【正文】 為研究對(duì)象．線元的質(zhì)量,它受到重力dP 和沖力F 的反作用力F′的作用,由于F′＞＞dP,故由動(dòng)量定理得 (2)而 (3)由上述三式可得任意時(shí)刻桌面受到的壓力大小為316 分析　這是一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)量轉(zhuǎn)移的問(wèn)題．為了討論火箭的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,仍需建立其在重力場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)方程．為此,以t 時(shí)刻質(zhì)量為m 的火箭為研究對(duì)象,它在t→t ＋Δt 的時(shí)間內(nèi),將分離成火箭主體(包括尚剩的燃料)和排出的燃料兩部分．根據(jù)它們的總動(dòng)量的增量ΣdPi 和系統(tǒng)所受的外力———重力(阻力不計(jì)),由動(dòng)量定理可得到mg ＝udm′/dt ＋mdv/dt(推導(dǎo)從略,見(jiàn)教材),即火箭主體的動(dòng)力學(xué)方程．由于在dt 時(shí)間內(nèi)排出燃料的質(zhì)量dm′很小,式中m 也就可以視為此刻火箭主體的質(zhì)量, 而燃料的排出率dm′/dt 也就是火箭質(zhì)量的變化率dm/dt．這樣,上述方程也可寫(xiě)成．在特定加速度a0 的條件下,根據(jù)初始時(shí)刻火箭的質(zhì)量m0 ,就可求出燃料的排出率dm/dt．在火箭的質(zhì)量比( 即t 時(shí)刻火箭的質(zhì)量m 與火箭的初始質(zhì)量m0之比) 已知的條件下,可算出火箭所經(jīng)歷的時(shí)間,則火箭運(yùn)動(dòng)的速率可通過(guò)對(duì)其動(dòng)力學(xué)方程積分后解得．解　(1) 以火箭發(fā)射處為原點(diǎn),豎直向上為正方向．該火箭在重力場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)方程為 (1)因火箭的初始質(zhì)量為m0 ＝ 105 kg, 要使火箭獲得最初的加速度a0 ＝ mｓ1 ,運(yùn)用分離變量法對(duì)上式積分,得 v＝++又因v＝dx /dt,并由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件：t0 ＝0 時(shí)x0 ＝ m,對(duì)上式分離變量后積分,有x ＝++ +215 分析　飛機(jī)連同駕駛員在水平跑道上運(yùn)動(dòng)可視為質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)．其水平方向所受制動(dòng)力F 為變力,且是時(shí)間的函數(shù)．在求速率和距離時(shí),可根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律,采用分離變量法求解．解　以地面飛機(jī)滑行方向?yàn)樽鴺?biāo)正方向,由牛頓運(yùn)動(dòng)定律及初始條件, 得 因此,飛機(jī)著陸10ｓ后的速率為v ＝30 mｓ2 上升時(shí),由式(3)可得繩所受張力的值為FＴ ＝ 103 N乙對(duì)甲的作用力為 F′N2 ＝FN2 ＝m2 (g ＋a) ＝ 103 N(2) 當(dāng)整個(gè)裝置以加速度a ＝1 m176?！荭? ≥18．89176。)其上有大量小孔．噴頭旋轉(zhuǎn)時(shí),水滴以初速度v0 從各個(gè)小孔中噴出,并作斜上拋運(yùn)動(dòng),通常噴頭表面基本上與草坪處在同一水平面上．則以φ角噴射的水柱射程為為使噴頭周圍的草坪能被均勻噴灑,噴頭上的小孔數(shù)不但很多,而且還不能均勻分布,這是噴頭設(shè)計(jì)中的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題．121 分析　被踢出后的足球,在空中作斜拋運(yùn)動(dòng),其軌跡方程可由質(zhì)點(diǎn)在豎直平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程得到．由于水平距離x 已知,球門(mén)高度又限定了在y 方向的范圍,故只需將x、y 值代入即可求出．解　取圖示坐標(biāo)系Oxy,由運(yùn)動(dòng)方程,　消去t 得軌跡方程以x ＝ m,v ＝ m,10176。ｓ1代入(1) (2)得v0＝1 mｓ1 ,則初速度大小為設(shè)vo與x 軸的夾角為α,則 α＝123176。ｓ1 , voy ＝15 m19′)110 分析　在升降機(jī)與螺絲之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情況下,一種處理方法是取地面為參考系,分別討論升降機(jī)豎直向上的勻加速度運(yùn)動(dòng)和初速不為零的螺絲的自由落體運(yùn)動(dòng),列出這兩種運(yùn)動(dòng)在同一坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程y1 ＝y(tǒng)1(t)和y2 ＝y(tǒng)2(t),并考慮它們相遇,即位矢相同這一條件,問(wèn)題即可解；另一種方法是取升降機(jī)(或螺絲)為參考系,這時(shí),螺絲(或升降機(jī))相對(duì)它作勻加速運(yùn)動(dòng),但是,此加速度應(yīng)該是相對(duì)加速度．