湖南大學(xué)高等數(shù)學(xué)1-7--全文預(yù)覽
【正文】 xx ?????????????有 zexxzz 2s ec2????2222)s ec()tgs ec2(2)s ec(2zezzzexzezxzz???????322222)s ec()tgs ec2(4)s ec(2zezzexzezzz??????例 6. 設(shè)方程組 解 : (1)先求一階偏導(dǎo) . ???????????.2.12222 vuyxvuyx ., 22xuxvxu??????求注意 , u, v 看作 x, y 的函數(shù) . 得 ???????????????????022201xvvxuuxxvxu方程兩邊對 x 求偏導(dǎo) . ?????????????xvvuuvuxxxx 1 ,即?????????????xvvuuvuxxxx 1, 11 uvvuD ??? vxvxD ????? 11 1, 11 2 xuxuD ???? 從而 , uvxuxvuvvxDDxu??????????? ,1(2) , , uv xuxvuv vxxu ?????????? 從而 , xuvvxxu ????????????222)())(())(1(uvuvvxuvv xxx??????????2)()()(1uvuvvxuvxuvxuvuvxu?????????????????????????32 )()2)(()(2uvxvuvxuvxuv?????????例 7. 設(shè) u = f (x, y, z), y=x3, ? (x2, lny, z) = 0 . .0, 1 ?? xCfdxdu ?其中求解 : u = f (x, x3, z) ? (x2, 3lnx, z) = 0 易見 z, u均 x 的函數(shù) , 方程兩邊對 x 求導(dǎo)數(shù) . ? ?xx zffxfu ?????????? 3221 31032 321 ?????????? xzxx ???得 3212 32??????????xxzx從而 33212221323 fxxfxfux ??????????????? 和一元函數(shù)一樣 , 多元函數(shù)也有高階微分的概念 . 我們只介紹二元函數(shù)的高階微分 . .,.d),(d),(d,),( 的函數(shù)仍是則可微設(shè)yxyyxfxyxfzyxfz yx ?????若 dz 還可微 , 則記 d2z = d(dz), 稱為 z 的二階微分 . .,d1),(, 1可微且仍存在階微分的若一般 zkyxfz k ???.),d(dd 1 階微分的稱為則記 kzzz kk ?? 二、高階微分 下邊推導(dǎo) z 的 k 階微分的計(jì)算公式 . 設(shè)以 x, y 為自變量 的函數(shù) z = f (x, y)?Ck . 由于 x, y 為自變量 ,故 dx = ?x, dy = ?y,與 x, y 的取值無關(guān) . yyxfxyxfz yx d),(d),(d ????有固定 ?x, ?y, (即將它們看作常數(shù) ), 求 dz的微分 . ).(),(, .d, 2 二階可微存在二階微分則若即可微存在連續(xù)偏導(dǎo)時當(dāng)易見yxfzCfzff yx????且 d2z = d(dz) ]d),(d),(d[ yyxfxyxf yx ????]d),([d]d),(d[ yyxfxyxf yx ????yyxfxyxf yx d)],([dd)],(d[ ??????yyyxfxyxfxyyxfxyxfyyyxxyxxd]d),(d),([ d]d),(d),([??????????????2222222ddd2d yyzyxyxzxxz??????????., 存在三階微分存在連續(xù)偏導(dǎo)時當(dāng)易見 zfff yyxyxx ??????記 zyyxxyyzxxz ????????????????? dddd..),(,3形式將更加繁雜但其存在三階微分則即若 yxfzCf ??引進(jìn)記號 . 這相當(dāng)于規(guī)定了 將字母 z 移到括號外 的方法。 1－ 7 高階偏導(dǎo)數(shù)及泰勒公式 ).,(),(),( yxfyxfyxfz yx ??? 的偏導(dǎo)數(shù)為設(shè)由于它們還是 x, y 的函數(shù) . 因此 , 可繼續(xù)討論 .),(),( 的偏導(dǎo)數(shù)yxfyxf yx ??一、高階偏導(dǎo)數(shù) , .),(),( .),( 則記還可偏導(dǎo)若內(nèi)可偏導(dǎo)在區(qū)域設(shè)yxfyxfDyxfzyx????????? ??????????? xfyyxfyx z xy ),(2,),(22?????? ?????????? xfxyxfx z xx,),(22????????????????yfyyxfyzyy?????????????????yfxyxfxyzyx ),(2稱為 z = f (x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù) . .),(),( 為二階混合偏導(dǎo)數(shù)稱 yxfyxf yxxy ????類似 , 可得三階 , 四階 , …, n 階偏導(dǎo)數(shù) . 則記可偏導(dǎo)若如 , , 22xz??,2233???????????????xzxxz .,2223等等????????????????xzyyx例 1. .,3si n 3322xzyxyxz?????? 求全部二階偏導(dǎo)和設(shè)解 : ,12 2 ???? xyxz .c o s2 2 yyxyz ????,2 222yx z ???,42xyxy z ????.033???xz,s in2 222yxy z ????.42xyyx z ????. ,122xyzyxz???????有中在例
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