【正文】 化圖像50 100 150 200 25050100150200250 圖 12 圖像銳化 從結(jié)果中可以看出，使用 DCT 方法進行高通濾波得到的高頻結(jié)果比較純粹，完全是原圖像上的邊緣信息，而在小波方法得到的結(jié)果中，不只有高頻成 分，還有變換非常緩慢的低頻成分，這是因為兩者同樣在小波系數(shù)上體現(xiàn)為絕對值較低的部分，但這些成分的存在對我們進行進一步分析并無多大影響。采用小波方法銳化圖像39。 subplot(224)。采用 DCT方法銳化圖像39。 subplot(223)。原始圖像 39。 ％顯示三幅圖像 subplot(221)。 else c(i)=c(i)/2。)。 ％對變換結(jié)果在頻域做 BUTTERWORTH濾波 for i=1:256 for j=1:256 ff1(i,j)=ff1(i,j)/(1+(32768/(i*i+j*j))^2)。 load chess。 原始圖像50 100 150 200 25050100150200250采用 DCT 方法鈍化圖像50 100 150 200 25050100150200250采用小波方法鈍化圖像50 100 150 200 25050100150200250 圖 11 圖像鈍化 從圖中可以看出，采用 DCT 在頻域做濾波的方法得到鈍化結(jié)果更為平滑，這是因為其分辨率最高，而小波方法得到的結(jié)果在很多地方有不連續(xù)的現(xiàn)象，因為我們對系數(shù)做放大或抑制在閾值兩側(cè)有間斷，而且分解層數(shù)很低，沒有完全分離出頻域的信息。采用小波方法鈍化圖像39。 subplot(224)。采用 DCT方法鈍化圖像39。 subplot(223)。原始圖像 39。 ％顯示三幅圖像 subplot(221)。 18 else c(i)=c(i)/2。)。 ％對變換結(jié)果在頻域做 BUTTERWORTH濾波 for i=1:256 for j=1:256 ff1(i,j)=ff1(i,j)/(1+((i*j+j*j)/8192)^2)。 下面我們以 chess 信號為例，通過兩種方法對圖像鈍化的結(jié)果做一下比較。)。image(xx)。 end end %下面對處理后的系數(shù)進行重構(gòu) xx=waverec2(c,s,39。)。原始圖像 39。具體程序清單如下： load wmandril subplot(121)。 小波分析是以上兩種方法的權(quán)衡結(jié)果，建立在如下的認識基礎(chǔ)上，傅立葉分析的在所有點的分辨率都是原始圖像的尺度，但對于問題本身的要求，我 們可能不需要這么大的分辨率，而單純的時域分析又顯得太粗糙，小波分析的多尺度分析特性為用戶提供了更靈活的處理方法。 小波分析用于圖像增強 圖像增強問題描述 小波分析在二維信號（圖像）處理方面的優(yōu)點主要體現(xiàn)在其時頻分析特性，前面介紹了一些基于這種特性的一些應(yīng)用的實例，但對二維信號小波系數(shù)的處理方法只介紹了閾值化方法一種，下面我將介紹一下以前在一維信號中用到的抑制系數(shù)的方法，這種方法在圖像處理領(lǐng)域主要應(yīng)用于圖像增強。 title(39。)。s39。)。 nc=wthcoef2(39。h39。coif339。 title(39。,init) x=X+10*randn(size(X))。)。image(X)。由于原始圖像中只喊有較少的高頻噪聲，如果按照上一個例子把高頻噪聲全部濾掉的方法將損壞圖像中固有的高頻有用信號。 axis square。image(a2)。,c,s,39。)。 %畫出去噪后的圖像 subplot(223)。a39。 %下面進行圖像的去噪處理 %用小波函數(shù) sym4對 x進行 2層小波分解 [c,s]=wavedec2(x,2,39。 title(39。,init) x=X+38*randn(size(X))。)。image(X)。由于圖像所含的噪聲主要是白噪聲，而且主要集中在圖像的高頻部分，所以我們可以通過全部濾掉圖像中的高頻部分實現(xiàn)圖像的去噪。