升降機(jī)廂的高度就是螺絲(或升降機(jī))運(yùn)動(dòng)的路程．解1　(1) 以地面為參考系,取如圖所示的坐標(biāo)系,升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為 當(dāng)螺絲落至底面時(shí),有y1 ＝y(tǒng)2 ,即 (2) 螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子下降的距離為解2　(1)以升降機(jī)為參考系,此時(shí),螺絲相對(duì)它的加速度大小a′＝g ＋a,螺絲落至底面時(shí),有 (2) 由于升降機(jī)在t 時(shí)間內(nèi)上升的高度為 則 111 分析　該題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)的第一類問(wèn)題,即已知運(yùn)動(dòng)方程r ＝r(t)求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)．在確定運(yùn)動(dòng)方程時(shí),若取以點(diǎn)(0,3)為原點(diǎn)的O′x′y′坐標(biāo)系,并采用參數(shù)方程x′＝x′(t)和y′＝y(tǒng)′(t)來(lái)表示圓周運(yùn)動(dòng)是比較方便的．然后,運(yùn)用坐標(biāo)變換x ＝x0 ＋x′和y ＝y(tǒng)0 ＋y′,將所得參數(shù)方程轉(zhuǎn)換至Oxy 坐標(biāo)系中,即得Oxy 坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)P 在任意時(shí)刻的位矢．采用對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)的方法可得速度和加速度．解　(1) 如圖(B)所示,在O′x′y′坐標(biāo)系中,因,則質(zhì)點(diǎn)P 的參數(shù)方程為,　坐標(biāo)變換后,在Oxy 坐標(biāo)系中有,　則質(zhì)點(diǎn)P 的位矢方程為(2) 5ｓ時(shí)的速度和加速度分別為112 分析　為求桿頂在地面上影子速度的大小,必須建立影長(zhǎng)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,即影子端點(diǎn)的位矢方程．根據(jù)幾何關(guān)系,影長(zhǎng)可通過(guò)太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度求得．由于運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性,太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度也就是地球自轉(zhuǎn)的角速度．這樣,影子端點(diǎn)的位矢方程和速度均可求得．解　設(shè)太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω,從正午時(shí)分開(kāi)始計(jì)時(shí),則桿的影長(zhǎng)為s＝htgωt,下午2∶00 時(shí),桿頂在地面上影子的速度大小為當(dāng)桿長(zhǎng)等于影長(zhǎng)時(shí),即s ＝h,則即為下午3∶00 時(shí)．113 分析　本題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問(wèn)題,即已知加速度求速度和運(yùn)動(dòng)方程,必須在給定條件下用積分方法解決．由和可得和．如a＝a(t)或v ＝v(t),則可兩邊直接積分．如果a 或v不是時(shí)間t 的顯函數(shù),則應(yīng)經(jīng)過(guò)諸如分離變量或變量代換等數(shù)學(xué)操作后再做積分．解　由分析知,應(yīng)有 得 (1)由 得 (2)將t＝3ｓ時(shí),x＝9 m,v＝2 m,30176。s1 ,飛機(jī)離地面的高度y＝100 m,由上述兩式可得目標(biāo)在飛機(jī)正下方前的距離(2) 視線和水平線的夾角為(3) 在任意時(shí)刻物品的速度與水平軸的夾角為取自然坐標(biāo),物品在拋出2s 時(shí),重力加速度的切向分量與法向分量分別為119 分析　這是一個(gè)斜上拋運(yùn)動(dòng),看似簡(jiǎn)單,但針對(duì)題目所問(wèn),如不能靈活運(yùn)用疊加原理,建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,將運(yùn)動(dòng)分解的話,求解起來(lái)并不容易．現(xiàn)建立如圖(a)所示坐標(biāo)系,則炮彈在x 和y 兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)均為勻減速直線運(yùn)動(dòng),其初速度分別為v0cosβ和v0sinβ,其加速度分別為gsinα和gcosα．