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來(lái)證明，延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段。其它問(wèn)題自已證明。例1． 如圖21，已知ABAD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。例2． 如圖22，在△ABC中，∠A=90例3． 已知如圖23，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交）。例2． 已知：如圖32，AB=AC，∠BAC=90求證：AM=ME。三 由線段和差想到的輔助線線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角
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