拋物線典型例題12例[含標(biāo)準(zhǔn)答案]-全文預(yù)覽
【正文】 為，過焦點(diǎn)F任意作曲線C的弦AB，若弦AB的長度不超過8，且直線AB與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，求（1）AB的傾斜角的取值范圍．（2）設(shè)直線AB與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)，求CD中點(diǎn)M的軌跡方程．分析：由已知條件可確定出圓錐曲線C為拋物線，AB為拋物線的焦點(diǎn)弦，設(shè)其斜率為k，弦AB與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，可求出k的取值范圍，從而可得的取值范圍，求CD中點(diǎn)M的軌跡方程時(shí)，可設(shè)出M的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理化簡即可．解：（1）由已知得．故P到的距離，從而∴曲線C是拋物線，其方程為．設(shè)直線AB的斜率為k，若k不存在，則直線AB與無交點(diǎn)．∴k存在．設(shè)AB的方程為由可得：設(shè)A、B坐標(biāo)分別為、則：∵弦AB的長度不超過8，即由得：∵AB與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，由和可得：或故或又，∴所求的取值范圍是：或（2）設(shè)CD中點(diǎn)、由得：則即．化簡得：∴所求軌跡方程為：典型例題九例9 定長為3的線段的端點(diǎn)、在拋物線上移動(dòng)，求的中點(diǎn)到軸的距離的最小值，并求出此時(shí)中點(diǎn)的坐標(biāo)．分析：線段中點(diǎn)到軸距離的最小值，就是其橫坐標(biāo)的最小值．這是中點(diǎn)坐標(biāo)問題，因此只要研究、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和取什么最小值即可．解：如圖，設(shè)是的焦點(diǎn)，、兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是、又到準(zhǔn)線的垂線為，、和是垂足，則．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，則．等式成立的條件是過點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，故，．所以，此時(shí)到軸的距離的最小值為．說明：本題從分析圖形性質(zhì)出發(fā)，把三角形的性質(zhì)應(yīng)用到解析幾何中，解法較簡．典型例題十例10 過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交拋物線于、兩點(diǎn)
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