在此坐標(biāo)系中炮彈落地時(shí),應(yīng)有y ＝0,則x ＝OP．如欲使炮彈垂直擊中坡面,則應(yīng)滿足vx ＝0,直接列出有關(guān)運(yùn)動(dòng)方程和速度方程,即可求解．由于本題中加速度g 為恒矢量．故第一問(wèn)也可由運(yùn)動(dòng)方程的矢量式計(jì)算,即,做出炮彈落地時(shí)的矢量圖［如圖(B)所示］,由圖中所示幾何關(guān)系也可求得 (即圖中的r 矢量)．解1　由分析知,炮彈在圖(a)所示坐標(biāo)系中兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)方程為 (1) (2)令y ＝0 求得時(shí)間t 后再代入式(1)得解2　做出炮彈的運(yùn)動(dòng)矢量圖,如圖(b)所示,并利用正弦定理,有 從中消去t 后也可得到同樣結(jié)果．(2) 由分析知,如炮彈垂直擊中坡面應(yīng)滿足y ＝0 和vx ＝0,則 (3)由(2)(3)兩式消去t 后得由此可知．只要角α和β滿足上式,炮彈就能垂直擊中坡面,而與v0 的大小無(wú)關(guān)．討論　如將炮彈的運(yùn)動(dòng)按水平和豎直兩個(gè)方向分解,求解本題將會(huì)比較困難,有興趣讀者不妨自己體驗(yàn)一下．120 分析　選定傘邊緣O 處的雨滴為研究對(duì)象,當(dāng)傘以角速度ω旋轉(zhuǎn)時(shí),雨滴將以速度v 沿切線方向飛出,并作平拋運(yùn)動(dòng)．建立如圖(a)所示坐標(biāo)系,列出雨滴的運(yùn)動(dòng)方程并考慮圖中所示幾何關(guān)系,即可求證．由此可以想像如果讓水從一個(gè)旋轉(zhuǎn)的有很多小孔的噴頭中飛出,從不同小孔中飛出的水滴將會(huì)落在半徑不同的圓周上,為保證均勻噴灑對(duì)噴頭上小孔的分布解　(1) 如圖(a)所示坐標(biāo)系中,雨滴落地的運(yùn)動(dòng)方程為 (1) (2)由式(1)(2)可得 由圖(a)所示幾何關(guān)系得雨滴落地處圓周的半徑為(2) 常用草坪噴水器采用如圖(b)所示的球面噴頭(θ0 ＝45176。 27．92176。踢出足球,都將因射程不足而不能直接射入球門(mén)；由于球門(mén)高度的限制,θ 176。時(shí),踢出的足球?qū)⒃竭^(guò)門(mén)緣而離去,這時(shí)球也不能射入球門(mén)．因此可取的角度范圍只能是解中的結(jié)果．122 分析　在自然坐標(biāo)中,s 表示圓周上從某一點(diǎn)開(kāi)始的曲線坐標(biāo)．由給定的運(yùn)動(dòng)方程s ＝s(t),對(duì)時(shí)間t 求一階、二階導(dǎo)數(shù),即是沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度v 和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量為an＝v2 /R．這樣,總加速度為a ＝aｔeｔ＋anen．至于質(zhì)點(diǎn)在t 時(shí)間內(nèi)通過(guò)的路程,即為曲線坐標(biāo)的改變量Δs＝st s0．因圓周長(zhǎng)為2πR,質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)自然可求得．解　(1) 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為其加速度的切向分量和法向分量分別為, 故加速度的大小為其方向與切線之間的夾角為(2) 要使｜a｜＝b,由可得(3) 從t＝0 開(kāi)始到t＝v0 /b 時(shí),質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為123 分析　首先應(yīng)該確定角速度的函數(shù)關(guān)系ω＝kt2．依據(jù)角量與線量的關(guān)系由特定時(shí)刻的速度值可得相應(yīng)的角速度,從而求出式中的比例系數(shù)k,ω＝ω(t)確定后,注意到運(yùn)動(dòng)的角量描述與線量描述的相應(yīng)關(guān)系,由運(yùn)動(dòng)學(xué)中兩類問(wèn)題求解的方法(微分法和積分法),即可得到特定時(shí)刻的角加速度、切向加速度和角位移．解　因ωR ＝v,由題意ω∝t2 得比例系數(shù) 所以 則t′＝ 時(shí)的角速度、角加速度和切向加速度分別為 總加速度 124 分析　掌握角量與線量、角位移方程與位矢方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的方法即可得到．解　(1) 由于,則角速度．在t ＝2 ｓ 時(shí),法向加速度和切向加速度的數(shù)值分別為 (2) 當(dāng)時(shí),有,即 得 此時(shí)刻的角位置為 (3) 要使,則有 t ＝125 分析　這是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題．設(shè)雨滴為研究對(duì)象,地面為靜止參考系Ｓ,火車為動(dòng)參考系Ｓ′．