《高等數(shù)學(xué)習(xí)題》ppt課件-全文預(yù)覽
【正文】 jb yia x ??? ???)(|| 2 2222220000czbyaxr ???而在點(diǎn) M處的梯度為 : ,2|g r a d| 424242000czbyaxuM ???所以 當(dāng) a=b=c 時 , 有 ,|gra d|2)(2202022202022222000000MM uzyxazyxzyxaru???????????故 , 當(dāng) a=b=c 時 , 此方向?qū)?shù)等于梯度的模 . 2261 ???? zyxd 例 10: 求旋轉(zhuǎn)曲面 z=x2+y2 與平面 x+y–2z=2 之間的最短距離 . 解 : 設(shè) P(x, y, z)為旋轉(zhuǎn)曲面 z=x2+y2上的任一點(diǎn) , 則P到平面 x+y–2z=2 的距離為 : 22 )22(61 ???? zyxd問題轉(zhuǎn)化為求 x, y, z 滿足 z–x2–y2=0, 使得 2261 ???? zyxd 即 最小 . ),()22(61),( 222 yxzzyxzyxF ??????? ?令 得 ?????????????????????????????????)4()3(0)2)(22(31)2(02)22(31)1(02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx???.81,41,41 ??? zyx解方程組得 : ).81,41,41(即得唯一駐點(diǎn) .64 7241414161min ?????d根據(jù)題意 , 距離的最小值一定存在 , 且有唯一駐點(diǎn) , 故駐點(diǎn) 為距離的最小值點(diǎn) . 所求最小值距離為 : )81,41,41( 例 11: 試求曲面 x y z = 1上任一點(diǎn) (?, ?, ? )處的法線方程和切平面方程 , 并證明切平面與三個坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積是一個常量 . 證 : 設(shè) F(x, y, z) = x y z – 1, ., xyFxzFyzF zyx ???法線方程為 : ?? ??? ??? ? ????? zyx則 切平面方程為 : 0)()()( ?????? ????????? zyx3??? zyx ??????注意到 ? ? ? = 1, 所以化簡后的切平面方程為 : 整理成截距式方程為 : 1333 ??? ??? zyx||627|3||3||3|61 ?????? ?????V 29? (常量 ) 故所需證明的結(jié)果成立 . 故切平面與三個坐標(biāo)面所圍成的四面體的 體積 為 : 切平面在三個坐標(biāo)軸上的 截距 分別為 : 3?, 3?, 3? . 例 12: 設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品必須投入兩種要素 , x和 y分別為每生產(chǎn)一件該產(chǎn)品時兩要素的投入量 , q為產(chǎn)出量 . 若生產(chǎn)函數(shù)為 q=2x?y?, 其中 ?, ? 為正常數(shù) , 且 ? +? = 1.假設(shè)兩要素的價(jià)格分別為 p1和 p2, 試問 : 當(dāng)產(chǎn)量為 12時 ,兩要素各投入多少可以使得投入總費(fèi)用最小 ? 解一 : 以兩要素投入量 x和 y為自變量 , 則問題轉(zhuǎn)化為產(chǎn)出量 q=2x?y? =12的條件下 , 求總費(fèi)用 p1x + p2 y的最小值 . 利用拉格朗日乘數(shù)法 , 設(shè)拉格朗日函數(shù) F(x, y, ?)= p1x+p2 y +?(2 x? y? –12 ) ???????????????
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