【正文】 自然坐標(biāo)下的分矢量aｔ 和an ,前者只反映質(zhì)點(diǎn)在切線方向速度大小的變化率,即,后者只反映質(zhì)點(diǎn)速度方向的變化,它可由總加速度a 和aｔ 得到．在求得t1 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和法向加速度的大小后,可由公式求ρ．解　(1) 由參數(shù)方程 x ＝,　y ＝消去t 得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：y ＝ (2) 在t1 ＝ 到t2 ＝(3) 質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和加速度分別為 則t1 ＝v(t)｜t ＝1ｓ＝ 切向和法向加速度分別為 (4) t ＝ 則118 分析　物品空投后作平拋運(yùn)動(dòng)．忽略空氣阻力的條件下,由運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理知,物品在空中沿水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng),在豎直方向作自由落體運(yùn)動(dòng)．到達(dá)地面目標(biāo)時(shí),兩方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)間是相同的．因此,分別列出其運(yùn)動(dòng)方程,運(yùn)用時(shí)間相等的條件,即可求解．此外,平拋物體在運(yùn)動(dòng)過程中只存在豎直向下的重力加速度．為求特定時(shí)刻t時(shí)物體的切向加速度和法向加速度,只需求出該時(shí)刻它們與重力加速度之間的夾角α或β．由圖可知,在特定時(shí)刻t,物體的切向加速度和水平線之間的夾角α,可由此時(shí)刻的兩速度分量vx 、vy求出,這樣,也就可將重力加速度g 的切向和法向分量求得．解　(1) 取如圖所示的坐標(biāo),物品下落時(shí)在水平和豎直方向的運(yùn)動(dòng)方程分別為x ＝vt,　y ＝1/2 gt2飛機(jī)水平飛行速度v＝100 m41′(或326176。41′(2) 加速度的分量式為 , 則加速度的大小為 設(shè)a 與x 軸的夾角為β,則 ,β＝33176。,1176。如何理解上述角度的范圍？在初速一定的條件下,球擊中球門底線或球門上緣都將對(duì)應(yīng)有兩個(gè)不同的投射傾角(如圖所示)．如果以θ＞71．11176。ｓ2 上升時(shí),得繩張力的值為 FＴ ＝ 103 N此時(shí),乙對(duì)甲的作用力則為 F′N2 ＝ 103 N由上述計(jì)算可見,在起吊相同重量的物體時(shí),由于起吊加速度不同,繩中所受張力也不同,加速度大,繩中張力也大．因此,起吊重物時(shí)必須緩慢加速,以確保起吊過程的安全．28 分析　該題為連接體問題,同樣可用隔離體法求解．分析時(shí)應(yīng)注意到繩中張力大小處處相等是有條件的,即必須在繩的質(zhì)量和伸長可忽略、滑輪與繩之間的摩擦不計(jì)的前提下成立．同時(shí)也要注意到張力方向是不同的．解　分別對(duì)物體和滑輪作受力分析［圖(b)］．由牛頓定律分別對(duì)物體A、B 及滑輪列動(dòng)力學(xué)方程,有 mA g FＴ ＝mA a (1)F′Ｔ1 Fｆ ＝mB a′ (2)F′Ｔ 2FＴ1 ＝0 (3)考慮到mA ＝mB ＝m, FＴ ＝F′Ｔ , FＴ1 ＝F′Ｔ1 ,a′＝2a,可聯(lián)立解得物體與桌面的摩擦力討論　動(dòng)力學(xué)問題的一般解題步驟可分為：(1) 分析題意,確定研究對(duì)象,分析受力,選定坐標(biāo)；(2) 根據(jù)物理的定理和定律列出原始方程組；(3) 解方程組,得出文字結(jié)果；(4) 核對(duì)量綱,再代入數(shù)據(jù),計(jì)算出結(jié)果來．29 分析　當(dāng)木塊B 平穩(wěn)地輕輕放至運(yùn)動(dòng)著的平板A 上時(shí),木塊的初速度可視為零,由于它與平板之間速度的差異而存在滑動(dòng)摩擦力,該力將改變它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．根據(jù)牛頓定律可得到它們各自相對(duì)地面的加速度．換以平板為參考系來分析,此時(shí),木塊以初速度v′(與平板運(yùn)動(dòng)速率大小相等、方向相反)作勻減速運(yùn)動(dòng),其加速度為相對(duì)加速度,按運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可解得． 