【正文】 ρx1==x－y，ρx2==x+y－t，ρx3==－2x+4t 即： 從變換式 求出每一坐標三角形的三邊在另一坐標系下的方程。 解：坐標三角形頂點A1（1，0，0）,A2（0，1，0）,A3（0，0，1）和單位點E（1，1，1） 設(shè)P（x1，x2，x3）為直線A1E上任一點，其方程為：即x2－x3=0，線坐標為（0，1, －1）直線A2E的方程為：，即x1－x3=0，線坐標為（1，0，－1）；直線A3E的方程為：，即x2－x1=0，線坐標為（－1，1，0）寫出分別通過坐標三角形的頂點A1，A2，A3 的直線方程。 即在等腰三角形中，底邊的頂點到兩腰的垂足的聯(lián)線平行于底邊。在等腰△ABC中，若AB=AC，D為垂足，因而D為BC的中點。  設(shè)AD，BE，CF為△ABC的三高線，EFBC=D39?！鄬?yīng)邊的交點C1=ABPQ，B1=CARP，A1=BCRQ三點共線。 ∵A0B0BC=Q，A0C0AC=R。證：設(shè)A0是α上的一個定點，AOP交β于B0，B0Q交γ于C0，則A0C0是定直線（圖13）。OA2=OB1 ∴點P，P39。T，∴OT2=OP 證明：設(shè)圓O39。AC），于是得 ∴（ABC39?！鶦，所以（AB，A39。證明：由對合對應(yīng)的相互交換性，有A→A39。是對合的三對對應(yīng)點，試證（ABC39。=－1，每對對應(yīng)線都互垂。=－1，所以所以當方程（1）有兩個不等實根λ1，λ2時，只有一對互垂對應(yīng)線，這是因為λ1λ2=－=－1,因而λ139。 證明：取二線束公共頂點為原點，取對應(yīng)線的斜率為λ、λ39。）=1，即 或∴2一直線上點的射影變換是x39。）=（S1S2 ，μ139。是無窮遠點，因此 = = 所以，以無窮遠點作為二重點的射影變換是 2設(shè)兩個重迭一維射影幾何形式有兩個二重元素 SS2 ，證明它們之間的對應(yīng)式可以寫作,k是個常數(shù)。的參數(shù)間有一個行列式不等于零的雙一次函數(shù)， 故｛M｝｛M39。試證｛M｝｛M39。試求x軸，y軸，t1,t2順這次序的交比。（M1M2,M3M4） 。－x239。x2→x239。→∞，所以c=0。）得：（ABM）=（A39。為任一對對應(yīng)點，則由（AB，C∞M）=（A39。 證法1：∵三對對應(yīng)點A→A39。)，∴x39。1∞) ，即：（10x）=（0x39。如果C在線段AB內(nèi)部，過C作CT⊥AB交圓于T，過T作圓的切線交AB的延長線于D，則A，B調(diào)和分割C，D，因為當C確定后，T也確定，所以點D唯一確定。證明：設(shè)ACBD=O，AEBD=P∞（圖7），因此A（BD，CE）=（BD，OP∞）=（BDO） 1AB為圓之直徑，C為直徑延長線上一點，從C向圓引切線CT，證明T在AB上的垂直射影D是C對于A、B的調(diào)和共軛點，若C在線段AB本身上，如何作它的調(diào)和共軛點？證法1：設(shè)O是AB的中點，∴OT⊥CT，TD⊥AB ∴OT2=OD 證明：以2x－y+1=0和3x+y－2=0為基線表示 7x－y=0，5x－1=0， ∵7x－y=0與（2x－y+1）+λ1（3x+y－2）=0重合， ∴ ∵5x－1=0與（2x－y+1）+λ2（3x+y－2）=0重合.∴所求交比為，由于交比存在，所以四直線共點。x2= x3+x4=，x3CD （2） 以CACD+CBCD－BCOB，證明（AB，CD）=1 證明：∵OC2=OA則（2，1，－1）+μ1（1，－1，1）=（1，0，0）；（2，1，－1）+μ2（1，－1，1）=（1，5，5） 所求交比為 設(shè)P1,P2,P4三點的坐標為（1，1，1）,（1，－1，1）,（1，0，1）且（P1P2, P3P4）=2,求點P3的坐標。 證明：設(shè)C為線段AB的中點，D∞為直線AB上的無窮遠點， （AB下列概念，哪些是仿射的，哪些是歐氏的？