去噪后的圖像 39。,2,thr,sorh,keepapp)。 [Xdenoise,cxc,lxc,perf0,perfl2]=wdencmp(39。den39。 axis square %用 sym5小波對圖像信號進行二層的小波分解 [c,s]=wavedec2(X,2,39。image(wcodemat(X,192))。image(wcodemat(X,192))。,init)。 Matlab 的去噪函數(shù)有 ddencmp， wdencmp 等，其去噪過程可以按照如下程序進行。對于從 1 到 N 的每一層，選擇一個閾值，并對這一層的高頻系數(shù)進行軟閾值量化處理。 e(i,j) i,j=0,1,?， m1 其中， e 是標準偏差不變的高斯白噪聲。 最后需要說明的一點，對高頻成分很多的圖像，小波包的分解細節(jié)信息的特點尤其能發(fā)揮其優(yōu)勢。 plot(treed)。零系數(shù)成分 39。能量成分 39。title(39。原始圖像 39。 ％更改索引表為 pink 索引表 colormap(pink(nbc))。wp39。 load julia ％求顏色索引表長度 nbc=size(map,1)。全局閾值化方法作用的信息粒度太大，不夠精細，所以很難同時獲得高的壓縮比和能量保留成分，在作用的 11 分層閾值以后，性能明顯 提高，因為分層閾值更能體現(xiàn)信號固有的時頻局部特性。)。小波分解系數(shù)中置 0的系數(shù)個數(shù)百分比 ： 39。colormap(map) title(39。db339。,X)。 %使用 wavedec2函數(shù)來實現(xiàn)圖像的壓縮 [thr,sorh,keepapp]=ddencmp(39。)。 %顯示圖像 subplot(221)。在上面的例子中，我們還可以只提取小波分解第 ?層的低頻信息。ca239。 disp(39。colormap(map)。,0)。39。)。第一次壓縮 39。 subplot(223)。 ca1=wcodemat(ca1,440,39。)。 %顯示分解后各頻率成分的信息 subplot(222)。39。,1)。 v1=wrcoef2(39。h39。,c,s,39。d39。 cv1=detcoef2(39。,1)。39。)。原始圖像 39。 load wbarb。一個圖像作小波分解后，可得到一系列不同分 辨率的子圖像，不同分辨率的子圖像對應(yīng)的頻率是不相同的。 利用二維小波分析進行圖像壓縮 二維小波分析用于圖像壓縮是小波分析應(yīng)用的一個重要方面。 ％ 求壓縮信號的能量成分 per=norm(rx)/norm(X) per = ％求壓縮信號與原信號的標準差 7 err=norm(rxX) err = 原始圖像50 100 150 200 25050100150200250一層分解后各層系數(shù)圖像100 200 300 400 50020406080100120壓縮圖像50 100 150 200 25050100150200250處理后各層系數(shù)圖像100 200 300 400 50020406080100120 圖 2 利用小波變換的局部壓縮圖像 從圖 1可以看出， 小波域的系數(shù)表示的是原圖像各頻率段的細節(jié)信息，并且給我們提供了一種位移相關(guān)的信息表述方式，我們可以通過對局部細節(jié)系數(shù)處理來達到局部壓縮的效果。image(codrx),colormap(map)。title(39。一 層分解后各層系數(shù)圖像 39。)。 subplot(221)。 codrcd1=wcodemat(rcd1,192)。 rcd1(33:97,33:97)=zeros(65,65)。 rcv1=cv1。 codcv1=wcodemat(cv1,192)。sym439。 但是這種應(yīng)用的需求是很廣泛的，比如遙感測控圖像，要求在整幅圖像有很高壓縮比的同時，對熱點部分的圖像要有較高的分辨率，例如醫(yī)療圖像，需要對某個局部的細節(jié)部分有很高的分辨率，單純的頻域分析的方法顯然不能達到這個要求，雖然可以通過對圖像進行分快分解，然后對每塊作用不同的閾值或掩碼來達到這個要求，但分塊大小相對固定，有失靈活。 (7)Mexican Hat（ mexh）小波 Mexican Hat 函數(shù)為 2/24/1 2)1(32)( xexx ?? ??? ? (14) 它是 Gauss 函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，因為它像墨西哥帽的截面，所以有時 稱這個函數(shù)為墨西哥帽函數(shù)。從支撐長度的角度看， coifN 具有和 db3N 及 5 sym3N 相同的支撐長度；從消失矩的數(shù)目來看， coifN 具有和 db2N 及 sym2N 相同的消失矩數(shù)目。假設(shè) ?????? 101)( NkkkNk yCyP ，其中， kNkC ??1 為二項式的系數(shù)，則有 )2(s in)2(c os)( 2220 ??? Pm N? (13) 其中 ????? 1200 21)( Nkikk ehm ?? (3)Biorthogonal（ ）小波系 Biorthogonal 函數(shù)系的主要特征體現(xiàn)在具有線性相位性，它主要應(yīng)用在信號與圖像的重構(gòu)中。小波 ? 和尺度函數(shù)吁中的支撐區(qū)為 2N1。小波包分析能夠為信號提供一種更精細的分析方法，它將頻帶進行多層次劃分，對多分辨率分析沒有細分的高頻部分進一步分解，并能夠根據(jù)被分析信號的特征，自適應(yīng)地選擇相應(yīng)頻帶，使之與信號頻譜相匹配，從而提高了時 頻分辨率，因此小波包具有更廣 泛的應(yīng)用價值。所以對應(yīng)的離散小波函數(shù) )(, tkj? 即可寫作 )()()( 002/00 002/0, kbtaaa bkatat jjj jjkj ???? ??? ??? (9) 而離散化小波變換系數(shù)則可表示為 ???? ???? kjkjkj fdtttfC ,* , ,)()( ?? (10) 其重構(gòu)公式為 ? ???? ???? )()( , tCCtf kjkj ? (11) C 是一個與信號無關(guān)的常數(shù)。因此，有必要討論連續(xù)小波 )(, tba? 和連續(xù)小波變換 ),( baWf 的離散化。其中 a 為伸縮因子， b 為平移因子。然后研究了小波分析在圖像處理中的應(yīng)用， 包括圖像壓縮，圖像去噪，圖像融合，圖像分解，圖像增強等。換言之，短時傅立葉分析只能在一個分辨率上進行。目前 , 它在模式識別、圖像處理、語音處理、故障診斷、地球物理勘探、分形理論、空氣動力學(xué)與流體力學(xué)上的應(yīng)用都得到了廣泛深入的研究 ,甚至在金融、證券、股票等社會科學(xué)方面都有小波分析的應(yīng)用研究。經(jīng)過小波變換的圖像具有頻譜劃、方向選擇、多分辨率分析和天然塔式數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特點。小波變換具有時頻局部化的特點 ,因此不但能對圖像提供較精確的時域定位 ,也能提供較精確的頻域定位。眾多高新技術(shù)以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ) ,而小波分析被譽為“數(shù)學(xué)顯微鏡” ,這就決定了它在高科技研究領(lǐng)域重要的地位。其中短時傅立葉變換是在傅立葉分析基礎(chǔ)上引入時域信息的最初嘗試，其基本假定在于在一定的時間窗內(nèi)信號是平穩(wěn)的，那么通過分割時間窗，在每個時間窗內(nèi)把信號展開到頻域就可以獲得局部的頻域信息，但是它的時域區(qū)分度只能依賴于大小不變的時間窗，對某些瞬態(tài)信號來說還是粒度太大。 本文介紹了小波變換的基本理論，并介紹了一些常用的小波函數(shù)，它們的主要性質(zhì)包括緊支集長度、濾波器長度、對稱性、消失矩等，都做了簡要的說明。, ?? aRba