該題也可應(yīng)用第三章所講述的系統(tǒng)的動(dòng)能定理來解．將平板與木塊作為系統(tǒng),該系統(tǒng)的動(dòng)能由平板原有的動(dòng)能變?yōu)槟緣K和平板一起運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能,而它們的共同速度可根據(jù)動(dòng)量定理求得．又因?yàn)橄到y(tǒng)內(nèi)只有摩擦力作功,根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)能定理,摩擦力的功應(yīng)等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量．木塊相對(duì)平板移動(dòng)的距離即可求出．解1　以地面為參考系,在摩擦力Fｆ ＝μmg 的作用下,根據(jù)牛頓定律分別對(duì)木塊、平板列出動(dòng)力學(xué)方程Fｆ ＝μmg ＝ma1 F′ｆ ＝Fｆ ＝m′a2a1 和a2 分別是木塊和木板相對(duì)地面參考系的加速度．若以木板為參考系,木塊相對(duì)平板的加速度a ＝a1 ＋a2 ,木塊相對(duì)平板以初速度 v′作勻減速運(yùn)動(dòng)直至最終停止．由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有 v′2 ＝2as由上述各式可得木塊相對(duì)于平板所移動(dòng)的距離為解2　以木塊和平板為系統(tǒng),它們之間一對(duì)摩擦力作的總功為W ＝Fｆ (s ＋l) Fｆl ＝μmgs式中l(wèi) 為平板相對(duì)地面移動(dòng)的距離．由于系統(tǒng)在水平方向上不受外力,當(dāng)木塊放至平板上時(shí),根據(jù)動(dòng)量守恒定律,有m′v′＝(m′＋m) v″由系統(tǒng)的動(dòng)能定理,有由上述各式可得 210 分析　維持鋼球在水平面內(nèi)作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),必須使鋼球受到一與向心加速度相對(duì)應(yīng)的力(向心力),而該力是由碗內(nèi)壁對(duì)球的支持力FN 的分力來提供的,由于支持力FN 始終垂直于碗內(nèi)壁,所以支持力的大小和方向是隨ω而變的．取圖示Oxy 坐標(biāo),列出動(dòng)力學(xué)方程,即可求解鋼球距碗底的高度．解　取鋼球?yàn)楦綦x體,其受力分析如圖(b)所示．在圖示坐標(biāo)中列動(dòng)力學(xué)方程 (1) (2)且有 (3)由上述各式可解得鋼球距碗底的高度為可見,h 隨ω的變化而變化．211 分析　如題所述,外軌超高的目的欲使火車轉(zhuǎn)彎的所需向心力僅由軌道支持力的水平分量FNsinθ 提供(式中θ 角為路面傾角)．從而不會(huì)對(duì)內(nèi)外軌產(chǎn)生擠壓．與其對(duì)應(yīng)的是火車轉(zhuǎn)彎時(shí)必須以規(guī)定的速率v0行駛．當(dāng)火車行駛速率v≠v0 時(shí),則會(huì)產(chǎn)生兩種情況：如圖所示,如v＞v0 時(shí),外軌將會(huì)對(duì)車輪產(chǎn)生斜向內(nèi)的側(cè)壓力F1 ,以補(bǔ)償原向心力的不足,如v＜v0時(shí),則內(nèi)軌對(duì)車輪產(chǎn)生斜向外的側(cè)壓力F2 ,以抵消多余的向心力,無論哪種情況火車都將對(duì)外軌或內(nèi)軌產(chǎn)生擠壓．由此可知,鐵路部門為什么會(huì)在每個(gè)鐵軌的轉(zhuǎn)彎處規(guī)定時(shí)速,從而確保行車安全．解　(1) 以火車為研究對(duì)象,建立如圖所示坐標(biāo)系．據(jù)分析,由牛頓定律有 (1) (2)解(1)(2)兩式可得火車轉(zhuǎn)彎時(shí)規(guī)定速率為(2) 當(dāng)v＞v0 時(shí),根據(jù)分析有 (3) (4)解(3)(4)兩式,可得外軌側(cè)壓力為當(dāng)v＜v0 時(shí),根據(jù)分析有 (5) (6)解(5)(6)兩式,可得內(nèi)軌側(cè)壓力為212 分析　雜技演員(連同摩托車)的運(yùn)動(dòng)可以看成一個(gè)水平面內(nèi)的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)和一個(gè)豎直向上勻速直線運(yùn)動(dòng)的疊加．其旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋線軌跡展開后,相當(dāng)于如圖(b)所示的斜面．把演員的運(yùn)動(dòng)速度分解為圖示的v1 和v2 兩個(gè)分量,顯然v1是豎直向上作勻速直線運(yùn)動(dòng)的分速度,而v2則是繞圓筒壁作水平圓周運(yùn)動(dòng)的分速度,其中向心力由筒壁對(duì)演員的支持力FN 的水平分量FN2 提供,而豎直分量FN1 則與重力相平衡．如圖(c)所示,其中φ角為摩托車與筒壁所夾角．運(yùn)用牛頓定律即可求得筒壁支持力的大小和方向力．解　設(shè)雜技演員連同摩托車整體為研究對(duì)象,據(jù)(b)(c)兩圖應(yīng)有 (1) (2) (3) (4)以式(3)代入式(2),得 (5)將式(1)和式(5)代入式(4),可求出圓筒壁對(duì)雜技演員的作用力(即支承力)大小為與壁的夾角φ為討論　表演飛車走壁時(shí),演員必須控制好運(yùn)動(dòng)速度,行車路線以及摩托車的方位,以確保三者之間滿足解題用到的各個(gè)力學(xué)規(guī)律．213 分析　首先應(yīng)由題圖求得兩個(gè)時(shí)間段的F(t)函數(shù),進(jìn)而求得相應(yīng)的加速度函數(shù),運(yùn)用積分方法求解題目所問,積分時(shí)應(yīng)注意積分上下限的取值應(yīng)與兩時(shí)間段相應(yīng)的時(shí)刻相對(duì)應(yīng)． 解　由題圖得由牛頓定律可得兩時(shí)間段質(zhì)點(diǎn)的加速度分別為 對(duì)0 ＜t ＜5ｓ 時(shí)間段,由得 積分后得 再由得 積分后得將t ＝5ｓ 代入,得v5＝30 ms2,則燃?xì)獾呐懦雎蕿?2) 為求火箭的最后速率,可將式(1)改寫成 分離變量后積分,有 火箭速率隨時(shí)間的變化規(guī)律為 (2),故經(jīng)歷時(shí)間t 后,其質(zhì)量為得 (3)將式(3)代入式(2),依據(jù)初始條件,可得火箭的最后速率317 分析　由題意知質(zhì)點(diǎn)是在變力作用下運(yùn)動(dòng),因此要先找到力F 與位置x 的關(guān)系,由題給條件知．則該力作的功可用式 計(jì)算,然后由動(dòng)能定理求質(zhì)點(diǎn)速率．解　由分析知, 則在x ＝0 到x ＝L 過程中作功, 由動(dòng)能定理有 得x ＝L 處的質(zhì)點(diǎn)速率為此處也可用牛頓定律求質(zhì)點(diǎn)速率,即分離變量后,兩邊積分也可得同樣結(jié)果．318 分析　該題中雖施以“恒力”,但是,作用在物體上的力的方向在不斷變化．需按功的矢量定義式來求解．解　取圖示坐標(biāo),繩索拉力對(duì)物體所作的功為319 分析　本題是一維變力作功問題,仍需按功的定義式來求解．關(guān)鍵在于尋找力函數(shù)F ＝F(x)．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系,可將已知力與速度的函數(shù)關(guān)系F(v) ＝kv2 變換到F(t),進(jìn)一步按x ＝ct3 的關(guān)系把F(t)轉(zhuǎn)換為F(x),這樣,就可按功的定義式求解．解　由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程x ＝ct3 ,可得物體的速度按題意及上述關(guān)系,物體所受阻力的大小為則阻力的功為320 分析　由于水桶在勻速上提過程中,拉力必須始終與水桶重力相平衡．水桶重力因漏水而隨提升高度而變,因此,拉力作功實(shí)為變力作功．由于拉力作功也就是克服重力的功,因此,只要能寫出重力隨高度變化的關(guān)系,拉力作功即可題3 20 圖求出．解　水桶在勻速上提過程中,a ＝0,拉力與水桶重力平衡,有F ＋P ＝0在圖示所取坐標(biāo)下,水桶重力隨位置的變化關(guān)系為P ＝mg αgy其中α＝0．2 kg/m,人對(duì)水桶的拉力的功為321 分析　(1) 在計(jì)算功時(shí),首先應(yīng)明確是什么力作功．小球擺動(dòng)過程中同時(shí)受到重力和張力作用．重力是保守力,根據(jù)小球下落的距離,它的功很易求得；至于張力雖是一變力,但是,它的方向始終與小球運(yùn)動(dòng)方向垂直,根據(jù)功的矢量式,即能得出結(jié)果來．