高等教育自學(xué)考試本科生畢業(yè)論文-全文預(yù)覽
【正文】 ???y解之得 ，所以 ， .?min2y=max1y分析：把 代入 得 .而這個方程無解，故 不在函數(shù)的1y=21x+2 1y=值域內(nèi).事實上，由 知 ，故 2231xy=+]1,2[??yy可以看出用“判別式法”求最值，有可能擴大 的取值范圍. 注意參變數(shù)的約束條件有一類求最值的問題，在題設(shè)函數(shù)里含有參變數(shù)，在計算過程中，當(dāng)問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)的二次函數(shù)時，如不考慮參變數(shù)的約束條件，易誤人用一般情況下求函數(shù)最值的方法代替求函數(shù)在特定區(qū)間最值的歧途．例. 設(shè) ， ， ，求 ?x2y4xy+=2xy+錯解：由題設(shè)知 ， ，3?1對其分別平方得： ， ，則 .9x492?y4552??yx高等教育自學(xué)考試本科生畢業(yè)論文 11 所以 ， .2min5()4xy+=2max45()y+=分析：根據(jù)約束條件 ， ，要 ，只有 且 而它們又1?x2()4y+1x=2y不滿足 ，因此 不是 的最小值，類似可推知 也不是 的最大值，24xy+=52y+5+錯誤處在上面不等式的變形不是同解變形，為了避免這類錯誤，一方面要盡量減少不等式之間的四則運算，另一方面，對不等式進行四則運算時，要注意等號成立的條件.正確的解法是：通過 把原式轉(zhuǎn)換為一個一元二次函數(shù)即2xy=（ ） ，()4fxx=+]3,1[? 注意對判別式的運用用判別式求函數(shù)的最值，由于各種因素、各種條件的互相約束一不留神就會出現(xiàn)錯誤，所以用這種方法解題時應(yīng)注意把握好約束條件.例. 求函數(shù) =+錯解：原式可化為 ，因為 ，所以si(1)si10yxy+=Rx?sin即 ,解得 .0)12(4)]12([?????yy2???21?y 則 , .min=ax分析：本題錯在 只保證 有實根，而不能保0??2sin(1)sin210yxxy+=證其根屬于 ，當(dāng) 時，方程變?yōu)?， 不屬于 ，[1,]12y=4sin2x[1,]因此不能立即就斷定函數(shù)最小值認(rèn)為是 ，最大值是 ，應(yīng)對判別式取等號時的 值22y，因為 ，可知 ， ，即 .]1,[sin??xsin0x?2si0x+?所以可知原函數(shù)最小值 .最大值由前面分析可知即為 .mi0y=1高等教育自學(xué)考試本科生畢業(yè)論文 12 注意均值不等式的運用注意當(dāng)且僅當(dāng)這些正數(shù)相等時，它們的積(和)才能取大(小)值.○ 1例. 求函數(shù) (0)yx=+錯解：因為 ，所以 ， ， ，于是21x203222 13xy???? 3=所以 的最小值是 .y32分析：上面解法錯誤，是沒有注意到當(dāng)且僅當(dāng) 時，函數(shù) 才能取得最21x=y小值，但 顯然不等于 ，所以 不能取 .1x2xy3對均值不等式中等號成立的條件生搬硬套○ 2例. 已知 ，且 ，求 的最小值，并求 的最小值時??Rzyx,123xyz+=xyzxyz的 ， ， 錯解：因為 ，?Rzyx,所以 ， ，從而 ，??zyx321 06321321?????xyzyxzyx 163?xyz， ，當(dāng)且僅當(dāng) 時，上式取等號，又 ，所以當(dāng)336?yz =12z+=且僅當(dāng) 時， 有最小值 =xyz分析：上面解法錯誤，是對均值不等式中等號成立的條件沒有理解而直接套用高等教育自學(xué)考試本科生畢業(yè)論文 13 的結(jié)果，事實上，當(dāng) 時， 不等于 ：在6xyz=3216xyz=，即 中，等號當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ，162?xyz321??? 31xyz+=3x， 時成立，所以當(dāng) ， ， 時， 有最小值 162.=9x=6y9z=連續(xù)進行幾次不等式變形，并且各次不等式中的等號不能同時成立而造成的錯○ 3誤例. 已知 ，且 ，求 的最小值.??Ryx,14xy+=xy錯解：因為 ，所以 ，則 ，所以?yx, 2410????????????????yxyx16?x，因此 的最小值是 ???yx+分析：上面解法中，連續(xù)進行了兩次不等變形： 與xy2??，且這兩次不等式中的等號不能同時成立，第一個不等式當(dāng)且僅當(dāng)241???????????????yxyx時等號成立，第二個是當(dāng)且僅當(dāng) 即 ， 時等號成立，因此=142xy=x8y=不可能等于 ，題中的 依然可以由 替換，從而將 轉(zhuǎn)化成關(guān)于 的xy+ x+x函數(shù)：23()1fx+()41xx= .41+由題意知 ，所以運用均值不等式即可求得該函數(shù)最小值,1x即當(dāng) 時取最小值，求得 ， ， =3x=6y高等教育自學(xué)考試本科生畢業(yè)論文 14 4 函數(shù)最值在實際問題中的應(yīng)用例 1. 某工廠要建造一個長方形無蓋儲水池，其容積為 4800 ，深為 ，如果3m3池底每平方米的造價為 150 元，池壁每平方米的造價為 120 元,怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？分析：從題中分析可以得出，水池高度已知，進而問題轉(zhuǎn)化為求池壁的長和寬的問題，因為池壁的長和寬不可能為負(fù)數(shù)，由此我們可以想到利用均值不等式來求解.解：設(shè)底面的長為 ,寬為 ，水池的總造價為 根據(jù)題意有： ，由容積為)(7204)32(10348150 yxyxz ??????4800 ，可得 ，因此， .由均值不等式與不等式的性質(zhì)，可得： 3mxy=6y=xyx27024)(7024????即 .16??z 9=當(dāng) ，即 時，將水池的地面設(shè)計成邊長為 40 的正xy=40 m方體時總造價最低，最低總造價是 297600 元.例 2. 某工廠 2022 年的純收入為 500 萬元，因設(shè)備老化等原因，工廠的生產(chǎn)能力
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