【正文】 ，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ，證明：在 內(nèi) 一個(gè) ，使 .證明：設(shè) ， 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ，則 在 滿足柯西定理，于是有 ，使 即 所以 5．設(shè)函數(shù) 在 上可導(dǎo)，且 ，證明： 一個(gè) ，使 證明：設(shè) ，則 在 上滿足拉格朗日中值定理，于是有 使 即 所以 6．設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，證明： 一個(gè) ，使證明：設(shè) 則 在 上滿足洛爾定理，于是存在 ，使 ，即 7．設(shè)函數(shù) 在 上有二階導(dǎo)數(shù)，且 ，證明：至少 一個(gè) 使 證明：設(shè) ，則 ，由洛爾定理可得，存在 ，使得 ,又 則 在 上，由洛爾定理可得，存在 ，使得 ,即8．設(shè)函數(shù) 在 上可導(dǎo)，且 ，證明：在 內(nèi)至少 一個(gè) ，使 證明：設(shè) ，則在 內(nèi)，由柯西中值定理可得，至少存在一個(gè) ，使得 即 所以 9．若 ，證明： 一個(gè) 或 ，使證明：設(shè) ，則在 上，由柯西中值定理可得，存在一個(gè) ，使得 即 化簡(jiǎn)可得 10．函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ， ，證明：至少 一個(gè) ，使 .證明：設(shè) ，由 ，可得 由洛爾定理可得，至少存在一個(gè) ，使得 即 11．設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，證明：至少 一個(gè) 使 證明：設(shè) ，則 ，由洛爾定理可得，至少存在一個(gè) ，使得 ，即 已知 在 連續(xù)，對(duì)任意 都有 證明： 證明： 在 連續(xù),則 ，又 所以 1．[解答] 原式 ⑸ [解答] 設(shè) 原式 ⑹ [解答] 設(shè) ，則 原式 ⑺ [解答] 設(shè) ， 原式 3．求下列不定積分. ⑴ [解答] 原式 ⑵ [解答] 設(shè) ，則 原式 4．求下列不定積分.⑴ [解答] 設(shè) ， 原式 ⑵ [解答] 設(shè) ， 于是 在 處連續(xù).⑵ 分別求 在 處的左、右導(dǎo)數(shù) 所以 在 處連續(xù)且可導(dǎo).5．求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并判別類(lèi)型.① [解答] 為函數(shù) 的間斷點(diǎn) 又 所以 為函數(shù) 第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn).② [解答] 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 即 ，所以 為函數(shù) 第一類(lèi)間斷點(diǎn).③ [解答] 當(dāng) 時(shí)， 所以 為第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn).當(dāng) 時(shí)， 不存在，所以 為第二類(lèi)間斷點(diǎn).當(dāng) 時(shí)， 所以 為第一類(lèi)可去間斷點(diǎn).當(dāng) 時(shí)， 所以 為第二類(lèi)無(wú)窮間斷點(diǎn).6．試確定常數(shù) 的值，使極限 存在，并求該極限值.[解答] 原式 存在由 可得 ，即 則原式 同理由 可得 ，即 所以原式 7．設(shè) ，且 是 的可去間斷點(diǎn)，求 的值.[解答] 存在，由 可得 . 原式 存在，同理由 可得 .8．設(shè) 求 的值.[解答] 原式 ( ) 由 可得 原式 ，即 9．討論函數(shù) 在 處的連續(xù)性.[解答] 當(dāng) 時(shí)， 所以若 時(shí)， 在 連續(xù).若 時(shí)， 在 為第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn).當(dāng) 時(shí)， 是 的第二類(lèi)間斷點(diǎn).10．設(shè) 在 的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且 求 及 [解答] 由 可得所以 第二章一、填空題7．