(2) 在計(jì)算功的基礎(chǔ)上,由動(dòng)能定理直接能求出動(dòng)能和速率．(3) 在求最低點(diǎn)的張力時(shí),可根據(jù)小球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心加速度由重力和張力提供來確定．解　(1) 如圖所示,重力對(duì)小球所作的功只與始末位置有關(guān),即在小球擺動(dòng)過程中,張力FＴ 的方向總是與運(yùn)動(dòng)方向垂直,所以,張力的功 (2) 根據(jù)動(dòng)能定理,小球擺動(dòng)過程中,其動(dòng)能的增量是由于重力對(duì)它作功的結(jié)果．初始時(shí)動(dòng)能為零,因而,在最低位置時(shí)的動(dòng)能為 小球在最低位置的速率為 (3) 當(dāng)小球在最低位置時(shí),由牛頓定律可得 322 分析　質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中速度的減緩,意味著其動(dòng)能減少；而減少的這部分動(dòng)能則消耗在運(yùn)動(dòng)中克服摩擦力作功上．由此,可依據(jù)動(dòng)能定理列式解之．解　(1) 摩擦力作功為 (1)(2) 由于摩擦力是一恒力,且Fｆ ＝μmg,故有 (2)由式(1)、(2)可得動(dòng)摩擦因數(shù)為(3) 由于一周中損失的動(dòng)能為,則在靜止前可運(yùn)行的圈數(shù)為圈323 分析　運(yùn)用守恒定律求解是解決力學(xué)問題最簡捷的途徑之一．因?yàn)樗c過程的細(xì)節(jié)無關(guān),也常常與特定力的細(xì)節(jié)無關(guān)．“守恒”則意味著在條件滿足的前提下,過程中任何時(shí)刻守恒量不變．在具體應(yīng)用時(shí),必須恰當(dāng)?shù)剡x取研究對(duì)象(系統(tǒng)),注意守恒定律成立的條件．該題可用機(jī)械能守恒定律來解決．選取兩塊板、彈簧和地球?yàn)橄到y(tǒng),該系統(tǒng)在外界所施壓力撤除后(取作狀態(tài)1),直到B 板剛被提起(取作狀態(tài)2),在這一過程中,系統(tǒng)不受外力作用,而內(nèi)力中又只有保守力(重力和彈力)作功,支持力不作功,因此,滿足機(jī)械能守恒的條件．只需取狀態(tài)1 和狀態(tài)2,運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列出方程,并結(jié)合這兩狀態(tài)下受力的平衡,便可將所需壓力求出．解　選取如圖(b)所示坐標(biāo),取原點(diǎn)O處為重力勢能和彈性勢能零點(diǎn)．作各狀態(tài)下物體的受力圖．對(duì)A 板而言,當(dāng)施以外力F 時(shí),根據(jù)受力平衡有F1 ＝P1 ＋F (1)當(dāng)外力撤除后,按分析中所選的系統(tǒng),由機(jī)械能守恒定律可得式中y1 、y2 為M、N 兩點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)O 的位移．因?yàn)镕1 ＝ky1 ,F2 ＝ky2 及P1 ＝m1g,上式可寫為F1 F2 ＝2P1 (2)由式(1)、(2)可得F ＝P1 ＋F2 (3)當(dāng)A 板跳到N 點(diǎn)時(shí),B 板剛被提起,此時(shí)彈性力F′2 ＝P2 ,且F2 ＝F′2 ．由式(3)可得F ＝P1 ＋P2 ＝(m1 ＋m2 )g應(yīng)注意,勢能的零點(diǎn)位置是可以任意選取的．為計(jì)算方便起見,通常取彈簧原長時(shí)的彈性勢能為零點(diǎn),也同時(shí)為重力勢能的零點(diǎn)．324 分析　礦車在下滑和返回的全過程中受到重力、彈力、阻力和支持力作用．若取礦車、地球和彈簧為系統(tǒng),支持力不作功,重力、彈力為保守力,而阻力為非保守力．礦車在下滑和上行兩過程中,存在非保守力作功,系統(tǒng)不滿足機(jī)械能守恒的條件,因此,可應(yīng)用功能原理去求解．在確定重力勢能、彈性勢能時(shí),應(yīng)注意勢能零點(diǎn)的選取,常常選取彈簧原長時(shí)的位置為重力勢能、彈性勢能共同的零點(diǎn),這樣做對(duì)解題比較方便．解　取沿斜面向上為x 軸正方向．彈簧被壓縮到最大形變時(shí)彈簧上端為坐標(biāo)原點(diǎn)O．礦車在下滑和上行的全過程中,按題意,摩擦力所作的功為Wｆ ＝( ＋′g)(l ＋x) (1)式中m′和m 分別為礦車滿載和