本科畢業(yè)論文正定二次型與不等式-全文預(yù)覽
【正文】 考試題. 證明: 對(duì)任意, 有不等式 . (5)證明 設(shè)二次型,則有.顯然二次型是半正定的, 而的矩陣為,因此, . 但,故不等式(5)成立.3 幾個(gè)矩陣(或行列式)不等式 因?yàn)槎涡涂捎脤?duì)稱(chēng)矩陣表示, 所以與對(duì)稱(chēng)矩陣(或行列式)有關(guān)的不等式當(dāng)然可以考慮用二次型理論處理. 請(qǐng)看下面幾個(gè)例子. 設(shè)皆為實(shí)數(shù), 證明 . (6)證明 考慮二次型. 不難知道,因此二次型是半正定的. 由定理4(ⅳ), 二次型的矩陣的所有主子式非負(fù). 而二次型的矩陣為,則, 故不等式(6)成立.特別地, 當(dāng)時(shí), 所以 . (7)再記, 則(7)式即著名的Cauchy不等式.從這里可以看出,不等式(6)是Cauchy不等式的一個(gè)推廣. 設(shè), 其中, 為階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣, 為實(shí)常數(shù), , 為中的固定向量, 證明:(1) 任給, 恒有的充要條件是:, 且任給恒有的充要條件是: 。 當(dāng)時(shí), . 于是. 這樣便有. 等式成立當(dāng)且僅當(dāng).由于正定, 重復(fù)上面的證明即得, 即. 現(xiàn)在證明不等式(12). 若, 則不等式(12)顯然成立. 若, 則是正定的, 由剛才所證命題即知不等式(12)也成立. 特別地，設(shè), 取 , 則有, 于是由不等式(12)即得以下一個(gè)有趣的不等式 . (13)可以證明, 不等式(13)中等式成立的充要條件是: .4 兩個(gè)幾何不等式 幾何不等式中也不乏可用實(shí)二次型處理的例子. 這里僅舉兩例以說(shuō)明. 設(shè)是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角, 證明: 對(duì)任意實(shí)數(shù), 都有 . (14)證法1 設(shè)二次型,則其矩陣為,因, 所以, 代入矩陣并對(duì)進(jìn)行初等行變換, 得.于是矩陣的特征值為0, 1, , 它們均不小于等于0, 從而由定理4(ⅴ)可知二次型是半正定的, 因此對(duì)于任意實(shí)數(shù), 都有. 不等式(14)得證. 證法2 因?yàn)榫仃嚨囊浑A主子式, 三個(gè)二階主子式分別為, ,.顯然其二階主子式皆大于零. 又其三階主子式.而, , 所以.這就是說(shuō),
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