設(shè) ，則 __[解答] 原式 所以 8．已知 ，則 __[解答] 原式 即 令 ，則 9．設(shè) 為可導(dǎo)函數(shù)， ，則 __[解答] 原式 10．設(shè)函數(shù) 由方程 所確定，則曲線 在點(diǎn) 處的法線方程為_(kāi)_[解答] 兩邊求導(dǎo) 將 代入可得 故所求的方程為 二．選擇題1． 填空題⑴ 設(shè) ，則常數(shù) __ [解答] 由題意可得 即 ⑵ __[解答] 且 又 由夾逼原則可得原式 ⑶ 已知極限 ，則 [解答]當(dāng) 時(shí)，由 可得 原式 同理可得 故原式 ⑷ 已知 則 __[解答] 原式 ⑸ 已知函數(shù) 則 __[解答] 又 所以 ⑹ __[解答] 原式 ⑺ 設(shè)函數(shù) 有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)， ， ,若 在 處連續(xù)，則常數(shù) ＿[解答] ⑻ 設(shè)當(dāng) 時(shí)， = 為 的 階無(wú)窮小，則 [解答] 由此可得 ， ⑼ __[解答] 原式 已知函數(shù) 具有任意階導(dǎo)數(shù)，且 ，則當(dāng) 為大于2的正整數(shù)時(shí)， 的 階導(dǎo)數(shù) 是 [解答] ， 由數(shù)學(xué)歸納法可得 ，所以應(yīng)該選 .4．設(shè)函數(shù)對(duì)任意 均滿足 ，且 ，其中 為非零常數(shù)，則在 處不可導(dǎo) 在 處可導(dǎo)，且 在 處可導(dǎo)，且 在 處可導(dǎo)，且 [解答] ，故應(yīng)選 . 二、選擇7．設(shè) 在 處可導(dǎo)，則 為任意常數(shù) 為任意常數(shù)[解答] 由 在 連續(xù)可得 由 在 可導(dǎo)得 則 ，所以應(yīng)該選 .8．設(shè) ，則 在 處可導(dǎo)的充要條件為存在 存在 存在 存在[解答] 當(dāng) 時(shí)， ～ ，則 等價(jià)于 ，所以應(yīng)該選 .9．設(shè)函數(shù) 在 上可導(dǎo)，則當(dāng) 時(shí)，必有 當(dāng) 時(shí)，必有 當(dāng) 時(shí)，必有 當(dāng) 時(shí)，必有 [解答] 若設(shè) 時(shí)， 均錯(cuò)誤，若設(shè) 時(shí)， 錯(cuò)誤，故選 .10．設(shè)函數(shù) 在 處可導(dǎo)，則函數(shù) 在 處不可導(dǎo)的充分條件是且 且 且 且 [解答] 令 ，由導(dǎo)數(shù)定義可得 若 ，由 的連續(xù)性及保號(hào)性可得 ，此時(shí) 若 ，同理可得 . 故若 不存在，則 若 ，且 ，設(shè) ，由于 所以當(dāng) 時(shí)， ， 時(shí)， 則 故 不存在，所以應(yīng)該選 .三．計(jì)算題1． ，求 .[解答] 2．已知 可導(dǎo)， ，求 .[解答] 3．已知 ，求 .[解答] 等式兩邊對(duì) 求導(dǎo)可得 化簡(jiǎn)可得 4．設(shè) 的函數(shù)是由方程 確定的，求 .[解答] 等式兩邊對(duì) 求導(dǎo)可得 化簡(jiǎn)得 5．已知 ，求 .[解答] 6．設(shè) ，求 .[解答] 等式兩邊對(duì) 求導(dǎo)可得 可得 又 所以 7．設(shè)函數(shù) 二階可導(dǎo)， ，且 ，求 .[解答] 8．設(shè)曲線 由方程組 確定，求該曲線在 處的曲率 .[解答] ，則 四．已知 ，其中 有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且 ⑴ 確定 的值，使 在 點(diǎn)連續(xù)； ⑵ 求 .[解答] ⑴ 即當(dāng) 時(shí)， 在 處連續(xù). ⑵ 當(dāng) 時(shí)，有 當(dāng) 時(shí)，由導(dǎo)數(shù)的定義有 五．已知當(dāng) 時(shí)， 有定義且二階可導(dǎo)，問(wèn) 為何值時(shí) 是二階可導(dǎo).[解答] 在 處連續(xù)則 即 在 處一階可導(dǎo)，則有 此時(shí)， 在 處二階可導(dǎo)，則有 六．已知 ，求 .[解答] 又 在 處的麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 通過(guò)比較可得，當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 七．設(shè) ，求 .[解答]