v1 為Ｓ′相對(duì)Ｓ 的速度,v2 為雨滴相對(duì)Ｓ的速度,利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系即可解．解　以地面為參考系,火車相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為v1 ,雨滴相對(duì)地面豎直下落的速度為v2 ,旅客看到雨滴下落的速度v2′為相對(duì)速度,它們之間的關(guān)系為 (如圖所示),于是可得126 分析　這也是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題．可視雨點(diǎn)為研究對(duì)象,地面為靜參考系Ｓ,汽車為動(dòng)參考系Ｓ′．如圖(a)所示,要使物體不被淋濕,在車上觀察雨點(diǎn)下落的方向(即雨點(diǎn)相對(duì)于汽車的運(yùn)動(dòng)速度v2′的方向)應(yīng)滿足．再由相對(duì)速度的矢量關(guān)系,即可求出所需車速v1．解　由［圖(b)］,有 而要使,則 127 分析　船到達(dá)對(duì)岸所需時(shí)間是由船相對(duì)于岸的速度v 決定的．由于水流速度u的存在, v與船在靜水中劃行的速度v′之間有v＝u ＋v′(如圖所示)．若要使船到達(dá)正對(duì)岸,則必須使v沿正對(duì)岸方向；在劃速一定的條件下,若要用最短時(shí)間過(guò)河,則必須使v 有極大值．解　(1) 由v＝u ＋v′可知,則船到達(dá)正對(duì)岸所需時(shí)間為(2) 由于,在劃速v′一定的條件下,只有當(dāng)α＝0 時(shí), v 最大(即v＝v′),此時(shí),船過(guò)河時(shí)間t′＝d /v′,船到達(dá)距正對(duì)岸為l 的下游處,且有128 分析　該問(wèn)題涉及到運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性．如何將已知質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于觀察者O 的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換到相對(duì)于觀察者O′的運(yùn)動(dòng)中去,其實(shí)質(zhì)就是進(jìn)行坐標(biāo)變換,將系O 中一動(dòng)點(diǎn)(x,y)變換至系O′中的點(diǎn)(x′,y′)．由于觀察者O′相對(duì)于觀察者O 作勻速運(yùn)動(dòng),因此,該坐標(biāo)變換是線性的．解　取Oxy 和O′x′y′分別為觀察者O 和觀察者O′所在的坐標(biāo)系,且使Ox 和O′x′兩軸平行．在t ＝0 時(shí),兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合．由坐標(biāo)變換得x′＝x v t ＝v t v t ＝0 y′＝y(tǒng) ＝1/2 gt2加速度 由此可見(jiàn),動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于系O′是在y 方向作勻變速直線運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)在兩坐標(biāo)系中加速度相同,這也正是伽利略變換的必然結(jié)果．21 分析與解　當(dāng)物體離開(kāi)斜面瞬間,斜面對(duì)物體的支持力消失為零,物體在繩子拉力FＴ (其方向仍可認(rèn)為平行于斜面)和重力作用下產(chǎn)生平行水平面向左的加速度a,如圖(b)所示,由其可解得合外力為mgcot θ,故選(D)．求解的關(guān)鍵是正確分析物體剛離開(kāi)斜面瞬間的物體受力情況和狀態(tài)特征．22 分析與解　與滑動(dòng)摩擦力不同的是,靜摩擦力可在零與最大值μFN范圍內(nèi)取值．當(dāng)FN增加時(shí),靜摩擦力可取的最大值成正比增加,但具體大小則取決于被作用物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．由題意知,物體一直保持靜止?fàn)顟B(tài),故靜摩擦力與重力大小相等,方向相反,并保持不變,故選(A)．23 分析與解　由題意知,汽車應(yīng)在水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng),為保證汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)不側(cè)向打滑,所需向心力只能由路面與輪胎間的靜摩擦力提供,能夠提供的最大向心力應(yīng)為μFN．由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)為v＝μRg．因此只要汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的實(shí)際速率不大于此值,均能保證不側(cè)向打滑．應(yīng)選(C)．24 分析與解　由圖可知,物體在下滑過(guò)程中受到大小和方向不變的重力以及時(shí)刻指向圓軌道中心的軌道支持力FN作用,其合外力方向并非指向圓心,其大小和方向均與物體