[理學(xué)]第一章典型例題-全文預(yù)覽
【正文】 x u z f 求并且析 內(nèi)解 在區(qū)域設(shè) ? ? ? ,0 ( 2 ) ??? yu得由 ),( 常數(shù)所以 cu ? ).( )( 2 常數(shù)于是 icczf ??u ?g r a d u ( x , y ) = i+x?? u ?j=0y??2022/2/16 25 例 17 證 ?? )( zf因?yàn)?,01 ?????? yuiyv , 不全為零與所以 yuyv ???? , 都不為零與如果在曲線的交點(diǎn)處 yuyv ????根據(jù) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則 , . , , ) , ( ) , ( 0, ) ( , ) ( 2 1 2 1 為常數(shù) 其中 必相互正交 與那末曲線族且為一解析函數(shù) 設(shè) c c c y x v c y x u z f ivu z f ? ? ? ? ? ? 2022/2/16 26 線的斜率分別為中任一條曲與曲線族 ),( ),( 21 cyxvcyxu ??, 21yxyxvvkuuk ????根據(jù)柯西－黎曼方程得 ?????????????????????yxyxvvuukk21 ,1?????????????????????yyyyvuuv . ),( ),( 21 相互正交與故曲線族 cyxvcyxu ??. , , , , 它們?nèi)匀幌嗷フ灰粭l是鉛直的另的切線一條是水平的兩族中的曲線在交點(diǎn)處則另一個(gè)必不為零中有一個(gè)為零和如果 yy vu2022/2/16 27 例 18 證 , 2)( xyzf ?因?yàn)?0, , 2 ?? vxyu所以0)0,0()0,(l i m)0,0(0 ???? xuxuuxx ),0,0(yv?0)0,0(),0(l i m)0,0(0 ???? yuyuuyy ),0,0(xv??0?0? . 0 成立柯西－黎曼方程在點(diǎn) ?z. 0 , 0 Im ) ( 2 不可微 但在點(diǎn)滿足柯西－黎曼方程 的實(shí)、虛部在點(diǎn) 證明函數(shù)? ? ? z z z z f 2022/2/16 28 , 0 ?z但在點(diǎn) z fzf ??? )0()( 2yixyx?????? ,1 2 )0()(l i m 00 izfzfyx ??? ???????因?yàn)? . 0 )( 不可微在點(diǎn)故函數(shù) ?zzf ,0 )0()(l i m 0,0?? ?????? zfzfyx2022/2/16 29 例 19 解 根據(jù)調(diào)和函數(shù)的定義可得 ,1??k,2 xxu ???因?yàn)?,2 22???xu,2 kyyu ??? ,2 22kyu ???yx iuuzUzf ???? )()( 因?yàn)?ky ix 22 ??). ( 1) ( , ) ( , . , 2 2 z f i f ivu z f v ky x u k的并求為解析函數(shù) 使 再求 為調(diào)和函數(shù) 使值 求? ? ? ? ? ? 2022/2/16 30 ky ix 22 ?? yix 22 ?? ,2z?zzzf d2)( ??根據(jù)不定積分法 ,2 cz ?? ,1)( ??if由 ,0 ?c得所求解析函數(shù)為 .2)( 222 zxy iyxzf ????2022/2/16 31 用不定積分法求解例 1中的解析函數(shù) yx iuuzUzf ???? )()()2(3 22 yxy ixi ??? ,3 2iz??? zizzf d3)( 2,13 ciz ?? ) , , )( (1 為任意純虛數(shù)所以常數(shù)實(shí)的任意常數(shù)不可能包含的實(shí)部為已知函數(shù)因?yàn)閏zf例 20 .3),( 23 yxyyxu ??實(shí)部解 ) ( 為任意實(shí)常數(shù)c ).()( 3 czizf ??故)(zf2022/2/16 32 例 21 解 用不定積分法求解例 2中的解析函數(shù) )(zf .)s i nc os(),( yxyxyyeyxv x ????虛部xy ivvzVzf ???? )()(]1)s i ns i nc os([ ???? yyxyyei x1)c oss i n( c os ???? yxyyye xiyeiyxyeiyxiyiyexxx????????1c o s)(s i n)()s i n( c o s2022/2/16
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