①非平行線段的相等； ②不垂直的直線；③四邊形； ④梯形；⑤菱形； ⑥平行移動；⑦關(guān)于點的對稱； ⑧關(guān)于直線的對稱；⑨繞點的旋轉(zhuǎn)； ⑩面積的相等。依據(jù)是若令它們?yōu)榱悖萌本€共點。 方程u1－u2+2u3=0代表什么？u12－u22=0代表什么？ 解：方程u1－u2+2u3=0表點（1，－1，2）的方程或表示以點（1，－1，2）為中心的線束方程。（3）x2=0或y=0是x軸的方程。第二章 歐氏平面的拓廣證明中心投影一般不保留共線三點的簡比。=0, v39。=1, v39。= 4, v39。v39。若1為自對應(yīng)直線，則u=λu39。+2v39。 (4x－2y) +w39。y39。求自對應(yīng)直線，設(shè)任意直線l（u,v,w）在所給的變換下的像139。由此得出，任意梯形上、下底中點，對角線交點，兩腰所在直線交點凡四點共線。P39。P39。A39。）,(ACQ)=（A39。 中點。C39。C39。表示，= 這結(jié)果與167。解：ΔA1A2A3和ΔA39。+Aa0+Bb0+C=0，記為： 是x39。+a0）+B (b1x39。y39。（平面π39。（T（π）=π39。 如果點A、B關(guān)于直線l（平面π）對稱，則線段AB⊥1（AB⊥π）。O39。B39。T（A）=A39。對應(yīng)圖（3） 得證。上的兩段A39。2是等積的平行四邊形。1與A39。2=KS2，∴ A39。2D39。1, 面積記為：S39。由于T保留平行性，所以： T（A1B1C1D1）= 平行四邊形A39。D39。D39。D39。 證明梯形在仿射對應(yīng)下仍為梯形。是△A39。；又∵（AGD）=（A39。設(shè)G是△ABC的重心，且G39。是△A39。B39。,A39。=T(F)分別是B39。D、E、F分別是BC、CA，AB邊的中點。證明三角形的中線和重心是仿射不變性。D39。仍為B39。在等腰△ABC中，設(shè)D是BC的中點，則AD?BC，由于T(△ABC)= △A39。即B39。中，過A39。T（ γ ）= γ39。的中點。D39。相對應(yīng)，設(shè)點D為線段BC的中點，則AD⊥BC，且β=γ，T（D）=D39。高幾習題集及解答第一章 仿射幾何的基本概念證明線段的中點是仿射不變性，角的平分線不是仿射不變性。C39。C39。C39。設(shè)T（ β）= β39。C39。并不平分∠A39。 ∴角平分線不是仿射不變性。（一般三角形），D39。由于在一般三角形中，中線A39。得下題兩條直線垂直是不是仿射不變性？答:兩直線垂直不是仿射不變性。C39。=T(E)，F(xiàn)39。A39。D39。F39。的三條中線（圖2）。D39。）即 ∴G39。的重心。C39。??C39。C39。證明：設(shè)T為仿射變換，A1B1C1D1與A2B2C2D2為兩個全等矩形，其面積分別以S1=S2。1D39。2C39。1=K S1，S39。1D39。2D39。 證明：若直線a上兩線段AB和CD經(jīng)仿射變換T后與直線a39。D39。設(shè)T（O）=O39。由結(jié)合性，點A39。B39。是中心對稱圖形，從而圖形的對稱中心是仿射不變性。T（1）=139。不一定垂直線139。 證明：設(shè)在笛氏坐標系下直線方程為： Ax+By+C=0 （1） （x,y）為笛氏坐標，（x39。+a2y39。+(Aa2+Bb2)y39。其中 =Aa1+Bb1, =Aa2+Bb2， =Aa0+Bb0+C0 且不全為0，若不然，Aa1+Bb1=0，Aa2+Bb2=0 1利用仿射變換式，試求在仿射變換下，三角形的面積是怎樣改變的？（）。3的面積分別以S, S39。B39。為B39。D39。Q39。）,（BAP）=（B39。D39。F39。已不是對稱軸（圖4）。因此得 解得自對應(yīng)點的坐標為x=6，y=8。+v39。 (3x－y+4)+v39。）x－(u39。=0。因此 因為u39。故 解得λ1=2，λ2=－1，λ3=1，將λ1=2代入方程組(1)，得u39。 將λ2=－1代入方程組(1)，得u39。