【正文】 )(),(f),a(f s,csc???? ??????????????????????s i nac osasc??? ),a( )( s,c?? ?????????????????????scscaa??????????? ac osas i nas i nc os ???]e xp[)(f)(f),(f scscsc 2222 221?? ??????????????59 第 3章 隨機(jī)過程 于是有 式中 a? ? 0, ?? = (0 ~ 2π) ???????? ?????????????? ???????? 22222)s i na()c osa(e xpa),(fa),a(fsc??????????222 22???????ae xpa60 第 3章 隨機(jī)過程 ? a? 的一維概率密度函數(shù) 可見， a? 服從瑞利 (Rayleigh)分布。 ???????? csccs s i n)(Rc o s)(R)(R ?????????? ccscc s i n)(Rc o s)(R)(R ??00 ?)(R sc 00 ?)(R cs)(R)(R)(R sc 000 ???222 sc ??? ? ??56 第 3章 隨機(jī)過程 ? 根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量 t無關(guān)，故由式 得到 因?yàn)??(t)是高斯過程 ，所以， ?c(t1)， ?s(t2)一定是高斯隨機(jī)變量，從而 ?c(t) 、 ?s(t)也是高斯過程 。 0??? )t(a,)]t(tc o s [)t(a)t( c ??? ???ts i n)t(tc o s)t()t( cscc ????? ??)t(c o s)t(a)t(c ?? ?? ?)t(s i n)t(a)t(s ?? ?? ?51 第 3章 隨機(jī)過程 ? ?c(t)和 ?s(t)的統(tǒng)計(jì)特性 ? 數(shù)學(xué)期望：對下式求數(shù)學(xué)期望： 得到 因?yàn)??(t)平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時(shí)間 t，都有E[?(t)] = 0 ，所以 ts i n)t(tc o s)t()t( cscc ????? ??? ? ts i n)]t([Etc o s)]t([E)t( cscc ????? ??E00 ?? )]t([E)]t([E sc ?? ，52 第 3章 隨機(jī)過程 ? ?(t)的自相關(guān)函數(shù)： 由自相關(guān)函數(shù)的定義式 式中 因?yàn)??(t)是平穩(wěn)的，故有 這就要求上式的 右端與時(shí)間 t無關(guān)，而僅與 ?有關(guān) 。 kkkki )(h)t(lim)t(k????? ? ??? ????? 000? ??? ?? ????? d)t()(h)t( i047 第 3章 隨機(jī)過程 ? 窄帶隨機(jī)過程 ? 什么是窄帶隨機(jī)過程？ 若隨機(jī)過程 ?(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對窄的頻帶范圍 ?f 內(nèi)，即滿足 ?f fc的條件，且 fc 遠(yuǎn)離零頻率，則稱該 ?(t)為窄帶隨機(jī)過程。 因?yàn)閺姆e分原理看， 可以表示為： 由于已假設(shè) ?i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng)在任一時(shí)刻上都是一個高斯隨機(jī)變量。 應(yīng)用：由 Po( f )的反傅里葉變換求 Ro(?) )(Rdd)(R)(h)(h)t,t(R i ????????? 0110 ????? ? ???? ? ??? ??? ?? ?? ?? de)(R)f(P j00???????? dedd)(R)(h)(h ji ωτ???? ?????? ?????? ??? ? ??? ? ????????????? 39。 ??? d)t(v)(h)t(v)t(h)t(v ii ???? ? ???0)(V)(H)(V i fff0 ?? ??? ?? ????? d)t()(h)t( i043 第 3章 隨機(jī)過程 ? 輸出過程 ?o(t)的均值 對下式兩邊取統(tǒng)計(jì)平均： 得到 設(shè)輸入過程是平穩(wěn)的 ，則有 式中， H(0)是線性系統(tǒng)在 f = 0處的頻率響應(yīng)，因此輸出過程的均值是一個常數(shù)。x,. .. ,x,x(f nnn 2121 ????? n ])ax(e xp[1k2k2kkk 221???)t,x(f)t,x(f)t,x(f nn???? ?221137 第 3章 隨機(jī)過程 ? 高斯隨機(jī)變量 ? 定義：高斯過程在任一時(shí)刻上的取值是一個正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為 式中 a － 均值 ? 2 － 方差 曲線如右圖： 221 ( )( ) e x p22xafx???? ????????12 ?? xao ()fx38 第 3章 隨機(jī)過程 ? 性質(zhì) ? f (x)對稱于直線 x = a，即 ? ? a表示分布中心， ? 稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，圖形將隨著 ? 的減小而變高和變窄。 36 第 3章 隨機(jī)過程 ? 如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的， 即對所有 j ? k，有 bjk =0，則其概率密度可以簡化為 如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 。因此，對于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。 【證】因?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本的自相關(guān)函數(shù)，即 兩邊取傅里葉變換： 即 式中 df)f(P)(R ? ???? ?0)(R)(R ?? ?])(R[F)](R[F ?? ?)f(P)f(P f??)f(P)(R ?? ? ? ? )f(P f??R31 第 3章 隨機(jī)過程 ? 功率譜密度 P? ( f )具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即有 和 這與 R(?)的實(shí)偶性相對應(yīng)。 在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個非常重要的工具， 它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式 。當(dāng)均值為 0時(shí)，有 R(0) = ?2 。 【解】 (1)先求 ?(t)的統(tǒng)計(jì)平均值： 數(shù)學(xué)期望 )tc o s (A)t( c ??? ??? ??? ? ????? 20 2 1 d)tc os (A)]t([E)t(a c? ?? ? ?????? 202 d)s i nts i nc ost(c osA cc02 20 20 ??? ? ? ]ds i nts i ndc ost[c osA cc ? ? ???????24 第 3章 隨機(jī)過程 自相關(guān)函數(shù) 令 t2 – t1 = ?，得到 可見， ?(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與 t 無關(guān)，只與時(shí)間間隔 ? 有關(guān)，所以 ?(t)是廣義平穩(wěn)過程。 ? 具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。 ? 討論各態(tài)歷經(jīng)性的條件。 研究平穩(wěn)隨機(jī)過程有著很大的實(shí)際意義。x,x(fxx)]t()t([E)t,t(R?????????? ???? ??? 2121221112119 第 3章 隨機(jī)過程 ? 數(shù)字特征： 可見，（ 1）其均值與 t 無關(guān)，為常數(shù) a ； （ 2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔 ? 有關(guān)。 )t(a)t(a)t,t(R)t,t(B 212121 ??)]t()t([E)t,t(R 2121 ???? ?17 第 3章 隨機(jī)過程 ? 平穩(wěn)隨機(jī)過程 ? 平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義 ? 定義： 若一個隨機(jī)過程 ?(t)的任意有限 n維分布函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，即，對于任意的正整數(shù) n和所有實(shí)數(shù) ?，有 則稱該隨機(jī)過程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡稱 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程 。 2121212212121dxdx)t,t。 ?? 2)]t(a)t([E)]t([D ?? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?)()]([)(2)]([2222222tatξEtatξEtatξEtatξtatξEtξD????????212 )]t(a[dx)t,x(fx ?? ? ???均方值 均值平方 15 第 3章 隨機(jī)過程 ? 相關(guān)函數(shù) 式中， ? (t1)和 ? (t2)分別是在 t1和 t2時(shí)刻觀測得到的隨機(jī)變量。 用數(shù)學(xué)分析方法對時(shí)間求平均得 出的種種平均值。x,x(f?????)t(),t(),t( N??? ?21作為 n = 2, 二維分布函數(shù) , 二維概率密度函數(shù) 則稱上述變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 。 10