高數(shù)答案第9章-全文預(yù)覽
【正文】 此外 故是初始值問(wèn)題的解． *5．驗(yàn)證（其中為任意常數(shù)）是方程的通解．證明 ， 即 ，說(shuō)明函數(shù)確實(shí)給定方程的解．另一方面函數(shù)含有一任意常數(shù)，所以它是方程的通解． **6．求以下列函數(shù)為通解的微分方程：（1）；解 將等式改寫(xiě)為，再在其兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得，代入上式，即可得到所求之微分方程為．（2）．解 因?yàn)榻o定通解的函數(shù)式中有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，所以所求方程一定是二階方程，在方程等式兩邊同時(shí)對(duì)求兩次導(dǎo)數(shù)，得，．從以上三個(gè)式子中消去任意常數(shù)和，即可得到所求之微分方程為．**7．建立共焦拋物線族（其中為任意常數(shù)）所滿(mǎn)足的微分方程［這里的共焦拋物線族是以軸為對(duì)稱(chēng)軸，坐標(biāo)原點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線］．解 在方程兩邊對(duì)求導(dǎo)有，從這兩式中消去常數(shù)所求方程為．**8．求微分方程，使它的積分曲線族中的每一條曲線上任一點(diǎn)處的法線都經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．解 任取上的點(diǎn) ，曲線在該點(diǎn)處的切線斜率為 =．所以過(guò)點(diǎn)的法線斜率為， 法線方程為=，因?yàn)榉ň€過(guò)原點(diǎn)，所以從而可得所求微分方程為．第9章（之2）（總第45次）教學(xué)內(nèi)容：167。 .3齊次型方程；．**1．求下列微分方程的通解：(1) ； 解： ， =(1+)，這是一個(gè)一階齊次型方程． 令 ，則 ，即，于是原方程可化為．這是一個(gè)可分離變量方程．分離變量 ，并積分，得，即．以 代入，得所求的通解為．（2）．解：方程可化為，這是一個(gè)一階齊次型方程．令 ，則 ，即，于是原方程可化為，這是一個(gè)可分離變量方程．分離變量后積分得 ．以 代入上式得原方程的通解：．**2．求解下列初值問(wèn)題：（1） 滿(mǎn)足初始條件 的特解．解: ， =， 令 ， 則 ， =， =， ， ， 即 ， 代回即得+1=， ， ， 因此 =5．（2）解：原方程可表為 ，令 ，代入方程，有 ，即 ，分離變量 ，積分得 通解 ，令 ，得 ．所以初值問(wèn)題的解為 ．***3．試證明：當(dāng)時(shí)，總能找到適當(dāng)?shù)某?shù)，使一階微分方程在變換，之下，可化為一階齊次型方程 ．并求方程 的解．證明：令 ， 可解得： 因此可取：解：，令 ，令，，，．**4．求下列微分方程的通解（1）； 解： 令， ，．（2）．解： ， +=， +=， ， +， ，． ， ， ．（3）解一：令，原方程化為： ，解此方程得 ，以代入上式，原方程通解為 ．解二：原方程寫(xiě)成 ，令，則方程化為：，則通解 ， 故原方程通解：．**5．求下列伯努力方程滿(mǎn)足初始條件的特解：，．解：，令 ， ，****6．作適當(dāng)?shù)淖儞Q求方程 的通解．解：原方程化為： ，令，得 ，故 原方程的通解為 ．***7．已知，求．解：兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 ，解得 ，由，求得 ，故原方程的解為：． ***8．曲線過(guò)點(diǎn)，其上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的距離平方等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)與該點(diǎn)的曲線的法線在軸上的截距乘積的兩倍，求曲線方程．解： , 令，解得 由， 得 ，曲線方程為： ． ***9．根據(jù)托里斥利定律，液體從容器小孔中流出的速度為 ，其中 為重力加速度，為液面與底部孔口之間的距離，為孔口面積，為孔口收縮系數(shù)，實(shí)驗(yàn)確定其取值為 ．現(xiàn)有一直徑為m，高為2m的直立圓柱形容器，其中盛滿(mǎn)的水從底部直徑為cm的圓孔流出，要多長(zhǎng)時(shí)間容器內(nèi)的水才會(huì)完全流盡？解：設(shè)在時(shí)刻t
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